数字信号处理第二章附加习题2011-1-22_整合版(3)

一 一 信号的取样和内插信号的取样和内插 知识点 知识点 连续时间信号离散后的频谱特点 Nyquist 取样定理的理解和掌握 理想内插的时域和频域信号特点 了解非理想内插的几个函数 1 考虑两个正弦波信号 和 1 cos 6 g ttp 2 cos 14 g ttp 以 20 rad sec 对此信号进行离散化 然后使用截止频率为 T 10 rad sec 的理想低通 滤波器恢复得到模拟信号如下 g1 t g2 t 请给出对应的模拟信号 解 g1 t 满足 Nyquist 抽样定理 无信号的混叠 g2 t 不满足 Nyquist 抽样定理 发 生信号的混叠 恢复的模拟信号如下 11 22 cos 6 cos 6 cos 14 cos 6 g ttg tt g ttg tt pp pp 2 设有模拟信号 300 300 用抽样 1 txa 2000sin t 2 txa 5000cos t 3000 样值 秒分别对其进行抽样 则 的周期分别 s f 11sa nTxnx 22sa nTxnx 为多少 解 3 6 1 N 2 N 3 已知三角形脉冲的频谱见下图 大致画出三角形脉冲被冲激抽样后信号的频谱 抽样间 隔为 令 8 分析 频谱为的信号被冲激信号抽样后 所得的抽样信号的频谱 1 其中为抽样频率 为抽样时间间隔 此题中 则 2 8 16 解 如图所示 三角脉冲信号的频谱 2 2 4 第一零点值 4 抽样信号的频谱大致如下图所示 4 若连续信号的频谱是带状的 如题图所示 利用卷积定理说明当 1 2 时 最低抽样率只要等于就可以使抽样信号不产生频谱混叠 2 2 1 2 解 对连续信号进行冲激抽样 所得的抽样信号 T 为抽样间隔 由卷积定理 1 2 2 2 1 2 为抽样频率 1 若的频谱是带状的 如题如所示 则当时 采用的频率对进行抽 2 2 1 2 样 所得的如下图所示 可见频谱没有发生混叠 5 内插或以整数因子 N 增采样的过程可以看成两种运算的级联 第一个系统 系统 A 相当于在 x n 的每个序列值之间插入 N 1 个零序列值 因而 0 2 0 对于准确的带限内插 是一个理想的低通滤波器 1 确定系统 A 是否是线性的 2 确定系统 A 是否是时不变的 3 若如图所示 且 N 3 画出 解 1 取和 并设 1 2 3 1 2 则 3 1 2 0 2 0 而 1 1 0 2 0 2 2 0 2 0 所以 1 2 1 2 0 2 0 因此 3 1 2 可见系统是线性的 2 取 1 2 1 1 2 2 3 则在 N 4 时 有 1 2 4 1 2 8 4 取 2 1 1 则在 N 4 时 有 2 2 4 1 2 4 如下图所示 可见系统 A 是时变的 3 0 2 0 上式的傅里叶变换为 如图所示 二 离散系统及其普遍关系二 离散系统及其普遍关系 知识点 知识点 掌握离散系统的线性 时变 稳定和因果的判断方法 理解单位脉冲响应对应的稳定和因果的判断方法 掌握线性时不变系统的离散卷积计算方法 3 试判断下列系统是否线性 是否时不变 是否稳定 是否因果 0 0 n mn y nx mnn 解 线性 移变 非稳定 因果 4 试判断下列系统是否线性 是否时不变 是否稳定 是否因果 x n y ne 解 b 非线性 移不变 稳定 因果 5 设某线性时不变系统 其单位抽样响应为 n h na u n 试讨论该系统的因果性和稳定性 解 讨论因果性 时 故此系统是因果系统 0n 0h n 讨论稳定性 0 1 1 1 1 n nn a a h na a 所以时 系统稳定 1 1 y ny nx n a 6 常系数线性差分方程为 1 y nay nx n 边界条件为 试说明它是否是线性时不变系统 0 1y 解 1 令 11 0 1x nny 则 111 2 111 111 1 0 1 2 1 2 1 n yayxa yayxa y nay nx na 同样利用 1 1 y ny nx n a 可递推求得 1 0 1y nn 所以 1 n y na u n 令 22 1 0 1x nny 则 222 2 222 1 222 1 0 1 1 2 1 2 1 nn yayxa yayxaa y nay nx naa 同样可递推求得 2 1 n y nan 所以 1 2 1 1 nnn y na u nau na un 和为移一位关系 但和不是移一位关系 因而系统不是时不变系 1 x n 2 x n 1 y n 2 y n 统 2 前面已证明 11 1 22 1 1 n nn x nny na u n x nny na u nau n 令 3123 1 0 1x nx nx nnny 则得 333 2 333 1 333 1 0 1 1 2 1 2 1 nn yayxa yayxaa y nay nx naa 同样可递推求得 3 0 1y nn 所以 1 3 1 nn y na u nau n 又 1 12 2 1 1 nnn y ny na u nau na un 所以 312 y ny ny n 因此 这个系统不是线性系统 7 设 1 13 2 0 nn x n n 其他 1 02 0 n h n n 其他 试画出 其中 y n y nx nh n 解 一 离散时间信号的傅里叶变换及性质一 离散时间信号的傅里叶变换及性质 知识点 知识点 连续采样信号傅里叶变换与离散时域信号傅里叶变换的关系 利用 DTFT 的定义及性质求 DTFT 离散时间信号截断后傅里叶变换 离散时间信号的内插与抽取 考察点 考察点 DTFT 性质性质 1 设信号的傅里叶变换为 利用傅里叶变换的定义或性质 求下列序列的傅 x n jw X e 里叶变换 1 2 3 4 5 1 x nx n xn xn 2 xn nx n 6 2 xn 解答 1 jwjw eX e 2 jw Xe 3 jw X e 4 2 jw X e 5 jw dX e j dw 6 jj w X eX edw 考察点 考察点 DTFT 性质性质 2 如图所示序列 设其 DTFT 为 试利用 DTFT 的物理含义及性质 完成以 x n jw X e 下运算 1 2 3 0 j X e jw X edw j X e 4 确定并画出傅里叶变换为的时间序列 jw e R X e e x n 5 6 2 jw X edw 2 jw dX e dw dw 解答 1 7 0 3 7 3 7 2 2 3 1 6 2 0 24 3 1 2 4 Re 1 2 5 2 28 6 j n jw jj nn nn Fjw e e jw n jw F jw X ex n X edwx X ex n ex n X ex n x nx nxn X edwxn dX e jnx n dw dX e 2 7 2 3 2 316 n dwnx n dw 4 考察点 离散时间信号抽取考察点 离散时间信号抽取 3 若为的傅里叶变换 求 jw X e x n 0 k n xn k x nk 为整数 其他 jw k Xe 解答 jwjwnjwkrjkw kk nr Xex n ex r eX e 考察点 离散时间信号的截断考察点 离散时间信号的截断 4 将一个的无限长信号截短 最简单的方法是用一个窗函数去乘该信号 若所n 用的窗函数为矩形窗 即 10 1 1 0 N nN d nRn n 为其他值 则实现了的截短 NN xnx n Rn x n 若的频谱 求傅里叶变换 并画出频谱大致 x n 310 4 00 4 jw w X e w N xn 分布 解答 由 DTFT 定义得 11 00 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 sin 2 sin 2 NN jwjwnjwn nn jwNjwNjwNjwN jwjwjwjw jw N D ed n ee eeee eeee wN e w 由 DTFT 性质有 0 4 0 4 jwjwjw N jj w w jj w w XeX eD e D eX ed D eX ed 频谱大致分布 0 4 0 4 30 考察点 考察点 DTFT 性质性质 5 若序列是因果序列 已知傅里叶变换的实部为 求序列及 x n 1 cos jw R Xew x n 其傅里叶变换 jw X e 解答 11 1 cos1 22 11 1 1 22 1 2 11 1 22 1 1 2 jwjwjw R e e jwjw Xewee x nnnn x nx nxn x n x nnn X ee 因为为实因果序列 6 假设序列分别如图所示 其中的傅里叶变换为 1234 x n x n x n x n 1 x n 1 jw X e 试用表示其它三个序列的傅里叶变换 1 jw X e 解答 211 4 211 311 34 311 411 7 411 4 3 4 7 jwjwjwj w jwjwj wjwj w jwjwjwj w x nx nx n XeX eX ee x nxnx n XeXeeX ee x nx nxn XeX eXee 二 二 Z 反变换 留数法 反变换 留数法 知识点 知识点 Z 变换及其收敛域的判断 留数法求 Z 反变换 Z 反变换求离散系统响应 考察点 考察点 z 变换收敛域判断及用留数法求变换收敛域判断及用留数法求 Z 反变换反变换 7 已知 11 32 1 0 51 2 X z zz 1 根据零极点分布 写出所有可能的收敛域 2 若系统稳定 用留数法求逆 z 变换 3 若系统稳定非因果 用留数法求逆 z 变换 解答 1 有两个极点 因为收敛域总是以极点为界 因此收敛域有三 X z 12 0 5 2zz 种情况 0 5 0 52 2zzz 2 若系统稳定 则收敛域为0 52z 1 1 1 57 0 5 2 0 1 Re 0 5 3 2 0 5 0 Re 2 2 2 1 1 3 2 2 1 2 nn nn nn nn z X z zz zz n x ns X z z nc x ns X z zun x nun 时 c内有极点0 5 时 内有极点0 但0是n阶极点 最后可得 3 若系统因果非稳定 则收敛域为2z 11 0 0 5 2 1 Re 0 5 Re 2 3 2 2 2 0 0 1 3 2 2 2 nnnn nn nc x ns X z zs X z z nx n x nu nu n 内有极点 最后得到 考察点 留数法求逆考察点 留数法求逆 z 变换变换 8 设 试求的反变换 2 1 1 1 1 1 1 a X zazaa azaz X z 解答 根据收敛域是环状域 原序列为双边序列 22 11 11 1 11 11 1 1 0 Re 00 Re 0 0 nnn nn nn n n aa X z zzz azaza za za n x ns X z zaa nca x ns X z zaa an x n an 时 c内有极点z a 时 内有极点 但0是n阶极点 最后可得 三 三 Z 变换与拉普拉斯 傅里叶变换的关变换与拉普拉斯 傅里叶变换的关 系及离散系统的频域分析系及离散系统的频域分析 知识点 知识点 Z 变换与拉氏变换 傅里叶变换的关系 Z 变换求 LTI 系统的输出及稳态解 离散系统的传输函数零极点分布 及系统幅频响应 考察点 考察点 Z 变换求变换求 LTI 系统的输出系统的输出 9 已知系统的差分方程为 1 1y nby nx nb 输入信号为 初始条件为 求系统的输出响应 1 n x na u na 1 2y 解答 1 1 1111 111 1 1 1 2 21 11 1 1 max 1 2 n nnn X zZ a u n az Y zbz Y zbyX z bX zb Y z bzbzazbz za b y nbu nabu n ab 带入初始条件可得 收敛域得到系统输出为 考察点 系统幅频响应考察点 系统幅频响应 10 设一阶系统的差分方程为 试定性分析系统的幅频特 1 01y nby nx nb 性 解答 由系统的差分方程得到系统函数为 1 1 1 z H z bzzb 系统零点为 极点为 零极点分布如图 0z zb 取单位圆上点 A 可以画出极点矢量和零点矢量 A 从开始 沿单位圆逆时针0w 转一圈 观察极点矢量长度和零点矢量长度的变化 可得 当时 极点矢量长度最短 所以幅度值最大 0w 当时 极点矢量长度最长 所以幅度值最小 w 幅频特性关于对称 可以定性画出系统的幅频特性如下图 w 考察点 系统零极点分布 系统频率响应考察点 系统零极点分布 系统频率响应 11 一离散时间系统有一对共轭极点 且在原点有二阶重零点 4 1 0 8 j pe 4 2 0 8 j pe