导数法求最大最小值ppt课件.ppt

函数的最大值与最小值 1 一 复习与引入 1 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 如果在x0附近的左侧右侧 那么 f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧右侧 那么 f x0 是极小值 2 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充分条件 极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到 3 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值 2 二 新课 函数的最值 观察右边一个定义在区间 a b 上的函数y f x 的图象 发现图中 是极小值 是极大值 在区间上的函数的最大值是 最小值是 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下 怎样才能判断出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 求y f x 在 a b 内的极值 极大值与极小值 将函数y f x 的各极值与f a f b 作比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 求函数的最值时 应注意以下几点 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 2 闭区间 a b 上的连续函数一定有最值 开区间 a b 内的可导函数不一定有最值 但若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 4 3 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有极值 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 最小值 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则一定是极大值 或极小值 4 如果函数不在闭区间 a b 上可导 则在确定函数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值 5 在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 这样的函数称为单峰函数 那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值进行比较 5 三 例题选讲 例1 求函数y x4 2x2 5在区间 2 2 上的最大值与最小值 解 令 解得x 1 0 1 当x变化时 的变化情况如下表 从上表可知 最大值是13 最小值是4 6 例2 求函数在区间 1 3 上的最大值与最小值 解 令 得 相应的函数值为 又f x 在区间端点的函数值为 f 1 6 f 3 0 比较得 f x 在点处取得最大值在点处取得最小值 7 延伸1 设 函数的最大值为1 最小值为 求常数a b 解 令得x 0或a 当x变化时 f x 的变化情况如下表 由表知 当x 0时 f x 取得极大值b 而f 0 f a f 0 f 1 f 1 f 1 故需比较f 1 与f 0 的大小 f 0 f 1 3a 2 1 0 所以f x 的最大值为f 0 b 故b 1 8 又f 1 f a a 1 2 a 2 2 0 所以f x 的最小值为f 1 1 3a 2 b 3a 2 所以 延伸2 设p 1 0 x 1 求函数f x xp 1 x p的值域 说明 由于f x 在 0 1 上连续可导 必有最大值与最小值 因此求函数f x 的值域 可转化为求最值 解 令 则得xp 1 1 x p 1 即x 1 x x 1 2 而f 0 f 1 1 因为p 1 故1 1 2p 1 所以f x 的最小值为 最大值为1 从而函数f x 的值域为 9 练习2 求函数f x p2x2 1 x p p是正数 在 0 1 上的最大值 解 令 解得 在 0 1 上 有f 0 0 f 1 0 故所求最大值是 练习1 求函数f x 2x3 3x2 12x 14在区间 3 4 上的最大值和最小值 答案 最大值为f 4 142 最小值为f 1 7 10 四 应用 1 实际问题中的应用 在日常生活 生产和科研中 常常会遇到求函数的最大 小 值的问题 建立目标函数 然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路 在建立目标函数时 一定要注意确定函数的定义域 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形 如果函数在这个点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 这里所说的也适用于开区间或无穷区间 满足上述情况的函数我们称之为 单峰函数 11 例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的方底箱子 箱底边长为多少时 箱子的容积最大 最大容积是多少 解 设箱底边长为x 则箱高h 60 x 2 箱子容积V x x2h 60 x2 x3 2 0 x 60 令 解得x 0 舍去 x 40 且V 40 16000 由题意可知 当x过小 接近0 或过大 接近60 时 箱子的容积很小 因此 16000是最大值 答 当x 40cm时 箱子容积最大 最大容积是16000cm3 12 类题 圆柱形金属饮料罐的容积一定时 它的高与底半径应怎样选取 才能使所用的材料最省 解 设圆柱的高为h 底半径为r 则表面积S 2 rh 2 r2 由V r2h 得 则 令 解得 从而 即h 2r 由于S r 只有一个极值 所以它是最小值 答 当罐的高与底半径相等时 所用的材料最省 13 解 设DA xkm 那么DB 100 x km CD km 又设铁路上每吨千米的运费为3t元 则公路上每吨千米的运费为5t元 这样 每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为 14 令 在的范围内有唯一解x 15 所以 当x 15 km 即D点选在距A点15千米时 总运费最省 注 可以进一步讨论 当AB的距离大于15千米时 要找的最优点总在距A点15千米的D点处 当AB之间的距离不超过15千米时 所选D点与B点重合 练习 已知圆锥的底面半径为R 高为H 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h 答 设圆柱底面半径为r 可得r R H h H 易得当h H 3时 圆柱体的体积最大 2 与数学中其它分支的结合与应用 15 解 设B x 0 0 x 2 则A x 4x x2 从而 AB 4x x2 BC 2 2 x 故矩形ABCD的面积为 S x AB BC 2x3 12x2 16x 0 x 2 令 得 所以当时 因此当点B为时 矩形的最大面积是 16 例2 已知x y为正实数 且x2 2x 4y2 0 求xy的最大值 解 由x2 2x 4y2 0得 x 1 2 4y2 1 设 由x y为正实数得 设 令 得又 又f 0 f 0 故当时 17 例3 证明不等式 证 设 则 令 结合x 0得x 1 而01时 所以x 1是f x 的极小值点 所以当x 1时 f x 取最小值f 1 1 从而当x 0时 f x 1恒成立 即 成立 18 五 小结 1 求在 a b 上连续 a b 上可导的函数f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 求函数的最值时 应注意以下几点 1 要正确区分极值与最值这两个概念 2 在 a b 上连续 a b 上可导的函数f x 在 a b 内未必有最大值与最小值 3 一旦给出的函数在 a b 上有个别不可导点的话 不要忘记在步骤 2 中 要把这些点的函数值与各极值和f a f b