高等数学练习题-----第二章----导数与微分

精品文档 1欢迎下载 高等数学练习题高等数学练习题 第二章第二章 导数与微分导数与微分 系系 专业专业 班班 姓名姓名 学号学号 第一节第一节 导数概念导数概念 一 填空题 1 若存在 则 0 x f x xfxxf x lim 00 0 0 x f 2 若存在 0 x f h hxfhxf h lim 00 0 2 0 x f 00 0 3 lim x f xxf x x 0 3 fx 3 设 则 2 0 xf 2 lim 00 0 xfxxf x x 4 1 4 已知物体的运动规律为 米 则物体在秒时的瞬时速度为 5 5 米 米 秒 秒 2 tts 2 t 5 曲线上点 处的切线方程为 法线方程为 xycos 3 2 1 0 3 123 yx 0 3 2 2 3 32 yx 6 用箭头 或 表示在一点处函数极限存在 连续 可导 可微之间的关系 可微 可导 连续 极限存在 二 选择题 1 设 且存在 则 B B 0 0 f 0 f x xf x lim 0 A B C D x f 0 f 0 f 2 1 0 f 2 设在处可导 为常数 则 B B xfxab x xbxfxaxf x lim 0 A B C D x f xfba xfba 2 ba x f 3 函数在点处连续是在该点处可导的条件 B B 0 x 0 x A 充分但不是必要 B 必要但不是充分 C 充分必要 D 即非充分也非必 要 4 设曲线在点 M 处的切线斜率为 3 则点 M 的坐标为 B B 2 2 xxy 精品文档 2欢迎下载 A 0 1 B 1 0 C 0 0 D 1 1 5 设函数 则 在处 B B sin xxf xf0 x A 不连续 B 连续 但不可导 C 可导 但不连续 D 可导 且导数也连续 三 设函数为了使函数在处连续且可导 应取什 1 1 2 xbax xx xf xf1 xab 么值 解解 由于 由于在在处连续处连续 所以所以 xf1 x 1 1 1 1 fbaff 即即 1 ba 又又在在处可导 所以处可导 所以 xf1 x 2 1 1 1 lim2 1 x x f x 1 1 lim 1 x axbab fa x 有有 2 a1 b 故故 求得求得 2 a1 b 四 如果为偶函数 且存在 证明 0 xf 0 f 0 f 解解 由于 由于是偶函数是偶函数 所以有所以有 xf xfxf 0 0 0 lim 0 x f xf f x 0 0 lim 0 x fxf x 0 0 lim 0 x t t f tf f t 令 即即 故故 0 0 2 f 0 0 f 五 证明 双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值 2 axy 精品文档 3欢迎下载 解解 在任意在任意处的切线方程为处的切线方程为 2 22 x a y x a y 00 yx 0 2 0 2 0 xx x a yy 则该切线与两坐标轴的交点为 则该切线与两坐标轴的交点为 和和 2 0 0 2 x a 0 2 0 x 所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为 是已知常数 是已知常数 2 0 2 22 2 2 1 ax x a A a 故其值为定值故其值为定值 高等数学练习题高等数学练习题 第二章第二章 导数与微分导数与微分 系系 专业专业 班级班级 姓名姓名 学号学号 第二节第二节 求导法则 一 求导法则 一 一 填空题 1 xxysin sec2 y 1cos2tan2 xx x ey sin y x xe sin cos 2 y 2cos x ey y 2sin 2 xx ee x x2sin y 2 2sin2cos2 x xxx 3 2 tanln csc r2lnlog2 xx r ex 22 loglog 4 tanln secttw w tsec 2 arccos yxx y 22 2 1 xx xx 5 1 2 x 2 1x x cx 2 1 2 1x x 6 2 tan ln x cxx 1ln 2 2 1 1 x 二 选择题 1 已知 y 则 B B x xsin y 精品文档 4欢迎下载 A B C D 2 cossin x xxx 2 sincos x xxx 2 sinsin x xxx xxxxsincos 23 2 已知 y 则 C C x x cos1 sin y A B C D 1cos2 1cos x x 1cos2 cos1 x x xcos1 1 x x cos1 1cos2 3 已知 则 A A x eysec y A B C D xxx eeetansec xx ee tansec x etan xx ee cot 4 已知 则 A A 1ln 2 xxy y A B C D 2 1 1 x 2 1x 2 1x x 1 2 x 5 已知 则 D D xycotln 4 x y A 1 B 2 C D 2 1 2 6 已知 则 B B x x y 1 1 y A B C D 2 1 2 x 2 1 2 x 2 1 2 x x 2 1 2 x x 三 计算下列函数的导数 1 2 33 ln lnyxx tan lnxy 解 解 解 解 2 3 3 3 111 ln 3 yxx xx x xy 1 lnsec 2 2 3 111 ln 33 yx xx lnsec 1 2 x x 3 4 v eu 1 sin2 lnsec3xy 精品文档 5欢迎下载 解 解 解 解 v eu v 1 sin2 1 sin2 1 1 cos 2 vv sec ln lnsec3 2 xxy x x 1 tan ln v e vv 1 sin 2 2 2 sin 1 tan ln lnsec 3 3 xx x 5 6 2 ln 1 yxx 1 arctan 1 x y x 解 解 解 解 2 2 1 1 1 yxx xx 2 11 1 1 1 1 x y x x x 22 1 1 11 x xxx 2 1 1x 2 22 1 1 1 xx xxx 四 设可导 求下列函数 y 的导数 xf dx dy 1 2 xfx eefy cos sin 22 xfxfy 解 解 解 解 xfxx eeefy xxxfycossin2 sin 2 xfeef xfx 2 cos 2cos sin fxxx xxxxf efxfefee 22 sin2 sin cos x fxfx 3 4 arctan xfy sin sinxfxfy 精品文档 6欢迎下载 解 解 解 解 1 1 2 xf xf y xxfycos sin cos xfxf 1 2 xf xf sin cosxx cos xfxf 高等数学练习题高等数学练习题 第二章第二章 导数与微分导数与微分 系系 专业专业 班级班级 姓名姓名 学号学号 第二节第二节 求导法则 二 求导法则 二 一 填空题 1 xey x 3cos 2 y 3sin33cos 2 1 2 xxe x xy 2 ln1 y xx x 2 ln1 ln 2 x y 1 arccos y 1 1 2 xx xarx ey tan y x e xx arctan 1 2 1 3 x x y sin2 1sin2 arcsin y xsin2 3 4 设 则 1 lnarctan 2 2 x x x e e ey 1x dx dy 2 42 1 1 e ee 5 设 则 3 2 2 x exy 0 xy 3 1 6 设有连续的导数 且 若函数 xf0 0 fbf 0 0 0 sin xA x x xaxf xF 在处连续 则常数A 0 xba 精品文档 7欢迎下载 二 选择题 1 设 则 D xfy y A B C D x f x f xf xf 2 设周期函数在可导 周期为 4 又 则曲 xf 1 2 1 1 lim 0 x xff x 线 在点处的切线的斜率为 D xfy 5 5 f A B C D 2 1 01 2 3 已知 则 2 1 2 arctan 2 1 x x y y C A B C D 1 1 2 x 2 1x 1 1 2 x 1 2 x 4 已知 则 C lnarcsin xxy y A B C D xln 2 ln 1 ln xx xx 2 ln 1 ln1 xx x 1ln ln 1 2 x xx 三 已知 求 2 arctan 23 23 xxf x x fy 0 x dx dy 解 令解 令 则则且且 23 23 x x u ufy 2 arctan uuf 23 23 arctan 2 x x uuuf dx du du dy dx dy 2 2 23 23 arctan 23 12 x x x 0 x dx dy 4 3 23 23 arctan 23 12 0 2 2 x x x x 精品文档 8欢迎下载 四 设时 可导函数满足 求 0 x xf xx fxf 3 1 2 x f 0 x 解 令解 令 则则 即即 x t 1 ttf t f3 2 1 1 xxf x f3 2 1 又又 2 xx fxf 3 1 2 由由 1 1 式和式和 2 2 式可得式可得 x xxf 1 2 2 1 2 1 2 xx xxf 五 已知 且 证明 2 xf ax ln 1 xfa xf 2 xx 证明 因为证明 因为 又 2ln 22 xfxfaaax xfxf ln 1 xfa xf 所以所以 22 2 xax xf 六 证明 可导的奇函数的导数是偶函数 证明 设证明 设是奇函数且可导是奇函数且可导 则则 即即 xf xfxf xfxf xfxfxf 从而从而 是偶函数是偶函数 xf 精品文档 9欢迎下载 高等数学高等数学 练习练习 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学 系系 专业专业 班班 姓名姓名 学号学号 习题四习题四 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 一 填空题 1 设 则 y xey 1 y y e y 2 2 设 则 tan rr r csc2r 3 设 则 x y yxarctanln 22 y yx yx 4 设 则 tey tex t t cos sin dx dy tt tt cossin sincos 3 t dx dy 23 二 选择题 1 由方程所确定的曲线在 0 0 点处的切线斜率为 A A 0sin y xey xyy A B 1 C D 1 2 1 2 1 2 设由方程所确定的隐函数为 则 2 2 xy xyy dy A A A B C D dx x y 2 dx x y 2 dx x y dx x y 3 设由方程所确定的隐函数为 则 0sin 2 1 yyx xyy dx dy A A A B C D ycos2 2 ysin2 2 ycos2 2 xcos2 2 4 设由方程所确定的函数为 则在处的导数为 B B cos1 sin tay ttax xyy 2 t 精品文档 10欢迎下载 A B 1 C 0 D 1 2 1 5 设由方程所确定的函数为 则 B B 2 ln 1 arctan xt yt xyy dx dy A B C D 2 1 2 t t 1 t 1 2t t 三 求下列函数的导数 dy dx 1 2 222 333 xya 3 3 cos sin xat yat 解解 方程两边同时对求导 得 解解 x 2 2 3 sincos tan 3 cossin att yt att 11 33 22 0 33 xyy 3 y y x 3 4 23 10 x yx yye x exxy 1sin 解解 方程两边同时对求导 得 解解 x 1ln 4 1 sinln 2 1 ln 2 1 ln x exxy 322 230 xx yxyx y yyey e 1 4sin2 cos 2 1 1 x x e e x x x y y 3 22 2 1 3 x x xyye y x ye 1 4 cot2 2 1 1sin x x x e e x x exxy 四 求曲线 在处的切线方程 法线方程 02 01sin 3 y ex x 0 精品文档 11欢迎下载 解解 ddy 23 2 0cossin dedxedx xx 从而从而 sin1 cos x x e de dx cos sin1 23 2 x x e e dx dy 当当 0 1 0 yx e dx dy 2 0 故故 切线方程为切线方程为 1 2 xey 法线方程为法线方程为 1 2 1 x e y 高等数学高等数学 练习练习 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学 系系 专业专业 班班 姓名姓名 学号学号 习题五习题五 高阶导数高阶导数 一 填空题 设 则 cos r r sincos r cossin2 2 设 则 1ln 2 xxy y 2 1 1 x y 2 32 1 x x 3 若 且 存在 则 2 tfy t f dt dy 2 2 ttf 2 2 dt yd 4 2 222 tfttf 设 则 y xey 1 y y e y 2 y 3 2 2 3 y ye y 5 设 且 则 arctgtty tfx 2 t dx dy 2 2 dx yd t t 4 1 2 6 设 则 12 xn exy n y 12 2 xne n 7 设 则 2001 2 1 xxxxxf 0 f 2001 二 选择题 1 若 则 D D xxyln 2 y 精品文档 12欢迎下载 A B C D xln21ln2 x2ln2 x 3ln2 x 2 设 则 B B ufy x eu 2 2 dx yd A B C D 2 ufe x 2 u f u ufu 2 ufe uufufu 3 设则 A A xy 2 sin n y A B 2 1 2sin 2 1 nx n 2 1 2cos 2 1 nx n C D 2 1 2sin 2 1 nx n 2 1 2sin 2 nx n 4 设 则 A A x xey n y A B C D nxe x nxe x 2nxe x nx xe 三 设存在 求下列函数的二阶导数 x f y 2 2 dx yd 1 x efy 解 解 xx eef dx dy xxxx eefeef xd yd 2 2 2 2 ln xfy 解 解 1 xf xf xf xfdx dy 2 2 2 2 xf xfxfxf xd yd 四 求下列函数的二阶导数y 2 2 dx yd 精品文档 13欢迎下载 1 cos sin xat ybt 解解 cos cot sin btb yt ata 2 223 1 cot sinsin d ybb t dxaatat 2 22 arctanln y xy x 解解 方程两边同时对求导 得 x y xyxyy xy y xy 2 1 1 yxyxyy y xy 22 3 22 xy y xy 五 设 求 1 23 y x n y 解解 2 2 23 y x 2 3 2 2 23 y x 3 4 2 2 3 23 y x 4 4 5 2 2 3 4 23 y x 依此类推依此类推 得得 1 2 1 23 n nn n n y x 精品文档 14欢迎下载 高等数学高等数学 练习练习 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学 系系 专业专业 班班 姓名姓名 学号学号 习题六习题六 函数的微分函数的微分 一 已知 计算在处 xxy 2 2 x 1 当时 1 0 x y31 0 dy3 0 2 当时 001 0 xy 003001 0 dy003 0 二 1 函数在处的一次近似式为 2 1arcsinxy 2 1 x 21 323 f xx 2 函数在处的一次近似式为 1cos xey x 0 x cos1 cos1 sin1 f xx 3 计算近似值 4 83 1 3 54 三 填空 求函数的微分 1 sin2 2 d d cos2sin4 2 2 d ln cosxdxtan x 3 1 ln 2 xd dxx x 1ln 1 2 4 tansec lnxxd dxxx sec tan 2 5 1 arctan x fddx x f x 1 arctan 1 1 2 6 sin cos dx dx cot x 7 2 sindx xdx 3 cossin 2 xxx x 精品文档 15欢迎下载 8 369 3 2 d xxx dx 36 1 43xx 四 将适当的函数填入下列括号内 使等号成立 1 2 dxxd cx 2 3 3 2 dxx 23sin d 1 cos 32 3 xc 3 4 2 32 xx dx d 32 xxc dxe x2 d ce x 2 2 1 5 6 dx xa 22 1 d c a x a arctan 11 23 dx x d 1 ln 23 2 xc 7 8 2 2 xde x d 2 x ec cos 2 x dxd 1 sin 2 2 xc 9 d 10 2 1 1 dx x cx arcsin ln x dx x d 2 ln 2 x c 五 求下列函数或隐函数的微分 1 求1 2 2 2 2 b y a x dy 解解 对方程两边求微分得对方程两边求微分得 0 22 22 b ydy a xdx 所以所以 ya xdxb dy 2 2 2 求yxyarctan dy 解解 对方程两边求微分得对方程两边求微分得 2 1y dy dxdy 精品文档 16欢迎下载 所以所以 dx y y dy 2 2 1 3 求 x xy sin dy 解解 由于由于 xx ey lnsin 所以所以 sin sin cosln x x dyxxdx x 高等数学练习题高等数学练习题 第二章第二章 导数与微分导数与微分 系系 专业专业 班班 姓名姓名 学号学号 第二章综合练习 一 第二章综合练习 一 一 填空题 1 设存在 为常数 则 x f 0 a h a h xf a h xf h lim 0 2 xf a 2 若抛物线在点 1 1 处的切线平行于直线 cbxxy 2 01 xy 则 b1 c1 3 若可导 且 则 xf sin efy y sin cos efe 4 若 且 则 1ln 2 ty tfx t dx dy 2 2 2 dx yd 2 22t 5 若 则 0 2 xexy y dydx yex y y2 2 1 6 若则 u uey 100 y u eu 100 二 选择题 1 若 且在 0 内 0 0 则在 0 内 xf xf x f x f xf A A A 0 0 B 0 x f x f x f x f C 0 0 0 x f x f x f x f 2 设函数可导 当自变量在处取得增量时 相应地 uf 2 xfy x1 x1 0 x 精品文档 17欢迎下载 函数增量的线性主部为 0 1 则 y 1 f D D A B 0 1 C 1 D 0 51 3 设 则 C C 1 arcsin 1 x x xxf A B C D 不存在0 1 f 1 1 f 4 1 f 1 f 4 设 则 B B xx x ytanlncos 2 tanln y A B C D xxtanlncosxxtanlnsinxxcotlnsinxxtanlntan 三 设函数由方程所确定 求 xyy exye y 0 y 解解 方程两边对方程两边对求导得求导得 x 0 xyyye y y ex y y 2 1 y yy ex yeyexy y 3 2 y yy ex xeye 当当 得得 所以所以 0 x1 y 2 1 0 e y 四 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数 dx dy 2 2 dx yd 1 2 ty tx arctan 1ln 2 3 3 sin cos ay ax 解解 解解 t dt t t dt t dx dy1 1 1 1 2 2 tan sin cos3 cossin3 2 2 a a dx dy 精品文档 18欢迎下载 dx dt tdt d dx dy dx d dx yd 1 2 2 dx d d d dx dy dx d dx yd tan 2 2 3 2 2 2 1 1 11 t t t t t sincos3 1 sec 2 2 a cscsec 3 1 4 a 五 设 用对数求导法求 x e xy dx dy 解解 函数两边取对数得函数两边取对数得 xey x lnln 上式两边对上式两边对求导得求导得x x e xey y x x ln 1 所以所以 y dx dy ln x e xe x x x e x ln x e xe x x 高等数学练习题高等数学练习题 第二章第二章 导数与微分导数与微分 系系 专业专业 班班 姓名姓名 学号学号 第二章综合练习 二 第二章综合练习 二 一 填空题 1 设存在 则 x f 1 limxf h xfh h xf 2 当时 两曲线 相切 切线方程是 a e2 1 2 axy xyln 2 1 e x y 精品文档 19欢迎下载 3 若在 内有一阶连续导数且 当时 xf 0 0 f A 0 f g x 在 内连续 0 0 xA x x xf 4 y bax a x x b b a dydx x ab b a a x x b b a bax ln 5 d dcx x 32dx x 3ln32 cxf ln lnx f x dx 6 若 则 uve vu du dv ue ev vu vu dv du vu vu ev ue 二 选择题 1 设