2017最新例谈高中数学一题多解和一题多变的意义

教育学 期刊 2012 年 5 月刊推荐稿件 教育学 期刊 2012 年 5 月刊推荐稿件 例谈高中数学一题多解和一题多变的意义例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 杨水长 摘 要 高中数学教学中 用一题多解和一题多变的形式 可以使所学的知识得到活化 融会贯通 而且可 以开阔思路 培养学生的发散思维和创新思维能力 从而达到提高学生的学习兴趣 学好数学的效果 关键词 一题多变 一题多解 创新思维 数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥 乏味 不好学 没兴趣 但由于高考 指挥棒 的作用 又只 能硬着头皮学 如何才能学好数学 俗话说 熟能生巧 很多人认为要学好数学就是要多做 固然 多做题 目可以使学生提高成绩 但长期如此 恐怕也会使 学生觉得数学越来越枯燥 我觉得要使学生学好数学 首先要提高学生的 学习兴趣和数学思维能力 根据高考数学 源于课 本 高于课本 的命题原则 教师在教学或复习过 程中可以利用书本上的例题和习题 进行对比 联 想 采取一题多解与一题多变的形式进行教学 这是 提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径 下 面举例说明 例题 已知 tan 4 3 求 sin cos 的值 分析 因为题中有 sin cos tan 考虑他们 之间的关系 最容易想到的是用同角三角函数关系 式和方程解此题 法一 根据同角三角函数关系式 tan 4 3 cos sin 且 sina2 cos2 1 两式联立 得出 cos2 25 16 cos 5 4 或者 cos 5 4 而 sin 5 3 或者 sin 5 3 分析 上面解方程组较难且繁琐 充分利用用 同角三角函数关系式 1 的代换 不解方程组 直 接求解就简洁些 法二 tan 4 3 在第一 三象限 在第一象限时 cos2 cossin cos 22 2 5 tan 2 1 1 25 16 cos 5 4 sin cos 2 1 5 3 而在第三象限时 cosa 5 4 sina 5 3 分析 利用比例的性质和同角三角函数关系式 解此题更妙 法三 tan 4 3 cos sin 4 cos 3 sin 4 cos 3 sin 34 cossin 22 22 sin 5 3 cos 5 4 或 sin 5 3 cos 5 4 分析 上面从代数法角度解此题 如果单独考 虑 sin cos tan 可用定义来解此题 初中时 三角函数定义是从直角三角形引入的 因此我们可 以尝试几何法来解之 法四 当 为锐角时 由于 tana 4 3 在直角 ABC 中 设 A a 3x b 4x 则勾股定理 得 c 5x 教育学 期刊 2012 年 5 月刊推荐稿件 sinA AB BC 5 3 cosA AB AC 5 4 sin 5 3 cos 5 4 或 sin 5 3 cos 5 4 分析 用初中三角函数定义解此题 更应该尝 试用三角函数高中的定义解此题 因为适用范围更 广 法五 当 为锐角时 如下图所示 在单位圆 中 设 AOT 因为 tan 4 3 则 T 点坐标是 T 1 4 3 由勾股定理得 OT 4 3 2 1 4 5 OMP 0AT AT MP OA OM OT OP OM 5 4 MP 5 3 p 5 4 5 3 sin 5 3 cos 5 4 或 sin 5 3 cos 5 4 分析 圆和直线已经放入直角坐标系中 肯定 可以尝试用解析几何法来解此题 解法六 如上图 易求出直线 OT 的方程和单 位圆的方程 y 4 3 x x2 y2 1 两式联立 得出 5 4 5 3 x y 或 5 4 5 3 x y T 点坐标是 P 5 4 5 3 P 5 4 5 3 sin 5 3 cos 5 4 或 sin 5 3 cos 5 4 分析 先考虑 sin cos 两者之间的关系 容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题 解法七 tan 4 3 cos sin 4sina 3cosa 0 由三角函数辅助角公式得 5sin a 0 其中 sin 5 3 cos 5 4 a k k Z sina sin k sin 在第一 三象限 容易求出 sin 5 3 cos 5 4 或 sin 5 3 cos 5 4 分析 仅仅从角度变换考虑 看一看 用二倍 角公式是否能解决此问题 解法八 由二倍角公式 得 tan 2 2tan 2 1 2 tan 4 3 3tan22 8tan2 3 0 tan2 3 或 tan2 3 1 教育学 期刊 2012 年 5 月刊推荐稿件 sin 2sin2 cos2 22 cossin 2 cos 2 sin2 22 2 2 1 2 tan2 tan 2 sin 5 3 cos 5 4 或 sin 5 3 cos 5 4 判别式 此外 我们还可以尝试从向量的角度思考这个 问题 这里就不再赘述 下面展示本题的变式与推 广 变式 1 已知 tan 3 求 sin cos 的值 变式 2 已知 tan m 求 sin cos 的值 变式 3 已知 sin m 求 cos tan 的值 由上例可以看出 一题多解和一题多变可以使 学生更积极参与到课堂中来 从而激发学生对数学学 习的兴趣和信心 一道数学题因思考的角度不同可 得到多种不同的解法 这有助于拓宽解题思路 提高学 生分析问题的能力 一道数学题