2013最新题库大全2005-2008年高考数学(理)试题分项 专.doc

第 1 页 共 83 页 2013 最新题库大全最新题库大全 2005 2008 年高考数学 理 试题分项年高考数学 理 试题分项 03 函数与导数函数与导数 一 选择题一 选择题 1 2008 全国一全国一 1 函数 1 yx xx 的定义域为 C A 0 x x B 1x x C 10 x x D 01xx 2 2008 全国一全国一 2 汽车经过启动 加速行驶 匀速行驶 减速行驶之后停车 若把这一 过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数 其图像可能是 A s tO A s tO s tO s tO B C D 3 2008 全国一全国一 6 若函数 1 yf x 的图像与函数ln1yx 的图像关于直线 yx 对称 则 f x B A 21x e B 2x eC 21x e D 22x e 6 2008 全国二全国二 3 函数 1 f xx x 的图像关于 C A y轴对称 B 直线xy 对称 C 坐标原点对称 D 直线xy 对称 8 2008 全国二全国二 4 若 13 1 ln2lnlnxeaxbxcx 则 C A a b cB c a bC b a cD b c0 则 2 3 log a 3 14 2008 浙江卷浙江卷 15 已知 t 为常数 函数txxy 2 2 在区间 0 3 上的最大值为 2 第 7 页 共 83 页 则 t 1 15 2008 辽宁卷辽宁卷 13 函数 10 0 x xx y ex 的反函数是 11 ln1 xx y xx 解答题 1 2008 全国一全国一 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知函数 32 1f xxaxx a R 讨论函数 f x的单调区间 设函数 f x在区间 21 33 内是减函数 求a的取值范围 解 1 32 1f xxaxx 求导 2 321fxxax 当 2 3a 时 0 0fx f x在R上递增 当 2 3a 0fx 求得两根为 2 3 3 aa x 即 f x在 2 3 3 aa 递增 22 33 33 aaaa 递减 2 3 3 aa 递增 2 2 2 32 33 31 33 aa aa 且 2 3a 解得 7 4 a 2 2008 全国二全国二 22 本小题满分 本小题满分 12 分 分 设函数 sin 2cos x f x x 求 f x的单调区间 如果对任何0 x 都有 f xax 求a的取值范围 解 第 8 页 共 83 页 22 2cos cossin sin 2cos1 2cos 2cos xxxxx fx xx 2 分 当 2 2 2 2 33 kxk k Z 时 1 cos 2 x 即 0fx 当 2 4 2 2 33 kxk k Z 时 1 cos 2 x 即 0fx 因此 f x在每一个区间 2 2 2 2 33 kk k Z 是增函数 又 0 0g 所以当0 x 时 0 0g xg 即 f xax 9 分 当 1 0 3 a 时 令 sin3h xxax 则 cos3h xxa 故当 0 arccos3xa 时 0h x 因此 h x在 0 arccos3a 上单调增加 故当 0 arccos3 xa 时 0 0h xh 即sin3xax 于是 当 0 arccos3 xa 时 sinsin 2cos3 xx f xax x 当0a 时 有 1 0 222 fa A 因此 a的取值范围是 1 3 12 分 第 9 页 共 83 页 3 2008 北京卷北京卷 18 本小题共 本小题共 13 分 分 已知函数 2 2 1 xb f x x 求导函数 fx 并确定 f x的单调区间 解 2 4 2 1 2 2 1 1 xxbx fx x A 3 222 1 xb x 当11b 即2b 时 2 1 f x x 所以函数 f x在 1 上单调递减 在 1 上单调递减 4 2008 四川卷四川卷 22 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知3x 是函数 2 ln 110f xaxxx 的一个极值点 求a 求函数 f x的单调区间 若直线yb 与函数 yf x 的图象有 3 个交点 求b的取值范围 解 因为 210 1 a fxx x 所以 36 100 4 a f 因此16a 由 知 第 10 页 共 83 页 2 16ln 110 1 f xxxx x 2 243 1 xx fx x 当 1 13 x 时 0fx 当 1 3x 时 0fx 所以 f x的单调增区间是 1 1 3 f x的单调减区间是 1 3 由 知 f x在 1 1 内单调增加 在 1 3内单调减少 在 3 上单调 增加 且当1x 或3x 时 0fx 所以 f x的极大值为 116ln29f 极小值为 332ln221f 因此 2 161610 1616ln291ff 2 132 11213f ef 所以在 f x的三个单调区间 1 1 1 3 3 直线yb 有 yfx 的图象各有一 个交点 当且仅当 31fbf 因此 b的取值范围为 32ln221 16ln29 5 2008 天津卷天津卷 21 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知函数 432 2f xxaxxb xR 其中Rba 当 10 3 a 时 讨论函数 f x的单调性 若函数 f x仅在0 x 处有极值 求a的取值范围 若对于任意的 2 2 a 不等式 1f x 在 1 1 上恒成立 求b的取值范围 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性 函数的最大值 解不等式等基础知识 考查 综合分析和解决问题的能力 满分 14 分 解 322 434 434 fxxaxxxxax 当 10 3 a 时 2 4104 2 21 2 fxxxxxxx 第 11 页 共 83 页 令 0fx 解得 1 0 x 2 1 2 x 3 2x 当x变化时 fx f x的变化情况如下表 x 0 0 1 0 2 1 2 1 2 2 2 2 fx 0 0 0 f x 极小值 极大值 极小值 所以 f x在 1 0 2 2 内是增函数 在 0 1 2 2 内是减函数 解 2 434 fxxxax 显然0 x 不是方程 2 4340 xax 的根 为使 f x仅在0 x 处有极值 必须 2 4403xax 成立 即有 2 9640a 解些不等式 得 3 8 3 8 a 这时 0 fb 是唯一极值 因此满足条件的a的取值范围是 8 8 3 3 解 由条件 2 2 a 可知 2 9640a 从而 2 4340 xax 恒成立 当0 x 时 0fx 当0 x 时 0fx 因此函数 f x在 1 1 上的最大值是 1 f与 1 f 两者中的较大者 为使对任意的 2 2 a 不等式 1f x 在 1 1 上恒成立 当且仅当 1 1 1 1 f f 即 2 2ba ba 在 2 2 a 上恒成立 所以4b 因此满足条件的b的取值范围是 4 6 2008 安徽卷安徽卷 20 本小题满分 本小题满分 12 分 分 设函数 1 01 ln f xxx xx 且 求函数 f x的单调区间 已知 1 2 a x x 对任意 0 1 x 成立 求实数a的取值范围 解解 1 22 ln1 ln x fx xx 若 0 fx 则 1 x e 列表如下 第 12 页 共 83 页 x 1 0 e 1 e 1 1 e 1 fx 0 f x单调增极大值 1 f e 单调减单调减 2 在 1 2 a x x 两边取对数 得 1 ln2lnax x 由于01 x 所以 1 ln2ln a xx 1 由 1 的结果可知 当 0 1 x 时 1 f xfe e 为使 1 式对所有 0 1 x 成立 当且仅当 ln2 a e 即ln2ae 7 2008 山东卷山东卷 21 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知函数 1 ln 1 1 n f xax x 其中 n N a 为常数 当 n 2 时 求函数 f x 的极值 当 a 1 时 证明 对任意的正整数 n 当 x 2 时 有 f x x 1 解 由已知得函数 f x 的定义域为 x x 1 当 a 0 时 f x 在 2 1x a 处取得极小值 极小值为 22 1 1 ln 2 a f aa 当 a 0 时 f x 无极值 第 13 页 共 83 页 证法一 因为 a 1 所以 1 ln 1 1 n f xx x 当 n 为偶数时 令 1 1ln 1 1 n g xxx x 则 g x 1 11 12 1 11 1 nn nxn xxxx 0 x 2 所以当 x 2 时 g x 单调递增 又 g 2 0 证法二 当 a 1 时 1 ln 1 1 n f xx x 当 x 2 时 对任意的正整数 n 恒有 1 1 nx 1 故只需证明 1 ln x 1 x 1 令 1 1 ln 1 2ln 1 2 h xxxxxx 则 12 1 11 x h x xx 当 x 2 时 h x 0 故 h x 在 2 上单调递增 因此 当 x 2 时 h x h 2 0 即 1 ln x 1 x 1 成立 故 当 x 2 时 有 1 ln 1 1 n x x x 1 第 14 页 共 83 页 即 f x x 1 8 2008 江苏卷江苏卷 17 某地有三家工厂 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A B 及 CD 的中点 P 处 已知 AB 20km CB 10km 为了处理三家工厂的污水 现要在矩形 ABCD 的区域上 含边界 且 A B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂 并铺设排污管道 AO BO OP 设排污管道的总长为ykm C B P O A D 按下列要求写出函数关系式 设 BAO rad 将y表示成 的函数关系式 设 OPx km 将y表示成 xx的函数关系式 请你选用 中的一个函数关系式 确定污水处理厂的位置 使三条排污管道总 长度最短 选择函数模型 22 10coscos20 10sin10 2sin1 coscos sin y A 令 y 0 得 sin 1 2 因为0 4 所以 6 当0 6 时 0y y是 的减函数 当 6 4 时 0y y是 的增函 第 15 页 共 83 页 数 所以当 6 时 min 10 10 3y 这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上 且距离 AB 边 10 3 3 km 处 9 2008 江苏卷江苏卷 20 若 1 1 3 xp fx 2 2 2 3 xp fx A 12 xR p p 为常数 且 112 212 fxfxfx f x fxfxfx 求 1 f xfx 对所有实数成立的充要条件 用 12 p p表示 设 a b为两实数 ab 且 12 p p a b 若 f afb 求证 f x在区间 a b上的单调增区间的长度和为 2 ba 闭区间 m n的长度定义为 nm 1 如果 12 pp 32 log 则的图象关于直线 1 xp 对称 因为 f afb 所 以区间 a b关于直线 1 xp 对称 因为减区间为 1 a p 增区间为 1 p b 所以单调增区间的长度和为 2 ba 2 如果 12 pp 32 log 1 当 12 pp 32 log 时 1 1 1 1 1 3 3 xp px xp b fx xa p 23 23 log 2 2 2 log 2 2 3 3 xp px xp b fx xa p 当 1 xp b 213 log 210 2 331 pp fx fx 因为 12 0 0fxfx 所以 第 16 页 共 83 页 12 fxfx 故 1 f xfx 1 3x p 当 2 xa p 123 log 210 2 331 pp fx fx 因为 12 0 0fxfx 所以 12 fxfx 故 2 f xfx 23 log 2 3p x 2 当 21 pp 32 log 时 1 1 1 1 1 3 3 xp px xp b fx xa p 23 23 log 2 2 2 log 2 2 3 3 xp px xp b fx xa p 当 2 xp b 213 log 210 2 331 pp fx fx 因为 12 0 0fxfx 所以 12 fxfx 故 2 f xfx 23 log 2 3x p 当 1 xa p 123 log 210 2 331 pp fx fx 因为 12 0 0fxfx 所以 12 fxfx 故 1 f xfx 1 3p x 第 17 页 共 83 页 因为 f afb 所以 231 log 2 33b ppa 所以 123 log 2abpp 当 12 xp p 时 令 12 fxfx 则 231 log 2 33p xxp 所以 123 log 2 2 pp x 当 123 1 log 2 2 pp xp 时 12 fxfx 所以 1 f xfx 1 3x p 123 1 log 2 2 pp xp 时 12 fxfx 所以 2 f xfx 23 log 2 3p x f x在区间 a b上的单调增区间的长度和 123 21 log 2 2 pp bpp 123 log 2 222 ppabba bb 综上得 f x在区间 a b上的单调增区间的长度和为 2 ba 10 2008 江西卷江西卷 22 本小题满分 14 分 已知函数 11 811 ax f x axxa 0 x 1 当8a 时 求 f x的单调区间 2 对任意正数a 证明 12f x 一 先证 1f x 因为 11 11xx 11 11aa 11 11bb 又由 4 22 224 28abxabxabx 得 6abx 第 18 页 共 83 页 所以 111111 111111 f x xabxab 32 1 1 1 abxabaxbx xab 9 1 1 1 abxabaxbx xab 1 1 1 1 1 abxabaxbxabx xab 二 再证 2f x 由 式中关于 x a b的对称性 不妨设xab 则 02b 当7ab 则5a 所以5xa 因为 1 1 1 b 112 1 111 5xa 此时 111 2 111 f x xab 当7ab 由 得 8 x ab 1 81 ab abx 因为 2 2 2 1 1 1 114 1 2 1 bbb bbbb 所以 1 1 2 1 1 b bb 同理得 1 1 2 1 1 a aa 于是 1 22 2 118 abab f x abab 今证明 2 118 abab abab 因为 2 11 1 1 abab abab 只要证 1 1 8 abab abab 即 8 1 1 abab 也即 7ab 据 此 为显然 因此 得证 故由 得 2f x 综上所述 对任何正数a x 皆有 12f x 11 2008 湖北卷湖北卷 20 本小题满分 12 分 水库的蓄水量随时间而变化 现用t表示时间 以月为单位 年初为起点 根据历年数据 某水库的蓄水量 单位 亿立方米 关于t的近似函数关系式为 第 19 页 共 83 页 1 2 4 1440 50 010 4 10 341 50 1012 x ttet V t ttt 该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期 以1iti 表示第 1 月份 1 2 12i 同一年内哪几个月份是枯水期 求一年内该水库的最大蓄水量 取2 7e 计算 解 水库的蓄水量随时间而变化 现用t表示时间 以月为单位 年初为起点 根据历年数据 某水库的蓄水量 单位 亿立方米 关于t的近似函数关系式为 1 2 4 1440 50 010 4 10 341 50 1012 x ttet V t ttt 该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期 以1iti 表示第 1 月份 1 2 12i 同一年内哪几个月份是枯水期 求一年内该水库的最大蓄水量 取2 7e 计算 12 2008 湖南卷湖南卷 21 本小题满分 13 分 已知函数 f x ln2 1 x 2 1 x x I 求函数 f x的单调区间 若不等式 1 1 a ae n 对任意的N n 都成立 其中 e 是自然对数的底数 求 的最大值 解 函数 f x的定义域是 1 22 22 2ln 1 22 1 ln 1 2 1 1 1 xxxxxxx fx xxx 设 2 2 1 ln 1 2 g xxxxx 则 2ln 1 2 g xxx 令 2ln 1 2 h xxx 则 22 2 11 x h x xx 当10 x 时 0 h x h x在 1 0 上为增函数 当 x 0 时 0 h x h x在 0 上为减函数 所以 h x 在 x 0 处取得极大值 而 h 0 0 所以 0 0 g xx 函数 g x 在 1 上为减函数 第 20 页 共 83 页 于是当10 x 时 0 0 g xg 当 x 0 时 0 0 g xg 所以 当10 x 时 0 fx f x在 1 0 上为增函数 当 x 0 时 0 fx f x在 0 上为减函数 故函数 f x的单调递增区间为 1 0 单调递减区间为 0 不等式 1 1 n ae n 等价于不等式 1 ln 1 1 na n 由 1 11 n 知 1 1 ln 1 an n 设 11 0 1 ln 1 G xx xx 则 13 2008 陕西卷陕西卷 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 kx f x xc 0c 且1c k R 恰有一个极大值点和一个极小值点 其 中一个是xc 求函数 f x的另一个极值点 求函数 f x的极大值M和极小值m 并求1Mm 时k的取值范围 解 22 2222 2 1 2 k xcx kxkxxck fx xcxc 由题意知 0fc 即得 2 20c kcck 0c 0k 由 0fx 得 2 20kxxck 第 21 页 共 83 页 由韦达定理知另一个极值点为1x 或 2 xc k 由 式得 2 1 k c 即 2 1c k 当1c 时 0k 当01c 时 2k i 当0k 时 f x在 c 和 1 内是减函数 在 1 c 内是增函数 1 1 0 12 kk Mf c 2 2 1 0 2 2 kck mfc cck 由 2 1 22 2 kk Mm k 及0k 解得2k ii 当2k 时 f x在 c 和 1 内是增函数 在 1 c 内是减函数 2 0 2 2 k Mfc k 1 0 2 k mf 22 1 1 11 2 2 22 kkk Mm kk 恒成立 综上可知 所求k的取值范围为 2 2 14 2008 重庆卷重庆卷 20 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 设函数 2 0 f xaxbxc a 曲线 y f x 通过点 0 2a 3 且在点 1 f 1 处的切线垂直于 y 轴 用 a 分别表示 b 和 c 当 bc 取得最小值时 求函数 g x f x e x的单调区间 第 22 页 共 83 页 此时有 33 22 bc 从而 2 33333 42222 f xxxfxx 2 333 422 xx g xf x cxxe 所以 2 3 4 4 xx g xf xfx exe 令 0g x 解得 12 2 2 xx 当 2 0 2 xg xg xx 时故在上为减函数 当 2 2 0 2 xg xg xx 时 故在上为减函数 当 2 0 2 xg xg xx 时 故在上为减函数 由此可见 函数 g x的单调递减区间为 2 和 2 单调递增区间 为 2 2 15 2008 福建卷福建卷 19 本小题满分 12 分 已知函数 32 1 2 3 f xxx 设 an 是正数组成的数列 前 n 项和为 Sn 其中 a1 3 若点 2 11 2 nnn a aa n N 在函数 y f x 的图象上 求证 点 n Sn 也在 y f x 的图象上 求函数 f x 在区间 a 1 a 内的极值 本小题主要考查函数极值 等差数列等基本知识 考查分类与整合 转化与化归等数学思 想方法 考查分析问题和解决问题的能力 满分 12 分 证明 因为 32 1 2 3 f xxx 所以f x x2 2x 由点 2 11 2 N nnn a aan 在函数 y f x 的图象上 又0 N n an 所以 11 2 0 nnnn aaaa 所以 2 1 32 2 2 n n n Snnn 又因为f n n2 2n 所以 n Sfn 故点 n n S也在函数 y f x 的图象上 解 2 2 2 fxxxx x 由 0 fx 得02xx 或 当 x 变化时 fx f x的变化情况如下表 第 23 页 共 83 页 注意到 1 12aa 从而 当 2 12 21 2 3 aaaf xf 即时的极大值为 此时 f x无极小值 当10 01 aaaf x 即时的极小值为 0 2f 此时 f x无极大值 当2101 aaaf x 或或时既无极大值又无极小值 16 2008 福建卷福建卷 22 本小题满分 14 分 已知函数 f x ln 1 x x1 求 f x 的单调区间 记 f x 在区间 0 n N 上的最小值为 bx令 an ln 1 n bx 如果对一切 n 不等式 2 2 nn n c aa a 恒成立 求实数 c 的取值范围 求证 1313211 224242 21 1 n n n a aa aaa a aa aa aa A A A A A A A A A 本小题主要考查函数的单调性 最值 不等式 数列等基本知识 考查运用导数研究函数 性质的方法 考查分析问题和解决问题的能力 满分 14 分 解法一 I 因为 f x ln 1 x x 所以函数定义域为 1 且 f x 1 1x 1 1 x x 由 f x 0 得 1 x 0 f x 的单调递增区间为 1 0 由 f x 0 f x 的单调递增区间为 0 II 因为 f x 在 0 n 上是减函数 所以 bn f n ln 1 n n 则 an ln 1 n bn ln 1 n ln 1 n n n i 22 2 2 2 2 2 nnn aaannnn nn 22 1 22 n nn 又 lim 2 2 2 lim1 2 11 2 x nnn n 因此 c 1 即实数 c 的取值范围是 1 x 2 2 2 0 0 0 f x 0 0 f x 极大值 极小值 第 24 页 共 83 页 II 由 i 知 1 2121 21 nn n 因为 1 3 5 21 2 4 6 2 n n 2 3222 1 3 3 5 5 7 21 21 11 246 2 2121 nn nnn 所以 12 1 2 642 12531 nn n 2121nn n N 则 2 642 12 531 42 31 2 1 n n 1313211 22242 3153212121 1 n nn ann a aa aaa aa aa aa 即 21 1 n an N 设 2 22 g nnnn n N 则 c g n 对 n N 恒成立 考虑 2 22 1 g xxxx x 因为 1 2 2 2 111 1 2 22 11 21 2 xx g xxxx x xx 0 所以 1 g x 且内是减函数 则当 n N 时 g n 随 n 的增大而减小 第 25 页 共 83 页 又因为 2 2 4 2 24 lim lim 22 limlim 22 22 11 xxxx n n g nnnn nnn nn 1 所以对一切 N 1 ng n 因此 c 1 即实数 c 的取值范围是 1 由 知 1 2121 21 nn n 下面用数学归纳法证明不等式 1 3 5 21 1 N 2 4 6 2 21 n n nn A A A A A A A A 当 n 1 时 左边 1 2 右边 1 3 左边1 时方程 有 2 个不等的根 2 当 0 t 1 时方程 有 4 个根 3 当 t 1 时 方程 有 3 个根 故当 t 0 时 代入方程 解得 k 0 此时方程 有两个不等根 t 0 或 t 1 故此时原方程 有 5 个根 当方程 有两个不等正根时 即 1 0 4 k 此时方程 有两根且均小于 1 大于 0 故相应的满足方程 2 1xt 的解有 8 个 即原方程的解有 8 个 当 1 4 k 时 方程 有两个相等正根 t 1 2 相应的原方程的解有 4 个 故选 B 19 2006 年全国卷年全国卷 I 已知函数 x ye 的图象与函数 yf x 的图象关于直线yx 对 称 则 A 2 2 x fxexR B 2ln2 ln 0 fxx x A C 22 x fxexR D 2lnln2 0 fxxx 2 x e的反函数是ln x 所以 2ln 2ln2lnfxxx 选 D 1 2006 年江苏卷 年江苏卷 已知Ra 函数Rxaxxf sin 为奇函数 则 a A 0 B 1 C 1 D 1 解解 法一 由函数 sin f xxa 是定义域为 R 的奇函数 则 0sin0 0faa 即0a 则 a 0 选 A 法二 0fxf x 得 0a 则 a 0 选 A 点评点评 主要考查奇函数的定义和性质 20 2006 年江西卷 年江西卷 某地一年的气温 Q t 单位 c 与时间 t 月份 之间的关系如 图 1 所示 已知该年的平均气温为 10 c 令 G t 表示时间段 0 t 的平均气温 G t 与 t 之间的函数关系用下列图象表示 则正确的应该是 A t O G t 10 c 61 2 图 1 O 612 t G t 10 c A O t G t 1 2 6 10 c B 第 40 页 共 83 页 解 结合平均数的定义用排除法求解 21 2006 年江西卷 年江西卷 设 f x log3 x 6 的反函数为 f 1 x 若 f 1 m 6 f 1 n 6 27 则 f m n 解 f 1 x 3x 6 故 f 1 m 6 f 1 x 6 3m 3n 3m n 27 m n 3 f m n log3 3 6 2 22 2006 年辽宁卷 年辽宁卷 设 f x是 R 上的任意函数 则下列叙述正确的是 A f x fx 是奇函数 B f xfx 是奇函数 C f xfx 是偶函数 D f xfx 是偶函数 23 2006 年辽宁卷 年辽宁卷 设是 R 上的一个运算 A 是 R 的非空子集 若对任意 a bA 有a bA 则称 A 对运算封闭 下列数集对加法 减法 乘法和除法 除数不等于零 四则运 算都封闭的是 A 自然数集 B 整数集 C 有理数集 D 无理数集 解析 A 中 1 2 1 不是自然数 即自然数集不满足条件 B 中 1 2 0 5 不是整数 即整数集不满足条件 C 中有理数集满足条件 D 中222 不是无理数 即无理数 集不满足条件 故选择答案 C 点评 本题考查了阅读和理解能力 同时考查了做选择题的一般技巧排除法 24 2006 年辽宁卷 年辽宁卷 设 0 0 x ex g x lnx x 则 1 2 g g 解析 1 ln 2 111 ln 222 g gge 点评 本题考察了分段函数的表达式 指对数的运算 25 2006 年北京卷 年北京卷 已知 31 4 1 log 1 a axa x f x x x 是 上的减函数 那么 a的取值范围是 C A 0 1 B 1 0 3 1 2 6Ot 10 c G t C t G t 10 c 126O D 第 41 页 共 83 页 C 1 1 7 3 D 1 1 7 26 2006 年年 上海卷 上海卷 若函数 xf x a a 0 且a 1 的反函数的图像过点 2 1 则a 1 2 27 2006 年浙江卷 年浙江卷 已知 0 a 1 log1m log1n 0 则 A A 1 n m B 1 m n C m n 1 D n m 1 28 2006 年湖南卷 年湖南卷 函数 2 log2yx 的定义域是 D A 3 B 3 C 4 D 4 29 2006 年湖南卷 年湖南卷 a 1 是 函数 f xxa 在区间 1 上为增函数 的 A A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 30 2006 年山东卷 年山东卷 函数 y 1 ax 0 a0 q 2 1 2 x x 0 1 1 a 减 1 a 增 11 2006 年北京卷 年北京卷 已知函数 32 f xaxbxcx 在点 0 x处取得极大 值5 其导函数 yfx 的图象经过点 1 0 2 0 如图所示 求 0 x的值 a b c的值 11 0 x 1 2 9 12abc 12 2006 年辽宁卷 年辽宁卷 已知函数 f x dcxbxax 23 3 1 其中 a b c 是 以 d 为公差的等差数列 且 a 0 d 0 设的极小值点 在为 0 xfx 1 0 2 a b 上 处取得最大植在 1 xxf 在处取得最小值 2 x 将点 依次记为 22 21 100 xfxfxxfxxfxA B C I 求的值 o x II 若 ABC 有一边平行于 x 轴 且面积为32 求 a d 的值 解析 I 解 2bac 22 2 1 fxaxbxcaxac xcxaxc 令 0fx 得1 c xx a 或 0 0 0 ad abc 1 1 cc aa 当1 c x a 时 0fx 当1x 时 0fx 所以 f x 在 x 1 处取得最小值即1 o x II 2 2 0 fxaxbxc a fx 的图像的开口向上 对称轴方程为 b x a 由1 b a 知 2 1 0 bbb aaa 第 47 页 共 83 页 由三角形 ABC 有一条边平行于 x 轴知 AC 平行于 x 轴 所以 2 22 1 a 3 1 3 d ad a 即 又由三角形 ABC 的面积为32 得 1 1 23 23 ba c a 利用 b a d c a 2d 得 2 2 23 2 3 d d a 联立 1 2 可得3 3 3da 解法 2 2 2 0 fxaxbxc a 2 1 0 0 b ffc a 又 c 0 知 f x在 2 1 0 b a 上的最大值为 0 fc 即 1 x 0 又由 2 1 1 0 bbb aaa 知 当 b x a 时 fx 取得最小值为 2 2 bdb fx aaa 即 0 1 1 3 f xfa 2 1 1 0 3 bd Aa Bc C aa 由三角形 ABC 有一条边平行于 x 轴知 AC 平行于 x 轴 所以 2 22 1 a 3 1 3 d ad a 即 又由三角形 ABC 的面积为32 得 1 1 23 23 ba c a 利用 b a d c a 2d 得 2 2 23 2 3 d d a 联立 1 2 可得3 3 3da 点评 本小题考查了函数的导数 函数的极值的判定 闭区间上二次函数的最值 等差数基 础知识的综合应用 考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 13 2006 年江西卷 年江西卷 已知函数 f x x3 ax2 bx c 在 x 2 3 与 x 1 时都取得极值 第 48 页 共 83 页 1 求 a b 的值与函数 f x 的单调区间 2 若对 x 1 2 不等式 f x c2恒成立 求 c 的取值范围 14 2006 年天津卷 年天津卷 已知函数 cos 16 3 cos34 23 xxxf 其中 Rx 为参数 且 20 1 当时0cos 判断函数 xf是否有极值 2 要使函数 xf的极小值大于零 求参数 的取值范围 3 若对 2 中所求的取值范围内的任意参数 函数 xf在区间 aa 12 内都 是增函数 求实数a的取值范围 14 无极值 311 6 226 43 0 1 8 15 2006 年全国卷年全国卷 I 已知函数 1 1 ax x f xe x 设0a 讨论 yf x 的单调性 若对任意 0 1x 恒有 1f x 求a的取值范围 15 解 I f x 的定义域为 1 1 11 11 axax xx fxee xx 2 2 2 12 1 1 2 1 axax ax x aee x x e axa x 第 49 页 共 83 页 因为 2 0 1 ax e x 其中 1x 恒成立 所以 2 020fxaxa 当0 2a 时 0fx 在 0 1 上恒成立 所以 f x 在 1 1 上为增函数 当 2a 时 0fx 在 0 0 1 1 上恒成立 所以 f x 在 1 1 上为增函数 当 2a 时 2 20axa 的解为 t t 1 1 其中 2 1t a 所以 f x 在各区间内的增减性如下表 区间 t t t t 1 1 fx 的符号 f x 的单调性 增函数减函数增函数增函数 II 显然 01f 当0 2a 时 f x 在区间 0 1 上是增函数 所以对任意x 0 1 都有 0f xf 当 2a 时 f t 是 f x 在区间 0 1 上的最小值 即 0f tf 这与题目 要求矛盾 若 0a f x 在区间 0 1 上是增函数 所以对任意x 0 1 都有 0f xf 综合 a 的取值范围为 2 16 2006 年江苏卷 年江苏卷 请您设计一个帐篷 它下部的形状 是高为 1m 的正六 棱柱 上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥 如右 图所示 试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 1 o的距离 为多少时 帐篷的体积最大 解解 设 OO1为xm 则41 x 由题设可得正六棱锥底面边长为 222 28 1 3xxx 单位 m 故底面正六边形的面积为 4 3 6 22 28xx 28 2 33 2 xx 单位 2 m 帐篷的体积为 28 2 33 V 2 xxx 1 1 3 1 x 1216 2 3 3 xx 单位 3 m 求导得 312 2 3 V 2 xx 令0V x 解得2 x 不合题意 舍去 2 x 当21 x时 0V x xV为增函数 当42 x时 0V x xV为减函数 O O1 第 50 页 共 83 页 当2 x时 xV最大 答 当 OO1为2m时 帐篷的体积最大 最大体积为316 3 m 点评点评 本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识 以及运用数学知识解决实际问 题的能力 17 2006 年湖北卷 年湖北卷 设3 x是函数 Rxebaxxxf x 32 的一个极值点 求a与b的关系式 用a表示b 并求 xf的单调区间 设0 a x eaxg 4 25 2 若存在 4 0 21 使得 1 21 gf成 立 求a的取值范围 17 点评 本小题主要考查函数 不等式和导数的应用等知识 考查综合运用数学 知识解决问题的能力 解 f x x2 a 2 x b a e3 x 由 f 3 0 得 32 a 2 3 b a e3 3 0 即得 b 3 2a 则 f x x2 a 2 x 3 2a a e3 x x2 a 2 x 3 3a e3 x x 3 x a 1 e3 x 令 f x 0 得 x1 3 或 x2 a 1 由于 x 3 是极值点 所以 x a 1 0 那么 a 4 当 a3 x1 则 在区间 3 上 f x 0 f x 为增函数 在区间 a 1 上 f x 4 时 x2 3 x1 则 在区间 a 1 上 f x 0 f x 为增函数 在区间 3 上 f x 0 时 f x 在区间 0 3 上的单调递增 在区间 3 4 上单调递减 那么 f x 在区间 0 4 上的值域是 min f 0 f 4 f 3 而 f 0 2a 3 e30 f 3 a 6 那么 f x 在区间 0 4 上的值域是 2a 3 e3 a 6 又 2 25 4 x g xae 在区间 0 4 上是增函数 且它在区间 0 4 上的值域是 a2 4 25 a2 4 25 e4 由于 a2 4 25 a 6 a2 a 4 1 2 1 a 2 0 所以只须仅须 第 51 页 共 83 页 a2 4 25 a 6 0 解得 0 a0 f x 是 R 上的单调增函数 1 2 1 3 1 6 II 0 x0 即 x1 x0 y1 又 f x 是增函数 f x1 f x0 f y1 即 x2 x00 x1 y2 f y1 f y1 综上 x1 x2 x0 y2 y1 1 4 1 2 3 8 1 2 用数学归纳法证明如下 1 当 n 1 时 上面已证明成立 2 假设当 n k k 1 时有 xk xk 1 x0 yk 1 yk 当 n k 1 时 由 f x 是单调增函数 有 f xk f xk 1 f x0 f yk 1 f yk xk 1 xk 2 x0 yk 2 yk 1 由 1 2 知对一切 n 1 2 都有 xn xn 1 x0 yn 1 yn III yn2 xnyn xn2 yn xn yn xn 2 yn xn yn 1 xn 1 yn xn f yn f xn yn xn 1 2 1 2 yn xn 2 由 知 0 yn xn 1 yn xn 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 yn 1 xn 1 yn xn 1 2 1 4 1 2 22 2006 年福建卷 年福建卷 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量y 升 关于行驶速度x 千米 小时 的函数解析式可以表示为 3 13 8 0120 12800080 yxxx 已知甲 乙两地相距 100 千米 I 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 II 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 22 本小题主要考查函数 导数及其应用等基本知识 考查运用数学知识分析和解决 实际问题的能力 满分 12 分 解 I 当40 x 时 汽车从甲地到乙地行驶了1002 5 40 小时 要耗没 3 13 40408 2 517 5 12800080 升 答 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油 17 5 升 II 当速度为x千米 小时时 汽车从甲地到乙地行驶了100 x 小时 设耗油量为 h x升 依题意得 328 0120 1280008012804 h xxxxx xx 33 22 80080 0120 640640 xx h xx xx 令 0 h x 得80 x 第 55 页 共 83 页 当 0 80 x 时 0 h xh x 是减函数 当 80 120 x 时 0 h xh x 是增函数 当80 x 时 h x取到极小值 80 11 25 h 因为 h x在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 答 当汽车以 80 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为 11 25 升 23 2006 年福建卷 年福建卷 已知函数 2 8 6ln f xxx g xxm I 求 f x在区间 1t t 上的最大值 h t II 是否存在实数 m使得 yf x 的图象与 yg x 的图象有且只有三个不同的 交点 若存在 求出m的取值范围 若不存在 说明理由 23 本小题主要考查函数的单调性 极值 最值等基本知识 考查运用导数研究函数 性质的方法 考查运算能力 考查函数与方程 数形结合 分类与整合等数学思想方法和 分析问题 解决问题的能力 满分 12 分 当 0 1 x 时 0 xx 是增函数 当 0 3 x 时 0 xx 是减函数 当 3 x 时 0 xx 是增函数 当1 x 或3x 时 0 x 1 7 3 6ln3 15 xmxm 最大值最小值 当x充分接近 0 时 0 x 当x充分大时 0 x 要使 x 的图象与x轴正半轴有三个不同的交点 必须且只须 70 6ln3 150 xm xm 最大值 最小值 即7156ln3 m 所以存在实数m 使得函数 yf x 与 yg x 的图象有且只有三个不同的交点 m的取值范围为 7 156ln3 24 2006 年广东卷 年广东卷 设函数23 3 xxxf分别在 1 x 2 x处取得极小值 极大值 xoy平面上点 A B 的坐标分别为 11 xfx 22 xfx 该平面上动点 P 满足 第 56 页 共 83 页 4 PBPA 点 Q 是点 P 关于直线 4 2 xy的对称点 求 点 A B 的坐标 动点 Q 的轨迹方程 24 解 令033 23 23 xxxxf解得11 xx或 当1 x时 0 x f 当11 x时 0 x f 当1 x时 0 x f 所以 函数在1 x处取得极小值 在1 x取得极大值 故 1 1 21 xx 4 1 0 1 ff 所以 点 A B 的坐标为 4 1 0 1 BA 设 nmp yxQ 4414 1 1 22 nnmnmnmPBPA 2 1 PQ k 所以 2 1 mx ny 又 PQ 的中点在 4 2 xy上 所以 4 2 2 2 nxmy 消去nm 得 928 22 yx 25 2006 年安徽卷 年安徽卷 已知函数 f x在 R 上有定义 对任何实数0a 和任何实数x 都 有 f axaf x 令 0g x 得11xx 或 当 0 1 x 时 0g x g x是单调递增函数 所以当1x 时 函数 g x在 0 内取得极小值 极小值为 1 1 gk k 第 57 页 共 83 页 2005 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 函数函数 一 选择题 一 选择题 1 2005 广东卷 广东卷 在同一平面直角坐标系中 函数 yf x 和 yg x 的图像关于直线 yx 对称 现将 yg x 图像沿x轴向左平移 个单位 再沿 Y 轴向上平移 个单位 所得的图像是由两条线段组成的折线 如图 所示 则函数 f x的表达式为 A 22 10 2 02 2 xx f x x x 22 10 2 02 2 xx f x x x 22 12 1 24 2 xx f x x x 26 12 3 24 2 xx f x x x 2 2005 江苏卷 江苏卷 函数 1 23 x yxR 的反函数的解析表达式为 A A 2 2 log 3 y x B 2 3 log 2 x y C 2 3 log 2 x y D 2 2 log 3 y x 3 2005 全国卷全国卷 21 2 2 xxxy反函数是 C A 11 11 2 xxy B 10 11 2 xxy C 11 11 2 xxy D 10 11 2 xxy 4 2005 全国卷全国卷 设10 a 函数 22 log 2 xx a aaxf 则使0 xf的 x的取值范围是 B A 0 B 0 C 3log a D 3 log a 5 2005 全国卷全国卷 设0 b 二次函数1 22 abxaxy的图像为下列之一则a的 值为 C 第 58 页 共 83 页 A 1 B 1 C 2 51 D 2 51 6 2005 全国卷全国卷 函数 0 1 2 xxy反函数是 B A 1 xy 1 x B y 1 x 1 x C y 1 x 0 x D y 1 x 0 x 7 2005 全国卷全国卷 函数 Y 32 x 1 X 0 的反函数是 B A Y 3 1 x X 1 B Y 3 1 x X 1 C Y 3 1 x X 0 D Y 3 1 x X 0 8 2005 全国卷全国卷 III 设 1 7 3 x 则 A A 2 x 1 B 3 x 2 C 1 x 0 D 0 x 1 9 2005 全国卷