新课标2010高考数学二轮复习：专题九《分类讨论的思想》

1 专题九 分类讨论的思想 考情分析 高考中的分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异 分各种不同的情况予以分析解 决 分类讨论题覆盖知识点较多 利于考查学生的知识面 分类思想和技巧 同时方式多样 具有较高的逻辑性及很强的综合性 树立分类讨论思想 应注重理解和掌握分类的原则 方 法与技巧 做到 确定对象的全体 明确分类的标准 分层别类不重复 不遗漏的分析讨论 知识交汇 分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法 也是一种数学思想 这种思想在简化研究对 象 发展思维方面起着重要作用 因此 有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有 重要地位 所谓分类讨论 就是在研究和解决数学问题时 当问题所给对象不能进行统一研究 我 们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点 将对象区分为不同种类 然后逐类进 行研究和解决 最后综合各类结果得到整个问题的解决 这一思想方法 我们称之为 分类 讨论的思想 1 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一 是历年高考的重点 分类讨论的思想具有明显的逻辑特点 分类讨论问题一般涵盖知识点较多 有利于对学生知识面的考察 解决分类讨论问题 需要学生具有一定的分析能力和分类技巧 分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关 2 分类讨论的思想的本质 分类讨论思想的本质上是 化整为零 积零为整 从而增加了题设条件的解题策略 3 运用分类讨论的思想解题的基本步骤 确定讨论对象和确定研究的全域 对所讨论的问题进行合理的分类 分类时需要做到不重复 不遗漏 标准统一 分层 不越级 逐类讨论 即对各类问题详细讨论 逐步解决 归纳总结 整合得出结论 4 明确分类讨论的思想的原因 有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题 其主要原 因有 由数学概念引起的分类讨论 如绝对值定义 等比数列的前项和公式等等 n 由数学运算要求引起的分类讨论 如偶次方根非负 对数中的底数和真数的要求 不 2 等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等 由函数的性质 定理 公式的限制引起的分类讨论 由几何图形中点 线 面的相对位置不确定引起的分类讨论 由参数的变化引起的分类讨论 某些含参数的问题 由于参数的取值不同会导致所得 结果不同 或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法 其他根据实际问题具体分析进行分类讨论 如排列 组合问题 实际应用题等 思想方法 一 问题中的变量或含有需讨论的参数的 要进行分类讨论一 问题中的变量或含有需讨论的参数的 要进行分类讨论 例 1 设0 a 函数 1ln 2 xaxxf 1 当1 a时 求曲线 xfy 在1 x处的切线方程 2 当 1 x时 求函数 xf的最小值 解析 1 当1 a时 1ln 2 xxxf 令1 x 得 1 1 2 1 ff所以切点为 1 2 切线的斜率为 1 所以曲线 xfy 在1 x处的切线方程为 01 yx 2 当ex 时 axaxxf ln 2 x a xxf 2 ex 0 a 0 xf恒成立 xf 在 e上增函数 故当ex 时 2 min eefy 当ex 1时 1ln 2 xaxxf 2 2 2 2 a x a x xx a xxf ex 1 i 当 1 2 a 即20 a时 x f 在 1 ex 时为正数 所以 xf在区间 1 e上为 增函数 故当1 x时 ay 1 min 且此时 1 eff ii 当e a 2 1 即 2 22ea 时 x f 在 2 1 a x 时为负数 在间 2 e a x 3 时为正数 所以 xf在区间 2 1 a 上为减函数 在 2 e a 上为增函数 故当 2 a x 时 2 ln 22 3 min aaa y 且此时 2 ef a f iii 当e a 2 即 2 2ea 时 x f 在 1 ex 时为负数 所以 xf在区间 1 e 上 为减函数 故当ex 时 2 min eefy 综上所述 当 2 2ea 时 xf在ex 时和ex 1时的最小值都是 2 e 所以此时 xf的最小值为 2 eef 当 2 22ea 时 xf在ex 时的最小值为 2 ln 22 3 2 aaaa f 而 2 ef a f 所以此时 xf的最小值为 2 ln 22 3 2 aaaa f 当20 a时 在ex 时最小值为 2 e 在ex 1时的最小值为af 1 1 而 1 eff 所以此时 xf的最小值为af 1 1 所以函数 xfy 的最小值为 22 2 min 2 22 2 ln 22 3 2 0 1 eae ea aaa aa y 点评点评 本题涉及的知识点有带绝对值的式子 因此要了解绝对值概念的定义 进行分类讨 论 二 根据数学中的定理 公式和性质确定分类标准二 根据数学中的定理 公式和性质确定分类标准 例 2 求和 2n n Saaa 解析解析 当时 0a 0 n S 当时 此题为等比数列求和 0a 若时 则由求和公式 1a 1 1 n n aa S a 若时 1a n Sn 4 综合可得 1 1 1 1 n n aa a a S na 点评点评 由于等比数列定义本身有条件限制 等比数列求和公式是分类给出的 因此 应 用等比数列求和公式时也需要讨论 这里进行了两层分类 第一层分类的依据是等比数列的 概念 分为和 第二层分类依据是等比数列求和公式的应用条件 0a 0a 三 涉及几何问题时 由几何元素的形状 位置的变化需要分类讨论三 涉及几何问题时 由几何元素的形状 位置的变化需要分类讨论 例 3 若四面体各棱长是 1 或 2 且该四面体不是正四面体 则其体积的值是 只 须写出一个可能的值 解析 首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的 排除 1 1 2 可得 1 1 1 1 2 2 2 2 2 然后由这三类面在空间构造满 足条件的一个四面体 再求其体积 由平时所见的题目 至少可构造出二类满足条件的四面体 五条边为 2 另一边为 1 对棱 相等的四面体 对于五条边为 2 另一边为 1 的四面体 参看图 1 所示 设 AD 1 取 AD 的中点为 M 平面 BCM 把三棱锥分成两个三棱锥 由对称性可知 AD 面 BCM 且 VA BCM VD BCM 所以 VABCD S BCM AD 3 1 CM 设 N 是 BC 的中点 则 MN BC MN 22 DMCD 22 2 1 2 2 15 22 CNCM 从而 S BCM 2 1 4 15 2 11 2 1 2 11 2 11 故 VABCD 1 3 1 2 11 6 11 5 对于对棱相等的四面体 可参见图 2 其体积的计算可先将其置于一个长方体之中 再用长方 体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行 亦可套公式 V 12 2 bac acb cba 222222222 不妨令 a b 2 c 1 则 V 12 2 441 414 144 12 2 7 12 14 四 问题中的条件是分类给出的四 问题中的条件是分类给出的 例 4 2009 年湖北卷理科 年湖北卷理科 已知数列满足 m 为正整数 n a 1 a m 若 则 m 所有可能的取值为 1 2 31 n n n nn a a a aa 当为偶数时 当为奇数时 6 a 1 解析 1 若为偶数 则为偶 故 1 am 1 2 a 2 23 a 224 amm a 当仍为偶数时 故 4 m 46 832 mm aa 132 32 m m 当为奇数时 4 m 43 3 311 4 aam 6 3 1 4 4 m a 故得 m 4 3 1 4 1 4 m 2 若为奇数 则为偶数 故必为偶数 1 am 21 3131aam 3 31 2 m a 所以 1 可得 m 5 6 31 16 m a 31 16 m 五 解题过程不能统一叙述 必须分类讨论的五 解题过程不能统一叙述 必须分类讨论的 某商店经销一种奥运会纪念品 每件产品的成本为 30 元 并且每卖出一件产品需向税务部 门上交元 为常数 2 a 5 的税收 设每件产品的售价为x元 35 x 41 根据市aa 6 场调查 日销售量与 e 为自然对数的底数 成反比例 已知每件产品的日售价为 40 元时 x e 日销售量为 10 件 1 求该商店的日利润 L x 元与每件产品的日售价x元的函数关系式 2 当每件产品的日售价为多少元时 该商品的日利润 L x 最大 并求出 L x 的最大值 解 1 设日销售量为 40 40 10 10 x kk ke ee 40 x 10e 则则日售量为件 e 则日利润 40 40 1030 30 10 xx exa L xxae ee 2 4031 10 x ax L xe e 当 2 a 4 时 33 a 31 35 当 35 x 41 时 0L x 当x 35 时 L x 取最大值为 5 10 5 a e 当 4 a 5 时 35 a 31 36 0 31 L xxa 令得 易知当x a 31 时 L x 取最大值为 9 10 a e 综合上得 5 max 9 10 5 24 10 45 a a ea L x ea 用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程 明确讨论的对象和动机 确定分类 逐 类进行讨论 归纳综合结论 检验分类是否完备 即分类对象彼此交集为空集 并集为全集 做到 确定对象的全体 明确分类的标准 分层类别不重复 不遗漏的分析讨论 专题演练 1 已知集合 A x x2 3x 2 0 B x x2 ax a 1 0 C x x2 mx 2 0 且 A B A A C C 则 a 的值为 m 的取值范围为 2 给出定点 A a 0 a 0 和直线 l x 1 B 是直线 l 上的动点 BOA 的角平分线 交 AB 于点 C 求点 C 的轨迹方程 并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系 3 设函数 f x x2 x a 1 x R 1 判断函数 f x 的奇偶性 2 求函数 f x 的最小值 4 设 函数若的解集为 A aR 2 22 f xaxxa 0f x 13 Bxx 7 求实数的取值范围 AB a 参考答案 1 解解 A 1 2 B x x 1 x 1 a 0 由 A B A 可得 1 a 1 或 1 a 2 由 A C C 可知 C 1 或 答案 2 或 3 3 或 2 2 22 2 解 解 依题意 记 B 1 b b R 则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y 0 和 y bx 设点 C x y 则有 0 x a 由 OC 平分 AOB 知点 C 到 OA OB 距离相等 根据点到直线的距离公式得 y 2 1 b bxy 依题设 点 C 在直线 AB 上 故有 1 ax a b y 由 x a 0 得 ax ya b 1 将 式代入 式 得 y2 1 a x2 2ax 1 a y2 0 若 y 0 则 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a 若 y 0 则 b 0 AOB 点 C 的坐标为 0 0 满足上式 综上 得点 C 的轨迹方程为 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a i 当 a 1 时 轨迹方程化为 y2 x 0 x 1 此时方程 表示抛物线弧段 ii 当 a 1 轨迹方程化为 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ax a a y a a a a x 所以当 0 a 1 时 方程 表示椭圆弧段 当 a 1 时 方程 表示双曲线一支的弧段 8 3 解 1 当 a 0 时 函数 f x x 2 x 1 f x 此时 f x 为偶函数 当 a 0 时 f a a2 1 f a a2 2 a 1 f a f a f a f a 此时函数 f x 既不是奇函数 也不是偶函数 2 当 x a 时 函数 f x x2 x a 1 x 2 a 2 1 4 3 若 a 则函数 f x 在 a 上单调递减 2 1 从而函数 f x 在 a 上的最小值为 f a a2 1 若 a 则函数 f x 在 a 上的最小值为 f a 且 f f a 2 1 2 1 4 3 2 1 当 x a 时 函数 f x x2 x a 1 x 2 a 2 1 4 3 若 a 则函数 f x 在 a 上的最小值为 f a 且 f f a 2 1 2 1 4 3 2 1 若 a 则函数 f x 在 a 单调递增 2 1 从而函数 f x 在 a 上的最小值为 f a a2 1 综上 当 a 时 函数 f x 的最小值为 a 2 1 4 3 当 a 时 函数 f x 的最小值是 a