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垂径定理综合训练习题 典型例题分析 例题1 基本概念 1 下面四个命题中正确的一个是 A 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B 平分一条弧的直线垂直 于这条弧所对的弦 C 弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D 在一个圆内平分一条弧 和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2 下列命题中 正确的是 A 过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B 过弦的中点的 直线必过圆心 C 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心 D 弦的垂 线平分弦所对的弧 例题2 垂径定理 1 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后 截面如图所示 如果油的最大深度为16cm 那么油面宽度AB是 cm 2 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后 如果油面宽度是 48cm 那么油的最大深度为 cm 3 如图 已知在 中 弦 且 垂足为 于 于 1 求证 四边形是正方形 2 若 求圆心到弦和的距离 4 已知 ABC内接于 O AB AC 半径OB 5cm 圆心O到BC的 距离为3cm 求AB的长 5 如图 F是以O为圆心 BC为直径的半圆上任意一点 A是的中点 AD BC于D 求证 AD BF 例题3 度数问题 1 已知 在 中 弦 点到的距离等于的一半 求 的度数和圆的半 径 2 已知 O的半径 弦AB AC的长分别是 求的度数 例题4 相交问题 如图 已知 O的直径AB和弦CD相交于点E AE 6cm EB 2cm BED 30 求CD的长 O A B C D E 例题5 平行问题 在直径为50cm的 O中 弦AB 40cm 弦CD 48cm 且AB CD 求 AB与CD之间的距离 例题6 同心圆问题 如图 在两个同心圆中 大圆的弦AB 交小圆于C D两点 设大圆和 小圆的半径分别为 求证 1 概念题 1 下列命题中错误的有 1 弦的垂直平分线经过圆心 2 平分弦的直径垂直于弦 3 梯形的对角线互相平分 4 圆的对称轴是直径 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 2 O的直径为10 弦AB的长为8 M是弦AB上的动点 则OM的长的 取值范围是 A B C D 3 如图 如果为 直径 弦 垂足为 那么下列结论中错误的 是 A B C D 4 如图 是 直径 是 的弦 于 则图中不大于半圆的相等弧有 对 A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 二 垂径定理 1 过 O内一点P的最长弦为10cm 最短的弦为6cm 则OP的长为 2 在 中 弦长为 圆心到弦的距离为 则 半径长为 3 半径是的圆中 圆心到长的弦的距离是 4 如图 有一圆弧形桥拱 拱形的半径 桥拱的距度m 则拱高m 5 一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示 如果水管横截面的半 径是13cm 水面宽 则水管中水深是 cm 6 如图 O的直径AB 垂足为点E 若 则 A 2 B 4 C 8 D 16 7 过 O内一点M的最长的弦长为4cm 最短的弦长为2cm 则OM的长为 A cm B cm C 1 D 3cm 8 已知 如图 O中直径AB垂直于弦CD 垂足为E 若 则BE的长 是 A 1 B 2 C 3 D 4 9 已知 O的弦AB长8cm 弦心距为3cm 则 O的直径是 A 5cm B 10cm C cm D cm 10 已知 O的半径为2cm 弦AB长cm 则这条弦的中点到弦所对劣弧 的中点的距离为 A 1cm B 2cm C cm D cm 11如图 已知 的半径为 两弦与垂直相交于 若 则 A B C D 三 度数问题 1 在 中 是弦 是的中点 延长交 于 若 则的度数是 A B C D 四 相交问题 1 圆的弦与直径相交成30 角 并且分直径为6cm和4cm两部分 则弦 心距为 A B C D 五 平行问题 1 圆的两互相平行的弦长分别和 又两弦之间距离为 则圆的半径长 是 2 在半径为的圆内有两条互相平行的弦 弦长分别为 则这两条弦 之间的距离为 六 同心圆 1 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两 点 则AC的长为 A 0 5cm B 1cm C 1 5cm D 2cm 2 如图所示 在Rt ABC中 C 900 AC 3 BC 4 以点 C为圆心 CA为半径的圆与AB BC分别交于点D E 求AB和AD 的长 C A B D E 圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系 章节测试 基础练习 1 下列说法中正确的是 A 相等的圆心角所对的弧相等 B 等 弧所对的圆心角相等 C 相等的弦所对的弦心距相等 D 弦 心距相等 则弦相等 2 在半径为5cm为圆中 有一条长为6cm的弦 则圆心到此弦的距离为 A 3cm B 4cm C 5cm D 6cm 3 在两个半径不同的圆中 分别有 和 若 和 的度数相等 那么下面结论中正确的是 A B 和 所对的两个圆心角相等 C 所对的弦和 所对的弦相等 D 和 所对的弦的弦心距相等 4 下列说法 等弧的度数相等 等弧的长度相等 度数相等的 两条弧是等弧 长度相等的两条弧是等弧 其中正确的有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 5 在 O中 弦AB把 O分成度数的比为1 5的两条弧 则 的度数是 A 30 B 45 C 60 D 90 6 如图以O为圆心的两个同心圆 大圆的半径OA OB分别和小圆相交于A B 则下面正确的是 A 弦AB和弦A B 相等 B 的长度 的长度 C D 的度数 的度数 7 在 O中 弦AB所对的劣弧为圆的 圆的半径为4cm 则弦AB的长是 A cm B 2cm C cm D cm 8 如图 点O是 EPF的平分线上一点 以O为圆心的圆与角的两边分别 相交于A B和C D 角平分线PO和 O相交于G H 下列结论 AB C PB PD PA PC 其中正确的有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 9 弦AB把 O分成1 2两部分 AB 8cm 则弦AB的弦心距等于 10 直径为20cm的圆中 有一条长为cm的弦 则这条弦所对的圆心角的 度数是 这条弦的弦心距是 11 在 O中 AB是弦 OAB 50 则弦AB所对的圆心角的度数是 弦AB所对的两条弧的度数是 12 在 O中 OC是半径 弦EF过OC的中点且垂直于OC 则弦EF所对的 圆心角的度数是 弦EF的弦心距和弦EF的长的比是 13 如图 OA OB是 O的两条半径 P是 的中点 点C是OA的中点 点D是OB的中点 求证 PC PD 14 如图 AB CD是 O的直径 弦AE CD 连结CE BC 求证 BC CE 图7 36 15 如图在 ABCD中 以A为圆心 AB为半径作圆 交AD BC于 F G 延长BA交 A于E 且 B 65 求 的度数 16 弦AB把 O分成两条弧 它们的度数比为4 5 M为AB中点 则 AOM A 50 B 80 C 100 D 160 17 在 O中 AB CD是弦 OE OF是AB CD的弦心距 若AB CD 则OE OF的大小关系是 A OE OF B OE OF C OE OF D 无法确定 18 在 O中 AB和CD是两条平行弦 且AB CD所对的圆心角分别是 120 60 O的半径为6cm 则AB CD之问的距离是 19 如图 在以O为圆心的同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D AB 2CD 弦AB的弦心距OP CD 小圆和大圆半径分别为r R 则 20 如图 O的半径OP 10cm 弦AB过OP中点Q 且 OQB 45 则弦AB的弦心距是 cm 弦AB的长为 21 如图 AB是 O的直径 点E F分别是OA OB的中点 且EC AB FD AB EC FD交 O于C D两点 求证 22 如图 弦AB和CD相交于 O内一点P 且 OPB OPD 求证 1 2 PA PC 23 如图 O内接 ABC中 AB AC BAC 120 并且BC 10cm 求 O的半径OA 24 如图 在 O中 AB CD是弦 点E F是AB CD的中点 并且 1 求证 AEF CFE 2 若 EOF 120 OE 4cm 求 EF的长 图7 43 25 如图 AB是 O的直径 弦CD和AB相交于P 且 APC 45 OQ是 弦CD