二次函数动点问题[1]

二次函数与三角形 2 1 如图 已知二次函数 y ax2 bx 8 a 0 的图像与 x 轴交于点 A 2 0 B 与 y 轴 交于点 C tan ABC 2 1 求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标 2 设直线 CD 交 x 轴于点 E 在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P 使得经过点 P 的直线 PM 垂直于直线 CD 且与直 线 OP 的夹角为 75 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 过点 B 作 x 轴的垂线 交直线 CD 于 点 F 将抛物线沿其对称轴向上平移 使抛物线与线段 EF 总有公共点 试探 究 抛物线最多可以向上平移多少个单位长度 2 如图 抛物线 0 与 y 轴交于点 C 与 x 轴交于 A B 两点 2 33ymxmx m 点 A 在点 B 的左侧 且 1 tan 3 OCB 1 求此抛物线的解析式 2 如果点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点 设 D 点的横坐标为 x ACD 的面积为 S 求 S 与 x 的关系式 并求当 S 最大时点 D 的坐标 3 若点 E 在 x 轴上 点 P 在抛物线上 是否存在以 A C E P 为顶点的平行四边形 若存在求点 P 坐标 若不存在 请说明理由 24 题图 备用图 x y O H G F E 3 已知 如图 在 EFGH中 点F的坐标是 2 1 EFG 45 1 求点 H 的坐标 2 抛物线经过点 E G H 现将向左平移使之经过点 F 得到抛物线 求抛 1 C 1 C 2 C 物线的解析式 2 C 3 若抛物线与 y 轴交于点 A 点 P 在抛物线的对称轴上运动 请问 是否存 2 C 2 C 在以 AG 为腰的等腰三角形 AGP 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请 说明理由 4 如图 设抛物线 C1 C2 C1与 C2的交点为 A B 点 51 2 xay 51 2 xay A 的坐标是 点 B 的横坐标是 2 4 2 1 求的值及点 B 的坐标 a 2 点D在线段AB上 过D作x轴的垂线 垂足为点H 在DH的右侧作正三角形DHG 过C2顶点 的 直线记为 且与x轴交于点N ll 若 过 DHG 的顶点 G 点 D 的坐标为l 1 2 求点 N 的横坐标 若 与 DHG的边DG相交 求点N的横l 坐标的取值范围 5 如图 抛物线与轴相交于点 C 直线经过点 C 且平行于 2 0 yaxbxc a y 1 L 轴 将向上平移 t 个单位得到直线 设与抛物线的交点为 C D 与抛物线x 1 L 2 L 1 L 2 L 第 25 题图 的交点为 A B 连接 AC BC 1 当 时 探究 ABC 的形状 并说明理由 1 2 a 3 2 b 1c 2t 2 若 ABC 为直角三角形 求 t 的值 用含的式子表示 a 3 在 2 的条件下 若点 A 关于轴的对称点 A 恰好在抛物线 F 的对称轴上 连y 接 A C BD 求四边形 A CDB 的面积 用含的式子表示 a 6 已知 抛物线经过坐标原点 kkxkkxy 22 2 32 1 求抛物线的解析式和顶点 B 的坐标 2 设点 A 是抛物线与轴的另一个交点 试在轴上确定一点 P 使 PA PB 最短 并 x y 求出点 P 的坐标 3 过点 A 作 AC BP 交轴于点 C 求到直线 AP AC CP 距离相等的点的坐标 y 7 已知抛物线 13 2 2 mxmxy 1 求证 无论 m 为任何实数 抛物线与 x 轴总有交点 2 设抛物线与 y 轴交于点 C 当抛物线与 x 轴有两个交点 A B 点 A 在点 B 的 左侧 时 如果 CAB 或 CBA 这两角中有一个角是钝角 那么 m 的取值范围 是 3 在 2 的条件下 P 是抛物线的顶点 当 PAO 的面积与 ABC 的面积相等时 求该抛物线的解析式 8 如图 已知抛物线C1 的顶点为P 与 x 轴相交于A B两点 点A 52 2 xay 在 点B的左边 点B的横坐标是 1 1 求P点坐标及a的值 2 如图 1 抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称 将抛物线C2向右平移 平移后 的抛 2 L x 1 L O C AB D y 物线记为C3 C3的顶点为M 当点P M关于点B成中心对称时 求C3的解析式 3 如图 2 点Q是x轴正半轴上一点 将抛物线C1绕点Q旋转 180 后得到抛物 线 C4 抛物线C4的顶点为N 与x轴相交于E F两点 点E在点F的左边 当以点 P N F为顶点的三角形是直角三角形时 求点Q的坐标 9 如图 将腰长为的等腰 Rt ABC 是直角 放在平面直角坐标系中的第二象限 5C 使顶点 A 在 y 轴上 顶点 B 在抛物线上 顶点 C 在 x 轴上 坐标为 2 2yaxax 0 1 1 点 A 的坐标为 点 B 的坐标为 2 抛物线的关系式为 其顶点坐标为 3 将三角板 ABC 绕顶点 A 逆时针方向旋转 90 到达的位置 请判断点AB C 是否在 2 中的抛物线上 并说明理由 B C y x A O B P M 图 1 C1 C2 C3 图图 24 124 1 y x A O B P N 图 2 C1 C4 Q EF 图图 24 24 2 2 10 如图 在直角坐标系中 O 是坐标原点 点 A 的坐标是 1 若把线段 OA 3 绕点 O 逆时针旋转 120 可得线段 OB 1 求点 B 的坐标 2 某二次函数的图象经过 A O B 三点 求该函数的解析式 3 在第 2 小题所求函数图象的对称轴上 是否存在点 P 使 OAP 的周长最小 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 11 如图 已知抛物线 C1 的顶点为 P 与 x 轴相交于 A B 两点 点5 2 2 xay A 在点 B 的左边 点 A 的横坐标是 1 1 求点坐标及的值 pa 2 如图 1 抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称 将抛物线 C2向左平移 平移后的 抛物线记为 C3 C3的顶点为 M 当点 P M 关于点 A 成中心对称时 求 C3的解析式 khxay 2 3 如图 2 点 Q 是 x 轴负半轴上一动点 将抛物线 C1绕点 Q 旋转 180 后得到抛物线 C4 抛物线 C4的顶点为 N 与 x 轴相交于 E F 两点 点 E 在点 F 的左边 当以点 P N E 为顶点的三角形是直角三角形时 求顶点 N 的坐标 12 已知 如图 1 等边的边长为 一边在轴上且 交ABC 32x 0 31 AAC 轴于点 过点作 交于点 yEEEFABBCF 1 直接写出点的坐标 CB 2 若直线将四边形的面积两等分 求的值 01 kkxyEABFk 3 如图 2 过点的抛物线与轴交于点 为线段上的一个动点 CBA yDMOB 过轴上一点作的垂线 垂足为 直线交轴于点 当x 0 2 GDMHGHyN 点在线段上运动时 现给出两个结论 MOB 其中有且只有一个结论是正确的 请CDMGNM DCMMGN 你判断哪个结论正确 并证明 13 如图 直线 平行于直线 且与直线 相交于点 1 lykxb 1yx 2 l 1 2 ymx 图 1 图 2 1 0 P 1 求直线 的解析式 1 l 2 l 2 直线与 y 轴交于点 A 一动点从点 A 出发 先沿平行于 x 轴的方向运动 到达直 1 lC 线上的点处后 改为垂直于 x 轴的方向运动 到达直线上的点处后 再沿 2 l 1 B 1 l 1 A 平行于 x 轴的方向运动 到达直线上的点处后 又改为垂直于 x 轴的方向运动 2 l 2 B 到达直线上的点处后 仍沿平行于 x 轴的方向运动 1 l 2 A 照此规律运动 动点依次经过点 C 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 A n B n A 求点 的坐标 1 B 2 B 1 A 2 A 请你通过归纳得出点 的坐标 并求当动点到达处时 运动的总路径 n A n BC n A 的长 14 抛物线与 x 轴交于 A 1 0 B 两点 与 y 轴交于点 C 0 3 抛物线顶点为 M 连接 AC 并延长 AC 交抛物线对称轴于点 Q 且点 Q 到 x 轴的距离为 6 1 求此抛物线的解析式 2 在抛物线上找一点 D 使得 DC 与 AC 垂直 求出点 D 的坐标 3 抛物线对称轴上是否存在一点 P 使得 S PAM 3S ACM 若存在 求出 P 点坐标 若 不存在 请说明理由 15 已知抛物线 2 2 3 yxbxc 与 x 轴交于不同的两点 10 A x 和 20 B x 与 y 轴交 于点 C 且 12 xx 是方程 2 230 xx 的两个根 12 xx 1 求抛物线的解析式 2 过点 A 作 AD CB 交抛物线于点 D 求四边形 ACBD 的面积 3 如果 P 是线段 AC 上的一个动点 不与点 A C 重合 过点 P 作平行于 x 轴的直 线 l 交 BC 于点 Q 那么在 x 轴上是否存在点 R 使得 PQR 为等腰直角三角形 若存 在 求出点 R 的坐标 若不存在 请说明理由 16 已知 关于的一元二次方程x 22 2 23 41480 xmxmm 1 若求证 方程有两个不相等的实数根 0 m 2 若 12 m 40 的整数 且方程有两个整数根 求的值 m 17 本题满分 7 分 在平面直角坐标系中 现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限 斜靠在两坐标轴上 且点 A 0 2 点 C 1 0 如图所示 抛物线 经过点 B 2 2yaxax 1 求点 B 的坐标 2 求抛物线的解析式 3 在抛物线上是否还存在点 P 点 B 除外 使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直 角三角形 若存在 求所有点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 二次函数与四边形二次函数与四边形 一 二次函数与四边形的形状二次函数与四边形的形状 C 1 0 A 0 2 B x y O 7 2 x B 0 4 A 6 0 E F x y O 例 1 浙江义乌市 如图 抛物线与 x 轴交 A B 两点 A 点在 B 点左侧 2 23yxx 直线 与抛物线交于 A C 两点 其中l C 点的横坐标为 2 1 求 A B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式 2 P 是线段 AC 上的一个动点 过 P 点作 y 轴的平 行线交抛物线于 E 点 求线段 PE 长度的最大值 3 点 G 是抛物线上的动点 在 x 轴上是否存在点 F 使 A C F G 这样的四个点为顶点的四边形是 平行四边形 如果存在 求出所有满足条件的 F 点坐标 如果不存在 请说明理由 练习 1 河南省实验区河南省实验区 23 如图 对称轴为直线的抛物线经过点 A 6 0 和 7 2 x B 0 4 1 求抛物线解析式及顶点坐标 2 设点 E 是抛物线上一动点 且位于第四象限 xy四 边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形 求平行四边形 OEAF 的面积 S 与之间的函数关系式 并写出自变量的取值xx 范围 当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时 请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形 是否存在点 E 使平行四边形 OEAF 为正方形 若存 在 求出点 E 的坐标 若不存在 请说明理由 练习练习 2 2 四川省德阳市 四川省德阳市 25 25 如图 已知与轴交于点和的抛物线x 10 A 5 0 B 的顶点为 抛物线与 关于轴对称 顶点为 1 l 3 4 C 2 l 1 lx C A 1 求抛物线的函数关系式 2 l 2 已知原点 定点 上的点与 上的点始终关于轴对称 O 0 4 D 2 lP 1 l P x 则当点运动到何处时 以点为顶点的四边形是平行四边形 PDOP P 3 在上是否存在点 使是以为斜边且一个角为的直角三 2 lMABM AB30 角形 若存 求出点的坐标 若不存在 说明理由 M 练习 3 山西卷 如图 已知抛物线与坐标轴的交点依次是 1 C 4 0 A 2 0 B 0 8 E 1 求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式 1 C 2 C 2 设抛物线的顶点为 抛物线与轴分别交 1 CM 2 Cx 于两点 点在点的左侧 顶点为 四边CD CDN 形的面积为 若点 点同时以每秒 1 个MDNASAD 单位的速度沿水平方向分别向右 向左运动 与此同时 点 点同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别MN 向下 向上运动 直到点与点重合为止 求出四边AD 形的面积与运动时间 之间的关系式 并写出MDNASt 自变量 的取值范围 t 3 当 为何值时 四边形的面积有最大值 tMDNAS 并求出此最大值 4 在运动过程中 四边形能否形成矩形 若MDNA 能 求出此时 的值 若不能 请说明理由 t 二 二次函数与四边形的面积二次函数与四边形的面积 例例 1 1 资阳市 资阳市 25 25 如图 10 已知抛物线 P y ax2 bx c a 0 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在 x 轴的正半轴上 与 y 轴交于点 C 矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上 顶点 F G 分别在线段 BC AC 上 抛物线 P 上部分点的横坐标对 应的纵坐标如下 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 54321 A E B C 1 O 2 l 1 l x y x 3 212 y 5 2 4 5 2 0 1 求 A B C 三点的坐标 2 若点 D 的坐标为 m 0 矩形 DEFG 的面积为 S 求 S 与 m 的函数关系 并指出 m 的取值范围 3 当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时 连接 DF 并 延长至点 M 使 FM k DF 若点 M 不在抛物线 P 上 求 k 的取值范围 练习 1 辽宁省十二市 2007 年第 26 题 如图 平面直角坐标 系中有一直角梯形OMNH 点H的坐标为 8 0 点N的坐标 为 6 4 1 画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180 的图形OABC 并写出顶点A B C的坐标 点M的对应点为A 点N的对应点为B 点H的对应点为C 2 求出过A B C三点的抛物线的表达式 3 截取CE OF AG m 且E F G分别在线段CO OA AB上 求四边形BEFG的面 积S与m之间的函数关系式 并写出自变量m的取值范围 面积S是否存在最小值 若存在 请求出这个最小值 若不存在 请说明理由 4 在 3 的情况下 四边形BEFG是否存在邻边相等的情况 若存在 请直接写出 此时m的值 并指出相等的邻边 若不存在 说明理由 练习 3 吉林课改卷 如图 正方形的边长为 在对称ABCD2cm 中心处有一钉子 动点 同时从点出发 点沿OPQAP 方向以每秒的速度运动 到点停止 点沿ABC 2cmCQ 方向以每秒的速度运动 到点停止 两点用AD 1cmDPQ 一条可伸缩的细橡皮筋联结 设秒后橡皮筋扫过的面积为 x 2 cmy 1 当时 求与之间的函数关系式 01x yx 2 当橡皮筋刚好触及钉子时 求值 x 图 10 B C P O D Q A B PC O D Q A y 3 2 1 O1 2x 3 当时 求与之间的函数关系式 并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止12x yx 时的变化范围 POQ 4 当时 请在给出的直角坐标系中画出与之间的函数图象 02x yx 练习 4 四川资阳卷 如图 已知抛物线 l1 y x2 4 的图象与 x 轴相交于 A C 两点 B 是 抛物线 l1上的动点 B 不与 A C 重合 抛物线 l2与 l1关于 x 轴对称 以 AC 为对角线的平 行四边形 ABCD 的第四个顶点为 D 1 求 l2的解析式 2 求证 点 D 一定在 l2上 3 ABCD 能否为矩形 如果能为矩形 求这些矩形公共部分 的面积 若只有一个矩形符合条件 则求此矩形的面积 如果 不能为矩形 请说明理由 注 计算结果不取近似值 三 二次函数与四边形的动态探究 例例 1 荆门市荆门市 28 如图 1 在平面直角坐标系中 有一张 矩形纸片 OABC 已知 O 0 0 A 4 0 C 0 3 点 P 是 OA 边上的动点 与点 O A 不重合 现将 PAB 沿 PB 翻折 得到 PDB 再在 OC 边上选取适当的点 E 将 POE 沿 PE 翻折 得到 PFE 并使直线 PD PF 重合 1 设 P x 0 E 0 y 求 y 关于 x 的函数关系式 并求 y 的最大值 2 如图 2 若翻折后点 D 落在 BC 边上 求过点 P B E 的抛物线的函数关系式 3 在 2 的情况下 在该抛物线上是否存在点 Q 使 PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角 形 若不存在 说明理由 若存在 求出点 Q 的坐标 图 1 F E P D y x B A C O 图 2 O C A B x y D P E F 例 2 2007 年沈阳市第 26 题 已知抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 其中点 B 在 x 轴的正半轴上 点 C 在 y 轴的正半轴上 线段 OB OC 的长 OB OC 是方程 x2 10 x 16 0 的两个根 且抛物线的对称轴是直线 x 2 1 求 A B C 三点的坐标 2 求此抛物线的表达式 3 连接 AC BC 若点 E 是线段 AB 上的一个动点 与点 A 点 B 不重合 过点 E 作 EF AC 交 BC 于点 F 连接 CE 设 AE 的长为 m CEF 的面积为 S 求 S 与 m 之 间的函数关系式 并写出自变量 m 的取值范围 4 在 3 的基础上试说明 S 是否存在最大值 若存在 请求出 S 的最大值 并求 出此时点 E 的坐标 判断此时 BCE 的形状 若不存在 请说明理由 例 3 湖南省郴州 27 如图 矩形 ABCD 中 AB 3 BC 4 将矩形 ABCD 沿对角线 A 平移 平移后的矩形为 EFGH A E C G 始终在同一条直线上 当点 E 与 C 重时 停止移动 平移中 EF 与 BC 交于点 N GH 与 BC 的延长线交于点 M EH 与 DC 交于 点 P FG 与 DC 的延长线交于点 Q 设 S 表示矩形 PCMH 的面积 表示矩形 S NFQC 的面积 1 S 与相等吗 请说明理由 S 2 设 AE x 写出 S 和 x 之间的函数关系式 并求出 x 取何值时 S 有最大值 最大 值是多少 3 如图 11 连结 BE 当 AE 为何值时 是等腰三角形 ABE 练习 1 07 年河池市 如图 12 四边形 OABC 为直角梯形 A 4 0 B 3 4 C 0 4 点从出发以每秒 2 个单位长度的速度向运动 点从同时出发 MOANB 以每秒 1 个单位长度的速度向运动 其中一个动点到达终点时 另一个动点也随之停止C 运动 过点作垂直轴于点 连结 AC 交 NP 于 Q 连结 MQ NNPxP 1 点 填 M 或 N 能到达终点 2 求 AQM 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式 并写出自变量 t 的取值范围 当 t 为何值时 S 的值最大 3 是否存在点 M 使得 AQM 为直角三角形 若存在 求出点 M 的坐标 若不存 x N M Q P H G F E D C B A 图 11 Q P N M H G F E D C B A 图 10 图 12 y xP Q BCN MOA 在 说明理由 练习 2 江西省江西省 25 实验与探究 1 在图 1 2 3 中 给出平行四边形的顶点的坐标 如图所示 写ABCDABD 出图 1 2 3 中的顶点的坐标 它们分别是 C 5 2 y C A 4 0 D 12 B O x 图 1 y C A 0 D e B cd O x 图 2 y C A ab D eb B cd O x 图 3 2 在图 4 中 给出平行四边形的顶点的坐标 如图所示 求出顶点ABCDABD 的坐标 点坐标用含的代数式表示 CCabcdef y C A ab D ef B c d O x 图 4 归纳与发现 3 通过对图 1 2 3 4 的观察和顶点的坐标的探究 你会发现 无论平行四边形C 处于直角坐标系中哪个位置 当其顶点坐标为ABCD 如图 4 时 则四个顶点的横坐标 A abB cdC mnD ef 之间的等量关系为 纵坐标之间的等量关系为 acme bdnf 不必证明 运用与推广 4 在同一直角坐标系中有抛物线和三个点 2 53 yxcxc 其中 问当为何值时 该抛物线上存 1519 2222 GccScc 2 0 Hc 0c c 在点 使得以为顶点的四边形是平行四边形 并求出所有符合条件的PGSHP 点坐标 P 7 2 x B 0 4 A 6 0 E F x y O 答案 一 二次函数与四边形的形状二次函数与四边形的形状 例 1 解 1 令 y 0 解得或 1 1x 2 3x A 1 0 B 3 0 将 C 点的横坐标 x 2 代入得 y 3 C 2 3 2 23yxx 直线 AC 的函数解析式是 y x 1 2 设 P 点的横坐标为 x 1 x 2 则 P E 的坐标分别为 P x x 1 E 2 23 x xx P 点在 E 点的上方 PE 22 1 23 2xxxxx 当时 PE 的最大值 1 2 x 9 4 3 存在 4 个这样的点 F 分别是 1234 1 0 3 0 47 0 47 0 FFFF 练习 1 解 1 由抛物线的对称轴是 可设解析式为 7 2 x 2 7 2 ya xk 把 A B 两点坐标代入上式 得 解之 得 2 2 7 6 0 2 7 0 4 2 ak ak 225 36 ak 故抛物线解析式为 顶点为 2 2725 326 yx 725 26 2 点在抛物线上 位于第四象限 且坐标适 E x y 合 2 2725 326 yx y0 y 表示点 E 到 OA 的距离 OA 是的对角线 OEAFA 2 17 2264 25 22 OAE SSOA yy A 因为抛物线与轴的两个交点是 1 0 的 6 0 所以 自变量的xx 取值范围是 1 6 x 根据题意 当 S 24 时 即 2 7 4 2524 2 x 化简 得 解之 得 2 71 24 x 12 3 4 xx 故所求的点 E 有两个 分别为 E1 3 4 E2 4 4 点 E1 3 4 满足 OE AE 所以是菱形 OEAFA 点 E2 4 4 不满足 OE AE 所以不是菱形 OEAFA 当 OA EF 且 OA EF 时 是正方形 此时点 E 的OEAFA 坐标只能是 3 3 而坐标为 3 3 的点不在抛物线上 故不存在这样的点 E 使为正方形 OEAFA 练习练习 2 解 解 1 由题意知点的坐标为 C 34 设的函数关系式为 2 l 2 3 4ya x 又点在抛物线上 10 A 2 3 4ya x 解得 2 1 3 40a 1a 抛物线的函数关系式为 或 2 l 2 3 4yx 2 65yxx 2 与始终关于轴对称 P P x 与轴平行 PP y 设点的横坐标为 则其纵坐标为 Pm 2 65mm 即 4OD 2 2654mm 2 652mm 当时 解得 2 652mm 36m 当时 解得 2 652mm 32m 当点运动到或或或时 P 36 2 36 2 322 322 以点为顶点的四边形是平行四边形 P POD DOP P 3 满足条件的点不存在 理由如下 若存在满足条件的点在上 则MM 2 l 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 54321 A E B C 1 O 2 l 1 l x y 5 4 3 2 1 1 2 3 D 5 5 4321 A C E M B C 1 O 2 l 1 l x y 或 90AMB 30BAM 30ABM 11 42 22 BMAB 过点作于点 可MMEAB E得 30BMEBAM 11 21 22 EBBM 3EM 4OE 点的坐标为 M 43 但是 当时 4x 2 46 451624533y 不存在这样的点构成满足条件的直角三角形 M 练习 3 解 1 点 点 点关于原点的对称点分别为 4 0 A 2 0 B 0 8 E 4 0 D 2 0 C 08 F 设抛物线的解析式是 2 C 2 0 yaxbxc a 则 1640 420 8 abc abc c 解得 1 6 8 a b c 所以所求抛物线的解析式 是 2 68yxx 2 由 1 可计算得 点 31 31 MN 过点作 垂足为 NNHAD H 当运动到时刻 时 t282ADODt 12NHt 根据中心对称的性质 所以四边形是平行四边形 OAODOMON MDNA 所以 2 ADN SS 所以 四边形的面积 MDNA 2 82 12 4148Stttt 因为运动至点与点重合为止 据题意可知 AD04t 所以 所求关系式是 的取值范围是 2 4148Stt t04t 3 781 4 44 St 04t 所以时 有最大值 7 4 t S 81 4 提示 也可用顶点坐标公式来求 4 在运动过程中四边形能形成矩形 MDNA 由 2 知四边形是平行四边形 对角线是 所以当时四边MDNAADMN ADMN 形是矩形 MDNA 所以 所以 ODON 2222 ODONOHNH 所以 解之得 舍 22 420tt 12 6262tt 所以在运动过程中四边形可以形成矩形 此时 MDNA62t 点评 本题以二次函数为背景 结合动态问题 存在性问题 最值问题 是一道较传统的压轴 题 能力要求较高 二 二次函数与四边形的面积二次函数与四边形的面积 例例 1 1 解 解 1 解法一 设 0 2 acbxaxy 任取 x y 的三组值代入 求出解析式 2 1 4 2 yxx 令 y 0 求出 令 x 0 得 y 4 12 4 2xx A B C 三点的坐标分别是 A 2 0 B 4 0 C 0 4 解法二 由抛物线 P 过点 1 3 可知 5 2 5 2 抛物线 P 的对称轴方程为 x 1 又 抛物线 P 过 2 0 2 4 则由抛物线的对称性可知 点 A B C 的坐标分别为 A 2 0 B 4 0 C 0 4 2 由题意 而 AO 2 OC 4 AD 2 m 故 DG 4 2m ADDG AOOC 又 EF DG 得 BE 4 2m DE 3m BEEF BOOC DG DE 4 2m 3m 12m 6m2 0 m 2 DEFG s 注 也可通过解 Rt BOC 及 Rt AOC 或依据 BOC 是等腰直角三角形建立 关系求解 3 SDEFG 12m 6m2 0 m 2 m 1 时 矩形的面积最大 且最大面积 是 6 当矩形面积最大时 其顶点为 D 1 0 G 1 2 F 2 2 E 2 0 设直线 DF 的解析式为 y kx b 易知 k b 2 3 2 3 22 33 yx 又可求得抛物线 P 的解析式为 2 1 4 2 yxx 令 可求出 设射线 DF 与抛物线 P 相交于点 N 22 33 x 2 1 4 2 xx 3 611 x 则 N 的横坐标为 过 N 作 x 轴的垂线交 x 轴于 H 有 161 3 FNHE DFDE 161 2 3 3 561 9 点 M 不在抛物线 P 上 即点 M 不与 N 重合时 此时 k 的取值范围是 k 且 k 0 561 9 说明 若以上两条件错漏一个 本步不得分 若选择另一问题 2 错误 嵌入对象无效 错误 嵌入对象无效 而 AD 1 AO 2 OC 4 则 DG 2 又 而 AB 6 CP 2 OC 4 则 FG 3 FGCP ABOC DG FG 6 DEFG s 练习 1 解 利用中心对称性质 画出梯形OABC 1 分 A B C三点与M N H分别关于点O中心对称 A 0 4 B 6 4 C 8 0 3 分 写错一个点的坐标扣 1 分 2 设过A B C三点的抛物线关系式为 抛物线过点A 0 4 则抛物线关系式为 4 分 将B 6 4 C 8 0 两点坐标代入关系式 得 5AB 垂足为 G 则 sin FEG sin CAB 分 解得 6 分 所求抛物线关系式为 7 分 3 OA 4 OC 8 AF 4 m OE 8 m 8 分 OA AB OC AF AGOE OFCE OA 0 4 10 分 当时 S的取最小值 又 0 m 4 不存在m值 使S的取得最小值 12 分 4 当时 GB GF 当时 BE BG 14 分 练习 3 解 1 当时 01x 2APx AQx 2 1 2 yAQ APx A 即 2 yx 2 当时 橡皮筋刚好触及钉子 1 2 ABCDABPQ SS 正方形四边形 22BPx AQx 2 11 2222 22 xx 4 3 x 3 当时 4 1 3 x 2AB 22PBx AQx 22 232 22 AQBPxx yABx A 即 32yx 作 为垂足 OEAB E 当时 4 2 3 x 22BPx AQx 1OE BEOPOEAQ ySS 梯形梯形 1221 11 22 xx 3 2 x 即 3 2 yx 或90180POQ 180270POQ 4 如图所示 练习 4 解 1 设 l2的解析式为 y ax2 bx c a 0 l1与 x 轴的交点为 A 2 0 C 2 0 顶点坐标是 0 4 l2与 l1关于 x 轴对称 l2过 A 2 0 C 2 0 顶点坐标是 0 4 420 420 4 abc abc c a 1 b 0 c 4 即 l2的解析式为 y x2 4 还可利用顶点式 对称性关系等方法解答 2 设点 B m n 为 l1 y x2 4 上任意一点 则 n m2 4 四边形 ABCD 是平行四边形 点 A C 关于原点 O 对称 B D 关于原点 O 对称 点 D 的坐标为 D m n 由 式可知 n m2 4 m 2 4 即点 D 的坐标满足 y x2 4 3 2 1 O 12x y 4 3 点 D 在 l2上 3 ABCD 能为矩形 过点 B 作 BH x 轴于 H 由点 B 在 l1 y x2 4 上 可设点 B 的坐标为 x0 x02 4 则 OH x0 BH x02 4 易知 当且仅当 BO AO 2 时 ABCD 为矩形 在 Rt OBH 中 由勾股定理得 x0 2 x02 4 2 22 x02 4 x02 3 0 x0 2 舍去 x0 3 所以 当点 B 坐标为 B 1 或 B 1 时 ABCD 为矩形 33 此时 点 D 的坐标分别是 D 1 D 1 33 因此 符合条件的矩形有且只有 2 个 即矩形 ABCD 和矩形 AB CD 设直线 AB 与 y 轴交于 E 显然 AOE AHB EO AO BH AH 1 223 EO EO 4 2 3 由该图形的对称性知矩形 ABCD 与矩形 AB CD 重合部分是菱形 其面积为 S 2S ACE 2 AC EO 2 4 4 2 16 8 1 2 1 233 三 二次函数与四边形的动态探究 例 1 解 1 由已知 PB 平分 APD PE 平分 OPF 且 PD PF 重合 则 BPE 90 OPE APB 90 又 APB ABP 90 OPE PBA Rt POE Rt BPA 即 y 0 x 4 POBA OEAP 3 4 x yx 2 114 4 333 xxxx 且当 x 2 时 y 有最大值 1 3 2 由已知 PAB POE 均为等腰三角形 可得 P 1 0 E 0 1 B 4 3 设过此三点的抛物线为 y ax2 bx c 则 1 0 1643 c abc abc 1 2 3 2 1 a b c y 2 13 1 22 xx 3 由 2 知 EPB 90 即点 Q 与点 B 重合时满足条件 直线 PB 为 y x 1 与 y 轴交于点 0 1 将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E 0 1 该直线为 y x 1 由得 Q 5 6 2 1 13 1 22 yx yxx 5 6 x y 故该抛物线上存在两点 Q 4 3 5 6 满足条件 例 2 解 1 解方程 x2 10 x 16 0 得 x1 2 x2 8 1 分 点 B 在 x 轴的正半轴上 点 C 在 y 轴的正半轴上 且 OB OC 点 B 的坐标为 2 0 点 C 的坐标为 0 8 又 抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x 2 由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为 6 0 4 分 2 点 C 0 8 在抛物线 y ax2 bx c 的图象上 c 8 将 A 6 0 B 2 0 代入表达式 得 解得 所求抛物线的表达式为 y x2 x 8 7 分 3 依题意 AE m 则 BE 8 m OA 6 OC 8 AC 10 EF AC BEF BAC 即 EF FG 8 m S S BCE S BFE 8 m 8 8 m 8 m 8 m 8 8 m 8 m m m2 4m 10 分 自变量 m 的取值范围是 0 m 8 11 分 4 存在 理由 S m2 4m m 4 2 8 且 0 当 m 4 时 S 有最大值 S 最大值 8 12 分 m 4 点 E 的坐标为 2 0 BCE 为等腰三角形 14 分 以上答案仅供参考 如有其它做法 可参照给分 例 3 解 1 相等 理由是 因为四边形 ABCD EFGH 是矩形 所以 EGHEGFECNECPCGQCGM SSSSSS 所以 即 EGHECPCGMEGFECNCGQ SSSSSS S S 2 AB 3 BC 4 AC 5 设 AE x 则 EC 5 x 34 5 55 PCxMCx 所以 即 12 5 25 SPC MCxx A 2 1212 05 255 Sxxx 配方得 所以当时 2 125 3 252 Sx 5 2 x S 有最大值 3 3 当 AE AB 3 或 AE BE 或 AE 3 6 时 是等腰三角形 5 2 ABE 练习 1 解 1 点 M 1 分 2 经过 t 秒时 NBt 2OMt 则 3CNt 42AMt BCA MAQ 45 3QNCNt 1 PQt 11 42 1 22 AMQ SAM PQtt A 2 2tt 2 2 19 2 24 Sttt 当时 S 的值最大 02t 1 2 t 3 存在 设经过 t 秒时 NB t OM 2t 则 3CNt 42AMt BCA MAQ 45 若 则是等腰 Rt 底边上的高90AQM PQMQAMA 是底边的中线 PQMA 1 2 PQAPMA 1 1 42 2 tt 1 2 t 点的坐标为 1 0 M 若 此时与重合90QMA QMQP QMQPMA 142tt 1t 点的坐标为 2 0 M