快速傅里叶变换实验

实验七 快速傅里叶变换实验 2011010541机 14 林志杭 一 实验目的 1 加深对几个特殊概念的理解 采样 混叠 窗函数 截断 泄 漏 非整周期截取 栅栏 2 加深理解如何才能避免 混叠 减少 泄漏 防止 栅栏 的方法和措施以及估 计这些因素对频谱的影响 3 对利用通用微型计算机及相应的 FFT 软件 实现频谱分析有一个初步的了解 二 实验原理 为了实现信号的数字化处理 利用计算机进行频谱分析 计算信号的频谱 由于 计算机只能进行有限的离散计算 即 DFT 因此就要对连续的模拟信号进行采样和截断 而这两个处理过程可能引起信号频谱的畸变 从而使 DFT 的计算结果与信号的实际 频谱有误差 有时由于采样和截断的处理不当 使计算出来的频谱完全失真 因此在时 域处理信号时要格外小心 时域采样频率过低 将引起频域的 混叠 为了避免产生 混叠 要求时域采样时必须 满足采样定理 即 采样频率 fs 必须大于信号中最高频率 fc 的 2 倍 fs 2fc 因此在 信号数字处理中 为避免混叠 依不同的信号选择合适的采样频率将是十分重要的 频域的 泄漏 是由时域的截断引起的 时域的截断使频域中本来集中的能量向它的邻域 扩散 如由一个 f 变成一个 sinc f 而泄漏的旁瓣将影响其它谱线的数值 时域截 断还会引起 栅栏效应 对周期信号而言 它是由于截断长度不等于周期信号的周期的整 数倍而引起的 因此避免 栅栏 效应的办法就是整周期截断 综上所述 在信号数字化处理中应十分注意以下几点 1 为了避免 混叠 要求在采样时必须满足采样定理 为了减少 泄漏 应适当增加截断长度和选择合适的窗 对信号进行整周期截取 则能消除 栅栏数应 增加截断长度 则可提高频率分辨率 三 预习内容 熟悉 Matlab 语言 函数和使用方法 利用 Matlab 所提供的 FFT 函数编写程序 四 实验内容及步骤 调通所编写的程序 对下列信号 函数 进行离散 FFT 变换 根据题目的要求 FFT 变 换点数 截断长度 及采样频率 计算各点的傅里叶变换值 画出频谱图 对典型的谱线 标出其幅值及相角 内容 1 ttttx 000 3cos2sin 6 sin 代码 N input N n input n t 1 1 N w 2 pi x1 sin w t 1 n pi 6 sin 2 w t 1 n cos 3 w t 1 n y fft x1 y fftshift y an angle y pi 180 y abs y N figure 1 bar t y 0 3 grid on 以下类似 1 采样频率 fs 8 f0 截断长度 N 16 幅频谱 024681012141618 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 相频谱 024681012141618 200 150 100 50 0 50 100 150 200 最高频率为 3 采样频率为 8 满足采样定理 采样点数 N 16 分辨率 f0f0 关注频率为正负 1 2 3 倍频 0 5 0f N f f s 2 fs 8 f0 N 32 幅频谱 05101520253035 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 相频谱 05101520253035 200 150 100 50 0 50 100 150 200 最高频率为 3 采样频率为 8 满足采样定理 采样点数 N 32 分辨率 f0f0 关注频率为正负 1 2 3 倍频 f fs N 0 25 f0 由上述分析可见 两种采样均满足采样定理 不出现混叠 以上截取方式相当于添加了矩形窗函数 理论上存在泄漏效应但由于均为整周期截取 2 倍及 4 倍原函数周期 故没有出现现泄露现象 由于整周期截取 未产生栅栏效应 误差分析 3cos 3cos 2 2cos 2 2cos 3 cos 3 cos 2 1 000000 tttttttx 明显关注频率为正负 1 2 3 倍频 理论上分解的幅值及相角与做 FFT 得到的值一样 幅 值误差及相角误差均为零 2 tttx 00 11sin 6 sin 1 fs 8 f0 N 16 幅频谱 024681012141618 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 相频谱 024681012141618 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 最高频率为 11 采样频率为 8 不满足采样定理 采样点数 N 16 分辨率 f0f0 关注频率为正负 1 11 倍频 f fs N 0 5f0 2 fs 32 f0 N 32 幅频谱 05101520253035 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 0 4 0 45 0 5 相频谱 05101520253035 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 最高频率为 11 采样频率为 32 满足采样定理 采样点数 N 32 分辨率 f0f0 关注频率为正负 1 11 倍频 f fs N f0 1 中采样不满足采样定理 正负 11 倍频未取到 在正负 3 倍频处出现混叠 要消除 混叠则可以增加采样频率 2 中采样满足采样定理 未出现混叠 以上截取方式相当于添加了矩形窗函数 理论上存在泄漏效应但由于均为整周期截取 2 倍及 1 倍原函数周期 故没有出现泄露现象 由于整周期截取 未产生栅栏效应 误差分析 x t 1 2 cos 0t 3 cos 0t 3 cos 11 0t 2 cos 11 0t 2 明显关注频率为正负 1 11 倍频 理论上分解的幅值及相角与做 FFT 得到的值比较 1 中采样正负 1 倍频的幅值相角均无误差 但由于未采到正负 11 倍频 故误差为 100 2 中采样的幅值及相角误差均为 0 3 ttx 0 10cos 1 fs 8 f0 N 16 幅频谱 024681012141618 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 0 4 0 45 0 5 相频谱 024681012141618 150 100 50 0 50 100 150 200 最高频率为 采样频率为 8 满足采样定理 采样点数 N 16 分辨率 10 f0f0 关注频率为倍频 f fs N 0 5f0 10 2 fs 32 f0 N 32 幅频谱 05101520253035 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 0 4 0 45 0 5 相频谱 05101520253035 150 100 50 0 50 100 150 最高频率为 采样频率为 32 满足采样定理 采样点数 N 32 分辨率 10 f0f0 关注频率为倍频 f fs N f0 10 由上述分析可见 2 种采样均满足采样定理 未出现混叠 以上截取方式相当于添加了矩形窗函数 理论上存在泄漏效应 由于均未整周期截取 故出现了泄露现象 除两条幅值较大的谱线外 还出现了一些幅值较小的谱线 且由于 2 中窗宽度更小 泄露更加明显 由于非整周期截取 产生了栅栏效应 频谱图中只有整周期频率而无 且 2 10 f0 中分辨率较低 相对 1 栅栏效应更明显 要减少泄露效应 可以采用其他类型的窗函数 或将截断长度调整为整周期 要避免栅栏效应 可以将截断长度调整为整周期 然而由于 该种 x t 中频率为无理数 难以做到整周期截断 因此不能完全避免泄露和栅栏效应 误差分析 x t cos 10 0t 明显关注频率为倍频 理论上分解的幅值及相角与做 FFT 得到的值比较 实际所10 求并没有理论的频率 故用 3 倍频来近似 理论 实际的幅值和相角分别为 1 中 1 0 91 0deg 57deg 2 中 1 0 982 0deg 27 7deg 故误差 1 中 deg57 09 0 A 2 中 deg 7 27 018 0 A 4 ttx 0 10cos 对信号加窗 Hanning Window 0 0 2 cos1 2 1 Tt T t tw 1 fs 8 f0 N 16 幅频谱 024681012141618 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 相频谱 024681012141618 150 100 50 0 50 100 150 200 最高频率为 采样频率为 8 满足采样定理 采样点数 N 16 分辨率 10 f0f0 关注频率为倍频 f fs N 0 5f0 10 2 fs 32 f0 N 32 幅频谱 05101520253035 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 相频谱 05101520253035 200 150 100 50 0 50 100 150 200 最高频率为 采样频率为 32 满足采样定理 采样点数 N 32 分辨率 10 f0f0 关注频率为倍频 f fs N f0 10 2 种采样均满足采样定理 未出现混叠 以上方式相当于添加了汉宁窗函数 理论上存在泄漏效应且由于均未整周期截取 故出 现了泄露现象 除两条幅值较大的谱线外 还出现了一些幅值较小的谱线 且由于 2 中 窗宽度更小 泄露更加明显 要减少泄露效应 可以采用其他类型的窗函数 或将截断长 度调整为整周期 由于非整周期截取 产生了栅栏效应 频谱图中只有整周期频率而无 且 2 10 f0 中分辨率较低 相对 1 栅栏效应更明显 要避免栅栏效应 可以将截断长度调整为整周 期 然而由于该种 x t 中频率为无理数 难以做到整周期截断 因此不能完全避免泄露和 栅栏效应 误差分析 x t cos 10 0t 明显关注频率为倍频 理论上分解的幅值及相角与做 FFT 得到的值比较 实际所 10 求并没有理论的频率 故用 3 倍频来近似 理论 实际的幅值和相角分别为 1 中 1 0 422 0deg 56 6deg 2 中 1 0 492 0deg 29 2deg 故误差 1 中 deg 6 56 578 0 A 2 中 deg 2 29 508 0 A 可见 在为按整周期截取时 采用汉宁窗函数所得到的结果相对矩形窗并没有得到改 善 5 6 99 0 sin 0 ttx 1 fs 8 f0 N 16 幅频谱 024681012141618 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 相频谱 024681012141618 150 100 50 0 50 100 150 200 最高频率为 0 99 采样频率为 8 满足采样定理 采样点数 N 16 分辨率 f0f0 f fs N 0 5f0 2 fs 32 f0 N 32 幅频谱 05101520253035 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 相频谱 05101520253035 100 50 0 50 100 150 200 最高频率为 0 99 采样频率为 32 满足采样定理 采样点数 N 32 分辨率 f0f0 f fs N f0 2 种采样均满足采样定理 未出现混叠 以上截取方式相当于添加了矩形窗函数 理论上存在泄漏效应且由于均未整周期截取 故出现了泄露现象 除两条幅值较大的谱线外 还出现了一些幅值较小的谱线 由于非整周期截取 产生了栅栏效应 要减少泄露效应 可以采用其他类型的窗函数 或将截断长度调整为整周期 要避免栅栏效应 可以将截断长度调整为整周期 且由于该 种 x t 中频率为有理数 易做到整周期截断 因此可完全避免泄露和栅栏效应 误差分析 3 99 0 cos 3 99 0 cos 2 1 tttx 可见关注频率为 0 99 倍频 实际所求并没有理论的频率 故用 1 倍频近似 理论 实际的幅值和相角分别为 1 中 1 1 00 60deg 63 4deg 2 中 1 1 00 60deg 61 9deg 故误差 1 中 deg4 3 0 A 2 中 deg9 1 0 A 由于截断长度虽不是整周期但比较接近 故幅值误差不大 但相角误差较大 一 典型函数 FFT 变换 重排 FFT 结果 使 DC 在谱图中间 1 对不同占空比方波信号 FFT 分析 均取每周期点数 200 总点数 400 依照实 验指导书生成方波 从上到下依次为 方波信号 幅频信号 相频信号 1 占空比 3 024681012 2 0 2 202468101214 0 0 5 1 202468101214 200 0 200 2 占空比 6 024681012 2 0 2 202468101214 0 0 5 1 202468101214 200 0 200 3 占空比 9 024681012 2 0 2 202468101214 0 0 5 1 202468101214 200 0 200 4 占空比 20 024681012 2 0 2 202468101214 0 0 5 1 202468101214 200 0 200 5 占空比 40 024681012 2 0 2 202468101214 0 0 5 1 202468101214 200 0 200 6 占空比 60 024681012 2 0 2 202468101214 0 0 5 1 202468101214 200 0 200 7 占空比 80 024681012 2 0 2 202468101214 0 0 5 1 202468101214 200 0 200 8 占空比 90 024681012 2 0 2 202468101214 0 0 5 1 202468101214 200 0 200 分析 由以上占空比不同的方波的频谱图可见 在占空比 50 以下 随着占空比的增大 幅值较大的特征频率向低频集中 在占空比 50 以下 可以发现方波占空比越大 低频分 量越多的特点 而相角则无明显的变化规律 由此推断得到 当占空比为 100 常数信 号 时 能量全部集中在 DC 分量上 delta 函数 而当占空比为 0 单位脉冲信号 时 能量均匀分布在各个频率上 常数 两种极端的情况都符合前述变化规律 2 用伪随机模仿白噪声信号进行 FFT 分析 伪随机信号 0500100015002000250030003500400045005000 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 幅频图 0100020003000400050006000 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 相频图 0100020003000400050006000 200 150 100 50 0 50 100 150 200 明显能量几乎完全集中在频率为 0 DC 分量 上 所以伪随机信号的频谱图具有随机 信号的特征 利用该特点 可以利用伪随机信号生成随机数或者其他有用的随机信号 便 于进行工程应用 二 实际信号频谱分析 1 电风扇振动信号分析 采样频率 128Hz 采样点数为 512 为提高频谱分辨率做 128 点的 FFT 截断长度 128 为了减小外界干扰带来的误差 将采样点数分为 4 组 按点号 1 128 129 256 257 384 385 512 分 分别求得每组数据的 FFT 以后求平均 即 可得到较为准确的频谱图 分析振动时 一般只考虑幅值 能量 大小 而不考虑相角 故只做出幅频图即可 1 低速 matlab 程序 x1 ls 1 128 x2 ls 129 256 x3 ls 257 384 x4 ls 385 512 y1 fft x1 y1 fftshift y1 y1 abs y1 128 y2 fft x2 y2 fftshift y2 y2 abs y2 128 y3 fft x3 y3 fftshift y3 y3 abs y3 128 y4 fft x4 y4 fftshift y4 y4 abs y4 128 y y1 y2 y3 y4 4 n 1 128 bar n y 0 3 grid on 幅频图 020406080100120140 0 0 05 0 1 0 15