二次函数知识点总结——题型分类总结

诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 1 授课教师学生姓名上课时间 学 科数 学年 级九 年 级课时计划第 次共 次 提交时间学管师教学主管 课题名称课题名称 二次函数知识点总结二次函数知识点总结 题型分类总结题型分类总结 教学目标教学目标 1 掌握二次函数表达式的三种形式 能灵活选用三种形式提高解题效率 2 掌握二次函数的图像与性质 结合解析式确定图像顶点 对称轴和开口方向 熟练掌握其与一元二次方程和一元二次不等式的关系 能通过基本性质解决图像 的系数符号问题 共存问题 对称性问题 以及应用问题 教学重难点 教学重难点 教学重点 1 二次函数的三种解析式形式 2 二次函数的图像与性质 教学难点 1 二次函数与其他函数共存问题 2 根据二次函数图像 确定解析式系数符号 3 根据二次函数图像的对称性 增减性解决相应的综合问题 教学过程教学过程 回顾与思考回顾与思考 一 二次函数的定义一 二次函数的定义 定义 一般地 如果定义 一般地 如果 cbacbxaxy 2 是常数 是常数 0 a 那么 那么 y 叫做叫做x的二次函数的二次函数 考点 二次函数的二次项系数不为 0 且二次函数的表达式必须为整式 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 2 精典例题 精典例题 例例 1 1 在下列关系式中 y 是 x 的二次函数的关系式是 A 2xy x2 1 B y2 ax 2 0 C y x2 2 0 D x2 y2 4 0 考点 考点 二次函数的定义 分析 分析 根据二次函数的定义对四个选项进行逐一分析即可 即一般地 形如 y ax2 bx c a b c 是常数 a 0 的函数 叫做二次函数 解答 解答 解 A 2xy x2 1 当 x 0 时 可化为的形式的形式 不符合一元二 次方程的一般形式 故本选项错误 B y2 ax 2 0 可化为 y2 ax 2 不符合一元二次方程的一般形式 故本选项错误 C y x2 2 0 可化为 y x2 2 符合一元二次方程的一般形式 故本选项正确 D x2 y2 4 0 可化为 y2 x2 4 的形式 不符合一元二次方程的一般形式 故本 选项错误 故选 C 点评 点评 本题考查的是二此函数的一般形式 即一般地 形如 y ax2 bx c a b c 是常数 a 0 的函数 叫做二次函数 其中 x y 是变量 a b c 是常量 a 是二次项系数 b 是一次项系数 c 是常数 项 y ax2 bx c a b c 是常数 a 0 也叫做二次函数的一般形式 例例 2 函数 y m 3 xm2 m 4 当 m 时 它的图象是抛物线 考点 考点 二次函数的定义 分析 分析 二次函数的图象是抛物线的 由二次函数的定义列出方程与不等式解答即 可 解答 解答 解 它的图象是抛物线 该函数是二次函数 解得 m 2 或 3 m 3 m 2 点评 点评 用到的知识点为 二次函数的图象是抛物线 二次函数中自变量的最高次 数是 2 二次项的系数不为 0 例例 3 若 y xm 2是二次函数 则 m 考点 二次函数的定义 分析 分析 根据二次函数的定义列出关于 m 的方程 求出 m 的值即可 解答 解答 解 函数 y xm 2是二次函数 m 2 2 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 3 m 4 故答案为 4 点评 点评 本题考查了二次函数的定义 比较简单 属于基础题 学以致用 学以致用 1 下列函数中 是二次函数的是 y x2 4x 1 y 2x2 y 2x2 4x y 3x y 2x 1 y mx2 nx p y 错误 未定义书签 错误 未定义书签 y 5x F 4 2 在一定条件下 若物体运动的路程 s 米 与时间 t 秒 的关系式为 s 5t2 2t 则 t 4 秒时 该物体所经过的路程为 3 若函数 y m2 2m 7 x2 4x 5 是关于 x 的二次函数 则 m 的取值范围为 4 若函数 y m 2 xm 2 5x 1 是关于的二次函数 则 m 的值为 x 二 二次函数的对称轴 顶点 最值二 二次函数的对称轴 顶点 最值 考点连接考点连接 如果解析式为顶点式 y a x h 2 k 则对称轴为 最值为 如果解析式为一般式 y ax2 bx c 则对称轴为 最值为 如果解析式为交点式 y x x1 x x2 则对称轴为 最值为 精典例题 精典例题 例例1 抛物线 y 2x2 4x m2 m 经过坐标原点 则 m 的值为 考点 考点 二次函数图象与几何变换 分析 分析 利用二次函数图象的性质 解答 解答 解 经过原点 说明 0 0 适合这个解析式 那么 m2 2m 3 0 m 3 m 1 0 解得 m1 3 m2 1 点评 点评 本题应用的知识点为 在函数图象上的点一定适合这个函数解析式 例例 2 2 若抛物线 y ax2 6x 经过点 2 0 则抛物线顶点到坐标原点的距离为 A B C D 13101514 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 4 考点 考点 二次函数图象上点的坐标特征 分析 分析 由抛物线 y ax2 6x 经过点 2 0 求得 a 的值 再求出函数顶点坐标 求得顶点到 坐标原点的距离 解答 解答 解 由于抛物线 y ax2 6x 经过点 2 0 则 4a 12 0 a 3 抛物线 y 3x2 6x 变形 得 y 3 x 1 2 3 则顶点坐标 M 1 3 抛物线顶点到坐标原点的距离 OM 故选 B 点评 点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征 先求解析式 再求顶点坐标 最后求距 离 学以致用 学以致用 1 若直线 y ax b 不经过二 四象限 则抛物线 y ax2 bx c A 开口向上 对称轴是 y 轴 B 开口向下 对称轴是 y 轴 C 开口向下 对称轴平行于 y 轴 D 开口向上 对称轴平行于 y 轴 2 当 n m 时 函数 y m n xn m n x 的图象是抛物线 且其顶点在 原点 此抛物线的开口 3 已知二次函数 y mx2 m 1 x m 1 有最小值为 0 则 m 三 函数三 函数 y ax2 bx c 的图象和性质的图象和性质 知识点 知识点 1 当时抛物线开口向上顶点为其最低点 0 a 当时抛物线开口向下顶点为其最高点 0 a 越大 开口越小 a 2 顶点是 对称轴是直线 a bac a b 4 4 2 2 a b x 2 3 当时 在对称轴左边 y 随 x 的增大而减小 在在对称轴右边 y 随 x 的增大0 a 而增大 当时 在对称轴左边 y 随 x 的增大而增大 在在对称轴右边 y 随 x 的增大0 a 而减小 4 轴与抛物线得交点为 0 ycbxaxy 2 c 轴下方轴的交点在 抛物线与 轴上方 轴的交点在 抛物线与 xyc xyc 0 0 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 5 精典例题 精典例题 例例 1 2002 十堰 抛物线 y x2 2x 1 的顶点坐标是 开口方向是 对称轴是 考点 考点 二次函数的性质 分析分析 根据二次函数的性质解题 解答解答 解 y x2 2x 1 x2 2x 1 x2 2x 1 1 1 x 1 2 2 抛物线 y x2 2x 1 的顶点坐标是 1 2 开口方向是向下 对称轴是 x 1 点评点评 此题考查了二次函数的性质 顶点坐标 对称轴及开口方向 例例 2 2010 兰州 抛物线 y x2 bx c 图象向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位 所得 图象的解析式为 y x2 2x 3 则 b c 的值 考点 考点 二次函数图象与几何变换 分析 分析 易得新抛物线的顶点 根据平移转换可得原抛物线顶点 根据顶点式及平移前后二次 项的系数不变可得原抛物线的解析式 展开即可得到 b c 的值 解答 解答 解 由题意得新抛物线的顶点为 1 4 原抛物线的顶点为 1 1 设原抛物线的解析式为 y x h 2 k 代入得 y x 1 2 1 x2 2x b 2 c 0 故选 B 点评 点评 抛物线平移不改变二次项的系数的值 讨论两个二次函数的图象的平移问题 只需看 顶点坐标是如何平移得到的即可 学以致用 学以致用 1 试写出一个开口方向向上 对称轴为直线 x 2 且与 y 轴的交点坐标为 0 3 的抛 物线的解析式 2 通过配方 写出下列函数的开口方向 对称轴和顶点坐标 1 y x2 2x 1 2 y 3x2 8x 2 3 y x2 x 4 1 2 1 4 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 6 3 把抛物线 y 2x2 4x 1 沿坐标轴先向左平移 2 个单位 再向上平移 3 个单位 问所得的 抛物线有没有最大值 若有 求出该最大值 若没有 说明理由 4 某商场以每台 2500 元进口一批彩电 如每台售价定为 2700 元 可卖出 400 台 以每 100 元为一个价格单位 若将每台提高一个单位价格 则会少卖出 50 台 那么每台定价为多少 元即可获得最大利润 最大利润是多少元 四 函数四 函数 y a xy a x h h 2 2的图象与性质的图象与性质 知识点回顾 知识点回顾 填表 抛物线开口方向对称轴顶点坐标 2 23 xy 2 3 2 1 xy 典型例题 典型例题 例例 1 1 抛物线 y x2 4x 3 的图象开口 对称轴是 顶点坐标 函数 y 有最 考点考点 二次函数的性质 分析分析 二次函数的二次项系数 a 0 可以确定抛物线开口方向和函数有最小值 然后利用 y ax2 bx c 的顶点坐标公式就可以得到对称轴 顶点坐标 解答解答 解 二次函数的二次项系数 a 0 抛物线开口向上 函数有最小值 y x2 4x 3 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 7 根据 y ax2 bx c 的顶点坐标公式为 对称轴是 代入公式求值就可以得到对称轴是 x 2 顶点坐标是 2 7 故抛物线 y x2 4x 3 的图象开口向上 对称轴是 x 2 顶点坐标 2 7 函数 y 有最小 值 故填空答案 向上 x 2 2 7 小 点评 点评 本题主要是对抛物线一般形式中对称轴 顶点坐标的考查 是中考中经常出现的问 题 学以致用 学以致用 1 已知函数 y 2x2 y 2 x 4 2 和 y 2 x 1 2 1 分别说出各个函数图象的开口方 对称轴和顶点坐标 2 分析分别通过怎样的平移 可以由抛物线 y 2x2得到抛物线 y 2 x 4 2和 y 2 x 1 2 2 试写出抛物线 y 3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标 1 右移 2 个单位 2 左移 个单位 3 先左移 1 个单位 再右移 4 个单位 2 3 3 二次函数 y a x h 2的图象如图 已知 a OA OC 试求该抛物线 1 2 的解析式 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 8 五 二次函数的增减性五 二次函数的增减性 知识点 知识点 1 当时 随的增大而减小 当时 随的增大而增大 0a 2 b x a yx 2 b x a yx 2 当时 随的增大而增大 当时 随的增大而减小 0a 2 b x a yx 2 b x a yx 典型例题 典型例题 例例 1 1 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图 1 求函数解析式 2 写出对称轴 回答 x 为何值时 y 随着 x 的增大而减少 考点 考点 待定系数法求二次函数解析式 二次函数的性质 分析 分析 1 根据图示知函数经过三点 1 0 4 0 0 4 将其代入函数解析式 列出关于 a b c 的三元一次方程组 然后解方程组即可 2 根据图象求得该函数图象的对称轴 然后根据对称轴 函数图象回答问题 解答 解答 解 1 根据图示知 该函数图象经过点 1 0 4 0 0 4 二次函数的解析式是 y x2 3x 4 2 根据图象知 二次函数 y x2 3x 4 与 x 轴的交点是 1 0 4 0 对称轴是 x 根据图象知 当时 y 随着 x 的增大而减小 点评 点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的性质 解答该题时 采用了 数形结合 的数学思想 要求学生具备一定的读图能力 能从图形中寻取关键性信息 例例 2 2 2010 呼和浩特 已知 点 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 是函数图象 上的三点 且 x1 0 x2 x3则 y1 y2 y3的大小关系是 A y1 y2 y3 B y2 y3 y1 C y3 y2 y1 D 无法确定 考点考点 反比例函数图象上点的坐标特征 分析 分析 对 由 x1 0 x2 x3知 A 点位于第二象限 y1最大 第四象限 y 随 x 增大 而增大 y2 y3 故 y2 y3 y1 解答 解答 解 中 k 3 0 此函数的图象在二 四象限 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 9 点 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 是函数 图象上的三点 且 x1 0 x2 x3 A 点位于第二象限 y1 0 B C 两点位于第四象限 0 x2 x3 y2 y3 y2 y3 y1 故选 B 点评点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征 要学会比较图象上点的坐标 学以致用 学以致用 1 二次函数 y 3x2 6x 5 当 x 1 时 y 随 x 的增大而 当 x 2 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 2 时 y 随 x 的增大 而减少 则当 x 1 时 y 的值为 3 已知二次函数 y x2 m 1 x 1 当 x 1 时 y 随 x 的增大而增大 则 m 的取值范围是 4 已知二次函数 y x2 3x 的图象上有三点 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 且 3 x1 x20 b 0 c 0B a 0 b 0 c 0 C a 0 b0 b 0 c 0B b 2a C a b c 0D c0 a b c 0 a b c 0 b2 4ac 0 abc 0 其中正确的为 A B C D 4 当 bb c 且 a b c 0 则它的图象可能是图所示的 6 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 那么 abc b2 4ac 2a b a b c 四个代数式中 值为正数的有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 1 x A y O 1 x B y O 1x C y O 1x D y O 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 15 7 在同一坐标系中 函数 y ax2 c 与 y a 0 时 y 随 x 的增大而增大 则二次函数 y kx2 2kx 的图象大 k x 致为图中的 A B C D 10 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则下列结论中 正确的个数是 a b 同号 当 x 1 和 x 3 时 函数值相同 4a b 0 当 y 2 时 x 的值只能取 0 A 1 B 2 C 3D 4 11 已知二次函数 y ax2 bx c 经过一 三 四象限 不经过原点和第二象限 则直线 y ax bc 不经过 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 十 二次函数与十 二次函数与 x x 轴 轴 y y 轴的交点 二次函数与一元二次方程的轴的交点 二次函数与一元二次方程的 关系 关系 回顾与思考回顾与思考 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 16 ac b 4 2 0 0 0 0 0 0 0 2 cbxax 0 a 方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根 xx 21 方程有两个相等的方程有两个相等的 实数根实数根 xx 21 方程没有实方程没有实 数根数根 抛物物与抛物物与 x x 轴有两个交点轴有两个交点 0 0 21xx BA 抛物物与抛物物与 x x 轴只有轴只有 一个交点一个交点 0 1 x 抛物物与抛物物与 x x 轴没有交点轴没有交点 cbxaxy 2 0 a xxxx AB 21 2 4 21 韦达定理 韦达定理 二者都可以用 二者都可以用 a c a b xxxx 2121 典型例题 典型例题 例例 1 1 2012 滨州 抛物线 y 3x2 x 4 与坐标轴的交点个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 考点 考点 抛物线与 x 轴的交点 分析 分析 令抛物线解析式中 x 0 求出对应的 y 的值 即为抛物线与 y 轴交点的纵坐标 确定 出抛物线与 y 轴的交点坐标 令抛物线解析式中 y 0 得到关于 x 的一元二次方程 求出方 程的解有两个 可得出抛物线与 x 轴有两个交点 综上 得到抛物线与坐标轴的交点个数 解答 解 抛物线解析式 y 3x2 x 4 令 x 0 解得 y 4 抛物线与 y 轴的交点为 0 4 令 y 0 得到 3x2 x 4 0 即 3x2 x 4 0 分解因式得 3x 4 x 1 0 解得 抛物线与 x 轴的交点分别为 综上 抛物线与坐标轴的交点个数为 3 故选 A 点评点评 此题考查了抛物线与 x 轴的交点 以及一元二次方程的解法 其中令抛物线解析式中 x 0 求出的 y 值即为抛物线与 y 轴交点的纵坐标 令 y 0 求出对应的 x 的值 即为抛物线 与 x 轴交点的横坐标 例例 2 2 2000 湖州 已知 抛物线 y x2 bx c 的顶点坐标为 1 4 1 求抛物线的解析式 2 求该抛物线与坐标轴的交点坐标 考点考点 待定系数法求二次函数解析式 抛物线与 x 轴的交点 分析分析 1 可利用顶点公式把对应的值代入求解 得出 a 1 b 2 c 3 所以 y x2 2x 3 2 当 y 0 时 x2 2x 3 0 解方程可求得与 x 轴的交点为 1 0 3 0 当 x 0 时 y 3 即求得与 y 轴的交点坐标为 0 3 解答 解 1 抛物线 y x2 bx c 的顶点坐标为 1 4 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 17 a 1 b 2 c 3 y x2 2x 3 2 当 y 0 时 x2 2x 3 0 解得 x1 1 x2 3 即与 x 轴的交点为 1 0 3 0 当 x 0 时 y 3 即与 y 轴的交点坐标为 0 3 点评 主要考查了二次函数解析式中系数与顶点之间的关系和二次函数与一元二次方程之间 的关系 要掌握顶点公式和利用解析式求坐标轴的交点的方法 学以致用 学以致用 1 如果二次函数 y x2 4x c 图象与 x 轴没有交点 其中 c 为整数 则 c 写 一个即可 2 2 二次函数 y x2 2x 3 图象与 x 轴交点之间的距离为 3 抛物线 y 3x2 2x 1 的图象与 x 轴交点的个数是 A 没有交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D 有三个交点 4 如图所示 二次函数 y x2 4x 3 的图象交 x 轴于 A B 两点 交 y 轴于点 C 则 ABC 的面积为 A 6 B 4 C 3 D 1 5 已知抛物线 y 5x2 m 1 x m 与 x 轴的两个交点在 y 轴同侧 它们的距离平方等于 为 则 m 的值为 49 25 A 2 B 12 C 24 D 48 6 若二次函数 y m 5 x2 2 m 1 x m 的图象全部在 x 轴的上方 则 m 的取值范围是 7 已知抛物线 y x2 2x 8 1 求证 该抛物线与 x 轴一定有两个交点 2 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A B 且它的顶点为 P 求 ABP 的面积 十一 函数解析式的求法十一 函数解析式的求法 一 一 已知抛物线上任意三点时 通常设解析式为一般式 已知抛物线上任意三点时 通常设解析式为一般式 y axy ax2 2 bx c bx c 然后解三元方程组 然后解三元方程组 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 18 求解 求解 例例 1 图像经过 1 4 1 0 2 5 求二次函数的解析式 解析 设二次函数的解析式为 依题意得 cba 2 解得 4 0 542 abc abc abc 3 2 1 c b a 32 2 xxy 学以致用 学以致用 1 已知二次函数的图象经过 A 0 3 B 1 3 C 1 1 三点 求该二次函数的解析 式 2 已知抛物线过 A 1 0 和 B 4 0 两点 交 y 轴于 C 点且 BC 5 求该二次函数的解 析式 二 已知抛物线的顶点坐标 或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时 通常已知抛物线的顶点坐标 或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时 通常 设解析式为顶点式 设解析式为顶点式 y a xy a x h h 2 2 k k 求解求解 例例 2 图象顶点是 2 3 且过 1 5 求二次函数的解析式 解析 设二次函数解析式为 y a x h 2 k 图象顶点是 2 3 h 2 k 3 依题意得 5 a 1 2 2 3 解得 a 2 y 2 x 2 2 3 1182 2 xx 学以致用 学以致用 3 已知二次函数的图象的顶点坐标为 1 6 且经过点 2 8 求该二次函数的解 析式 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 19 4 已知二次函数的图象的顶点坐标为 1 3 且经过点 P 2 0 点 求二次函数的解 析式 三 已知抛物线与轴的交点的坐标时 通常设解析式为交点式已知抛物线与轴的交点的坐标时 通常设解析式为交点式 y a xy a x x x1 1 x x x x2 2 例例 2 图像与 x 轴交于 2 0 4 0 两点 且过 1 求二次函数的解析式 2 9 解析 设二次函数解析式为 y a x x 1 2 图像与 x 轴交于 2 0 4 0 两点 2 4 1 2 依题意得 a 1 2 1 4 2 9 a 2 1 y x 2 x 4 2 1 4 2 1 2 x 学以致用 学以致用 5 二次函数的图象经过 A 1 0 B 3 0 函数有最小值 8 求该二次函数的解析 式 6 已知 x 1 时 函数有最大值 5 且图形经过点 0 3 则该二次函数的解析式 7 抛物线 y 2x2 bx c 与 x 轴交于 1 0 3 0 则 b c 8 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于 2 0 4 0 顶点到 x 轴的距离为 3 求函数的解析式 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 20 9 y x2 2 k 1 x 2k k2 它的图象经过原点 求 解析式 与 x 轴交点 O A 及顶点 C 组成 的 OAC 面积 10 抛物线 y k2 2 x2 m 4kx 的对称轴是直线 x 2 且它的最低点在直线 y x 2 上 1 2 求函数解析式 十二 二次函数应用十二 二次函数应用 1 1 面积问题 主要利用各种图形的面积公式 如三角形面积 底 面积问题 主要利用各种图形的面积公式 如三角形面积 底 2 1 高 2 2 利润问题 利润 销量 利润问题 利润 销量 售价 进价 其他 售价 进价 其他 一 二次函数的实际应用 利润利润最大 小 值问题 知识要点 知识要点 定价定价 商品调价 商品销售量 1 销售量变化率销售量变化率 其他成本 单价商品利润 商品定价 商品售价 1 价格变动量 商品定价 商品售价 2 或者直接等于商品调价 销售量变化率销售量变化率 销售变化量 引起销售量变化的单位价格 商品总销售量 商品销售量 1 销售量变化率 总利润 总利润 W 单价商品利润单价商品利润 总销售量 其他成本总销售量 其他成本 其他成本 单位价格变动 销售量变化 商品销售量 商品售价 商品定价 总利润 1 1W 例例 1 某商品现在的售价为每件 60 元 每星期可卖出 300 件 市场调查反映 每涨价 1 元 每星期少卖出 10 件 每降价 1 元 每星期可多卖出 20 件 已知商品的进价为每件 40 元 如何定价才能使利润最大 解 设涨价 或降价 为每件元 利润为元 xy 为涨价时的利润 为降价时的利润 1 y 2 y 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 21 则 10300 4060 1 xxy 60010 10 2 xx 6250 5 10 2 x 当 即 定价为 65 元时 元 5 x6250 max y 20300 4060 2 xxy 15 20 20 xx 6125 5 2 20 2 x 当 即 定价为 57 5 元时 元 5 2 x6125 max y 综合两种情况 应定价为 65 元时 利润最大 学以致用 学以致用 1 某商店购进一批单价为 20 元的日用品 如果以单价 30 元销售 那么半个月内可以售出 400 件 根据销售经验 提高单价会导致销售量的减少 即销售单价每提高 1 元 销售量相 应减少 20 件 如何提高售价 才能在半个月内获得最大利润 2 某旅行社组团去外地旅游 30 人起组团 每人单价 800 元 旅行社对超过 30 人的团给予 优惠 即旅行团每增加一人 每人的单价就降低 10 元 你能帮助分析一下 当旅行团的人 数是多少时 旅行社可以获得最大营业额 3 某产品每件成本 10 元 试销阶段每件产品的销售价 元 与x 产品的日销售量 件 之间的关系如下表 y 若日销售量是销售价的一次函数 yx 求出日销售量 件 与销售价 元 的函数关系式 yx 要使每日的销售利润最大 每件产品的销售价应定为多少元 此时每日销售利润是多 少元 x 元 152030 y 件 252010 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 22 点评 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似 也有区别 主要有两点 在 当某某为何值时 什么最大 或最小 最省 的设问中 某某 要设为自变量 什么 要设为函数 求解方法是依靠配方法或最值公式 而不是解方程 4 2006 十堰市 市 健益 超市购进一批 20 元 千克的绿色食品 如果以 30 元 千克销售 那么每天可售出 400 千克 由销售经验知 每天销售量 千克 与销售单价 元 yx 存在如下图所示的一次函数关系式 30 x 试求出与的函数关系式 yx 设 健益 超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元 当 销售单价为何值时 每天可获得最大利润 最大利润是多少 根据市场调查 该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元 现该超市经理要求每天利润不得低于 4180 元 请你帮助该超市确定绿色食品销售单 价的范围 直接写出答案 x 5 2006 年青岛市 在 2006 年青岛崂山北宅樱桃节前夕 某果品批发公司为指导今年的 樱桃销售 对往年的市场销售情况进行了调查统计 得到如下数据 销售价 x 元 千克 25 24 23 22 销售量 y 千克 2000250030003500 1 在如图的直角坐标系内 作出各组有序数对 x y 所对应的点 连接各点并观 察所得的图形 判断 y 与 x 之间的函数关系 并求出 y 与 x 之间的函数关系式 2 若樱桃进价为 13 元 千克 试求销售利润 P 元 与销售价 x 元 千克 之间的函 数关系式 并求出当 x 取何值时 P 的值最大 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 23 6 有一种螃蟹 从海上捕获后不放养 最多只能存活两天 如果放养在塘内 可以延长存 活时间 但每天也有一定数量的蟹死去 假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变 现有 一经销商 按市场价收购这种活蟹 1000 kg 放养在塘内 此时市场价为每千克 30 元 据测 算 此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元 但是 放养一天需支出各种费用为 400 元 且平均每天还有 10 kg 蟹死去 假定死蟹均于当天全部销售出 售价都是每千克 20 元 1 设 x 天后每千克活蟹的市场价为 p 元 写出 p 关于 x 的函数关系式 2 如果放养 x 天后将活蟹一次性出售 并记 1000 kg 蟹的销售总额为 Q 元 写出 Q 关 于 x 的函数关系式 3 该经销商将这批蟹放养多少天后出售 可获最大利润 利润 Q 收购总额 7 2008 湖北恩施 为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神 最近 州 委州政府又出台了一系列 三农 优惠政策 使农民收入大幅度增加 某农户生产经销一 种农副产品 已知这种产品的成本价为 20 元 千克 市场调查发现 该产品每天的销售 量 千克 与销售价 元 千克 有如下关系 2 80 设这种产品每天的销售利 润为 元 1 求 与 之间的函数关系式 2 当销售价定为多少元时 每天的销售利润最大 最大利润是多少 3 如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元 千克 该农户想要每天获得 150 元的销售利润 销售价应定为多少元 诚美教育诚美教育 中小学 1 对 1 个性化辅导第一责任品牌 咨询电话 0734 83121230734 8312123 投诉电话 1587344221115873442211 24 二 二次函数的实际应用 面积最大 小 值问题 知识要点 知识要点 在生活实践中 人们经常面对带有 最 字的问题 如在一定的方案中 花费最少 消耗 最低 面积最大 产值最高 获利最多等 解数学题时 我们也常常碰到求某个变量的最大 值或最小值之类的问题 这就是我们要讨论的最值问题 求最值的问题的方法归纳起来有以 下几点 1 运用配方法求最值 2 构造一元二次方程 在方程有解的条件下 利用判别式求最值 3 建立函数模型求最值 4