2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷

20112011 年四川初中数学联赛 初二组 决赛试卷年四川初中数学联赛 初二组 决赛试卷 4 月 10 日 上午 8 45 11 15 一 选择题 本题满分一 选择题 本题满分 42 分 每小题分 每小题 7 分 分 1 我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下 100 克以内 0 7 元 每增加 100 克 不足 100 克按 100 克计 0 4 元 某人从成都邮寄一本书到上海 书的质量是 470 克 那么他应付邮资 A 2 3 元 B 2 6 元 C 3 元 D 3 5 元 2 设关于 x 的分式方程有无穷多个解 则 a 的值有 22 22 aa xx A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 无穷多个 3 实数 a b c 满足 且 则的值 0abc 0abc 111 abc A 是正数 B 是负数 C 是零 D 正负不能确定 4 若 a b c 分别是三角形三边长 且满足 则一定有 1111 abcabc A a b c B a b C a c 或 b c D a2 b2 c2 5 已知如图 长方形 ABCD AB 8 BC 6 若将长方形顶点 A C 重合折叠起来 则折痕 PQ 长为 A B 7 C 8 D 15 2 17 2 6 用三个 2 能写出最大的数一定是 A 等于 B 等于 222 C 等于 242 D 大于 1000 2 2 2 二 填空题 本题满分二 填空题 本题满分 28 分 每小题分 每小题 7 分 分 1 x 是实数 那么的最小值是 115xxx 2 已知 则的值为 31a 201220112010 22aaa 3 右图是一个由 6 个正方形构成的长方形 如果最小的正方形的面积是 1 则 这 个长方形的面积是 4 若 ABC 的三条中线长为 3 4 5 则 S ABC为 三 三 本大题满分 本大题满分 20 分 分 设有 m 个正 n 边形 这 m 个正 n 边形的内角总和度数能够被 8 整除 求 m n 的最小值 Q P D CB A 四 四 本大题满分 本大题满分 25 分 分 现有红 黄 蓝 白 4 种颜色的袜子若干 足够多 若只要两只同色的袜子就可以配成 1 双 请问至少需 要多少只袜子就一定能够配成 10 双袜子 五 五 本大题满分 本大题满分 25 分 分 已知如图 正方形 ABCD BE BD CE 平行于 BD BE 交 CD 于 F 求证 DE DF F E D CB A 20112011 年四川初中数学联赛年四川初中数学联赛 初二组初二组 决赛决赛 参考解答与评分标准参考解答与评分标准 一 选择题 本题满分一 选择题 本题满分 4242 分 每小题分 每小题 7 7 分 分 1 我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下 100 克以内 0 7 元 每增加 100 克 不足 100 克按 100 克计 0 4 元 某人从成都邮寄一本书到上海 书的质量是 470 克 那么他应付邮资 A 2 3 元 B 2 6 元 C 3 元 D 3 5 元 答 书的质量 克 故邮资为 元 选 A 701003100470 3 24 04 037 0 2 设关于的分式方程有无穷多个解 则的值有 x 2 2 2 2 x a x a a A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 无穷多个 答 因为分式方程有解 故 解得 故只有 1 个 所以选 B aa 222 aa 实数 满足 且 则的值 abc0 cba0 abc cba 111 A 是正数 B 是负数 C 是零 D 正负不能确定 答 由 知 中 必有两负一正 不妨设 且 0 cba0 abccba 0 a0 b0 c ca 所以 故 而 所以 选 B 1 1 ca ca 11 0 1 b 0 111 cba 若分别是三角形三边长 且满足 则一定有 cba cbacba 1111 A B C 或 D cba ba ca cb 222 cba 答 由分式化简可得 故或 选 C 0 cbcabaca cb 已知如图 长方形 ABCD AB 8 BC 6 若将长方形顶点 A C 重合折叠起来 则折痕 PQ 长为 A B 7 C 8 D 2 15 2 17 答 显然 AC 与 PQ 相互垂直平分 于是相似 POC ADC 则 得 故 选 A DC OC AD PO 4 15 PO 2 15 PQ 用三个 2 能写出最大的数一定 A B 等于 222 C 等于 242 D 大于 1000 2 2 2 答 最大的数是 选 D 1000222 二 填空题 本题满分二 填空题 本题满分 2828 分 每小题分 每小题 7 7 分 分 1 是实数 那么的最小值是 x 5 1 1 xxx 答 当时 取最小值 6 1 x 5 1 1 xxx 2 已知 则的值是 13 a 201020112012 22aaa 答 因为 故 故324 13 22 a022 2 aa 0 22 22 22010201020112012 aaaaaa 3 右图是一个由 6 个正方形构成的长方形 如果最小的正方形的面积是 1 则这个长方形的面积是 143 答 如图设 6 个正方形的边长从小到大依次为 1 则由长方形的上下两边xx1 x2 x3 x 第 第 3第 第 五 5五 P Q O CD AB 相等有 得 于是长方形的长和宽分别为 3 2 1 xxxxx4 x13 1 xxx 于是长方形面积为 11 3 xx14311 13 4 在的三条中线长为 3 4 5 则为 ABC ABC S 答 将 GD 延长一倍至 D 则四边形 BDCD 是平行四边形 则的CGD 边长 分别是的三条中线长的倍 故它是直角三角形 且面积为 另一方ABC 3 2 3 8 面 的面积与面积相等 而的面积是的 故CGD BGC BGC ABC 3 1 8 ABC S 三 三 本大题满分 本大题满分 2020 分 分 设有 m 个正 n 边形 这 m 个正 n 多边形的内角总和度数能够被 8 整除 求 m n 的最小值 解 由题意 这 m 个正 n 多边形的内角总和度数为 5 分mmnnm360180180 2 因为能被 8 整除 故 180mn 能被 8 整除 m360 而 180 能被 4 整除 不能被 8 整除 则必有 mn 能被 2 整除 故 m n 中只至少有一偶数 10 分 又 且均为整数 1 m3 n 要使 m n 最小 则 取时 则 15 分1 m4 n 取时 则 2 m3 n 故 m n 的最小值为 5 20 分 四 四 本大题满分 本大题满分 2525 分 分 现有红 黄 蓝 白 4 种颜色的袜子若干 足够多 若只要两只同色的袜子就可以配成 1 双 请问至少 需要多少只袜子就一定能够配成 10 双袜子 解 1 因为有 4 种颜色的袜子 故 5 只袜子必有 1 双 5 分 取出 1 双袜子 剩下 3 只 则再增加 2 只袜子 又可以配成 1 双 10 分 以此类推 配成袜子的双数 x 与所需袜子只数 y 就有如下关系 15 分32 xy 于是要配成 10 双袜子 所需 23 只就够了 20 分 如果取出 22 只袜子 一定配成 9 双袜子 假如剩下 4 只四种颜色一样一只 那么 22 只袜子就配不成 10 双袜子 因此 至少需要 23 只袜子就一定可以配成 10 双袜子 25 分 解 2 五 4五 D G F D E A B C 单色袜子最多剩下 4 只 5 分 因此 24 只袜子一定能够配成 10 双 10 分 当取出 23 只袜子时 一定能够配成 9 双 此时剩下 5 只袜子 15 分 5 袜子中 可以配成 1 双 于是 23 只袜子 也可以配成 10 双 20 分 当取出 22 只袜子时 一定配成 9 双袜子 假如剩下 4 只四种颜色一样一只 那么 22 只袜子就配不成 10 双袜子 因此 至少需要 23 只袜子就一定可以配成 10 双袜子 25 分 五 五 本大题满分 本大题满分 2525 分 分 已知如图 正方形 ABCD BE BD CE 平行 BD BE 交 CD 于 F 求证 DE DF 证明 作 E 关于 BC 的对称点 E 连接 DE CE BE 根据对称性质有 且 5 分BDBEBE CEC