3-9三角函数(文理)郭味纯10-11-1-3

36 第三章 三角函数 知识概要 一 角的概念的推广 弧度制 1 任意角 角是由射线绕端点旋转而成的 它有正角 负角与特殊的零角 2 终边相同的角 所有与角终边相同的角 连同角在内 称为终边相同的角 记为 360 SkkZ 3 象限角 把角置于直角坐标系中 使角的顶点与坐标原点重合 角的始边与轴的正半轴重合 x 那么角的终边落在第几象限 我们就说这个角是第几象限角 例如 第二象限角的集合 36090360180 SkkkZ 4 坐标轴上的角 终边在轴上的角的集合 x 180 SkkZ 终边在轴上的角的集合 y 18090 SkkZ 终边在坐标轴上的角的集合 90 SkkZ 5 角的度量 弧度制 角度制 角 弧长与圆半径长相等的弧所对的圆心角的大小称为1rad 角 1rad 弧度和角度的换算 180 rad 6 弧长和扇形面积公式 lR 211 22 Sl RR 二 任意角的三角函数 1 任意角的三角函数的定义 设点是角终边上一点 点 O 是坐标原点 P x y 那么角的正弦 余弦 正切分别是 22 rOPxy sin cos tan 0 yyx x rrx 2 三角函数值的符号 正弦 余弦 正切函数值在各象限的符号是 3 三角函数线 正弦线 余弦线 正切线 sinMP cosOM tanAT 10 01745 180rad rad 180 1 rad 57 3057 18 x y x y x y sin cos tan OOO T M P AO y x T M P A x y O T M P A x y O T M P A x y O 37 三 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1 同角三角函数的基本关系式 注意公式的变形使用 1 2 22 sincos1 sin tan cos 2 诱导公式 与角 有关的诱导公式的记忆口诀是 奇变偶 3 2 22 k 不变 符号看象限 应用诱导公式 重点是 函数名称 与 正负号 的判断 求任意角的三角函数值 的问题 都可以通过诱导公式化归为锐角三角函数的求值问题 具体步骤为 负角化正角 正角化 锐角 求值 3 在进行三角函数式的求值 化简和恒等式的证明时 细心观察题目的特征 灵活恰当地选用公 式 掌握变换的常用技巧 四 正弦函数 余弦函数 正切函数的图象与性质 以下 Zk 函数名 sinyx cosyx tanyx 图象 定义域RR 2 x xk 值域 1 1 1 1 R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 增 2 2 22 kk 2 2 kk 单 调 性减 3 2 2 22 kk 2 2 kk 增区间 22 kk 周期性2T 2T T 对称点 0 k 0 2 k 0 2 k 对称轴 2 xk xk 不存在 最大值2 2 xk max 1y 2xk max 1y 不存在 最小值2 2 xk min 1y 2xk min 1y 不存在 五 函数的图象与性质sin yAx 1 图象的作法 方法一 五点法 先找出确定图象形状起关键作用的五个点 强调 这五个点应该是使函数取得极 大值 极小值和曲线与轴相交的点 找出它们的方法是作变量代换 设 由取xXx X 来求出对应的的值 然后用光滑曲线将它们连接起来 3 0 2 22 x 方法二 图象的初等变换 O x y 2 O 2 x y O x y 38 振幅变换 函数 函数sinyx sinyAx 周期变换 函数 函数sinyx sinyx 平移变换 函数 函数sinyx sin yx 一般地 由的图象通过变换得到函数图象的两种常见方法 其步骤如下 sinyx sin yAx 0 0 A sinyx sinyx sin yx sin yAx sinyx sin yx sin yx sin yAx 2 性质 周期为 2 T 六 和 差 倍 半公式 1 两角和与差的三角函数公式 cos coscossinsinC sin sincoscossinS 纵坐标伸长 0 A 或缩短到原来的 A 倍 01 A 横坐标伸长 01 或缩短到原来的倍 1 1 向右或向左 0 0 平移个单位 横坐标伸长或 01 缩短 到原来的倍 1 1 向左或向右 0 0 平移个单位 纵坐标伸长 1A 或缩短 到原来的 A 倍01A 向左或向右 0 0 平移个单位 横坐标伸长或 01 缩短 到原来的倍 1 1 纵坐标伸长 1A 或缩短 到原来的 A 倍01A 39 tantan tan 1tantan T 2 二倍角公式 2 sin22sincosS 2222 2 cos2cossin2cos112sinC 2 2 2tan tan2 1tan T a 3 降幂公式 221cos21cos2 sin cos 22 七 正弦定理 余弦定理 1 正弦定理 R 是三角形外接圆的半径 2 sinsinsin abc R ABC 2 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 3 三角形面积公式 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 2 3 4 Sa 正 4 222 90abcA 222 90abcA 222 90abcA 3 1 任意角的三角函数 复习目标 1 了解任意角的概念 2 理解任意角三角函数 正弦 余弦 正切 的定义 3 了解弧度制的概念 能进行弧度与角度的互化 4 能正确在单位圆内画出角的三角函数线 并用三角函数线求角的范围 基础练习 1 已知 那么角 costan0 A 第一或第二象限角 B 第二或第三象限角 C 第三或第四象限角 D 第四或第一象限角 2 下列命题是真命题的是 40 A 三角形的内角必是一 二象限内的角 B 第一象限的角必是锐角 C 不相等的角终边一定不同 D 36090 kk Z 18090 kk Z 3 把 1485 转化为 k 360 0 360 k Z 的形式是 A 45 4 360 B 45 4 360 C 45 5 360 D 315 5 360 4 若角的终边经过点 P 1 2 则的值为 tan2 5 若 则 cos sin 例题精选 例 1 已知角是第二象限角 求 1 角是第几象限的角 2 角终边的位置 2 2 例 2 利用三角函数线 写出满足下列条件的角 x 的集合 画出对应图象 且 2 sin 2 x 1 cos 2 x tan1x 1 sin 2 x 1 cos 2 x 例 3 已知扇形的中心角是 所在圆的半径是 R 1 若 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 60 10Rcm 2 若扇形的周长是一定值 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 0 C C 41 例 4 如图 3 1 1 在平面直角坐标系中 以轴为始边做两个锐角 它们的终边分别与单位圆xoyox 相交于 A B 两点 已知 A B 的横坐标分别为 2 2 5 105 1 求的值 2 求的值 tan 2 3 2 同角三角函数关系与诱导公式 复习目标 1 理解同角三角函数的基本关系式 22sin sincos1 tan cos x xxx x 2 能利用三角函数的基本关系式求三角函数值 3 能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦 余弦 正切的诱导公式 2 基础练习 1 是第四象限角 则的值等于 5 tan 12 sin A B C D 1 5 1 5 5 13 5 13 2 已知 A 是三角形的一个内角 则这个三角形是 2 sincos 3 AA A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 不等腰直角三角形 D 等腰直角三角形 3 若 那么等于 sin sin3fxx cos fx A B C D cos3x cos3xsin3xsin3x 4 若 则 tana sin5cos 3 5 如果 且是第四象限的角 那么 1 cos 5 cos 2 例题精选 例 1 已知 求 的值 sin 2 2 3sincos1 0 cos x y O A B 图 3 1 1 42 43 例 2 已知函数 12sin 2 4 cos x f x x 1 求的定义域 2 设是第四象限的角 且 求的值 f x 4 tan 3 f 例 3 已知 0 2 x 1 sincos 5 xx 1 求和的值 2 求的值 sin2xcossinxx 2 sin22sin 1 tan xx x 例 4 化简 1 2 2 1 cos cos1 x x a axx xaxa 01a 2 x 66 44 1sincos 1sincos 44 3 3 三角函数的图象 复习目标 1 能画出的图象 了解三角函数的周期性 sin cos tanyx yx yx 2 能用 五点法 画出的图象 sin yAx 3 理解正弦函数 余弦函数在区间的性质 0 2 基础练习 1 在同一平面直角坐标系中 函数的图像和直线的交点个数是 3 cos 0 2 22 x f xx 1 2 y A 0 B 1 C 2 D 4 2 在函数 中 最小正周期为的函数sin yx sin yx sin 2 3 yx 2 cos 2 3 yx 的个数为 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 3 函数在区间 内的图象大致是 tansin tansin yxxxx 2 3 2 A B C D 4 如果直线与函数有且只有一个交点 则 ym sin 0 2yx x m 如果直线与函数有且只有两个交点 则的取值范围为 ym sin 0 2yx x m 5 函数的定义域是 sin 1cos x y x 例题精选 例 1 已知函数 其中 1 求函数的最小正周期 sin2cos 2 6 f xxx xR f x 2 在如图 3 3 1 所示的坐标系中画出函数在区间上的图象 yf x 0 1 2 x y 1 1 2 1 6 3 2 2 3 5 6 0 图 3 3 1 45 例 2 设函数 2 2cos3sin2f xxxm 1 若时 有最大值 2 求实数 m 的值 xR f x 2 当时 恒成立 求实数 m 的取值范围 0 6 x 2 2f x 例 3 设函数图象的一条对称轴是直线 sin 20 f xxyf x 8 x 1 求 2 求函数的单调递增区间 3 画出函数在区间 0 上的图象 yf x yf x 例 4 若有最大值 9 和最小值 6 求实数的值 2 cos2 sinyxpxq p q 46 3 4 三角函数的性质 1 复习目标 1 理解三角函数图象的性质 如 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性 2 能根据三角函数的性质求函数的周期 单调区间 对称中心的坐标 对称轴的方程 最值 判 断奇偶性等 基础练习 1 在下列各区间上 函数的单调递增区间是 sin 4 yx A B C D 2 0 4 0 4 2 2 定义行列式运算 将函数的图象向左平移 个单位 所得图 12 34 aa aa 1423 a aa a 3 sin 1cos x f x x n0n 象对应的函数为偶函数 则的最小值为 n A B C D 6 3 5 6 2 3 3 函数的最小正周期和最大值分别是 sin 2 cos 2 63 yxx A B C D 1 2 2 1 2 2 4 函数的最小正周期 2 2sin1yx T 5 已知 若 则 sin1f xaxbx 5 7f 5 f 例题精选 例 1 已知函数的图象经过点 sincosf xaxbx 0 1 32 1 求实数 a 和 b 的值 2 当 x 为何值时 取最大值 f x 47 例 2 已知向量 设 cossin sin axxx cos2 sin cosxxxb f xa b 1 求函数的最小正周期 对称点坐标及其对称轴方程 2 求的单调减区间 f x xf 3 当时 求函数的最大值及最小值 4 4 x f x 例 3 已知函数 2sin 2cos 62 f xxx x 1 若 求函数的值 2 求函数的值域 4 sin 5 x f x f x 例 4 已知函数 2 2sin 3cos2 442 f xxxx 1 求的最大值和最小值 f x 2 若不等式在上恒成立 求实数 m 的取值范围 2f xm 42 x 48 3 5 三角函数的性质 2 复习目标 1 了解函数的物理意义 sin yAx 2 能求出的解析式 sin yAx 3 了解参数对函数图象变化的影响 A 基础练习 1 给出函数的图象的一段 如图 3 5 1 所示 则的表达式为 3sin 0 2 f xx f x A B 10 3sin 116 yx 10 3sin 116 yx C D 3sin 2 6 yx 3sin 2 6 yx 2 如果函数的图象关于直线对称 sin2cos2yxax 8 x 那么 a 等于 A B C 1 D 122 3 在 0 2 内 使成立的 x 取值范围为 sincosxx A B C D 5 4 24 4 5 44 53 442 4 函数的一条对称轴方程为 则直线的倾斜角为 sincosyax bx 4 x 0ax byc 5 设函数 若是偶函数 则 t 的一个可能值是 sin2f xx f xt 例题精选 例 1 已知函数最大值是 2 最小正周期是 直线是其图sin 0 0 0 yAxA 2 3 x 象的一条对称轴 求此函数的解析式 3 2 f 3 O 3 x y 3 11 12 f 3 图 3 5 1 49 例 2 某港口水位的深度 y 米是时间 单位 时间 的图象 记作 下面是某日水深的数据 024tt yf t 小时 t03691215182124 米 y 10 013 010 07 010 013 010 07 010 0 经过长期的观察 的图象可近似地看成函数的图象 yf t sin yAtb 1 试根据以上数据 求出函数的近似表达式 yf t 2 在一般情况下 船舶航行时 船底离海底距离为 5 米或 5 米以上被认为是安全的 船舶停靠时 船底只需不 碰海底即可 某船吃水深度 船底离水面的距离 为 6 5 米 如果该船希望在同一天内安全进出港 请问 它 在港内至多停留多长时间 忽略进出港所需的时间 例 3 已知函数 1 当是函数图象的一个对称点的横坐标 求 值 22 cos2 sin cossinf xxtxxx 8 x t 2 如果函数在区间上是单调函数 求 的取值范围 f x 6 3 t 例 4 已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称 当时 函 3 yf x 6 x 2 63 x 数 其图象如图 3 5 2 所示 sin 0 0 22 f xAxA 1 求函数在的表达式 2 求方程的解 xfy 2 3 2 2 f x 1 y 6 x A A O x 2 3 6 图 3 5 2 50 3 6 三角恒等变换 1 复习目标 1 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦 正切公式 3 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦 余弦 正切公式 导出二倍角的正弦 余弦 正 切公式 了解它们的内在联系 基础练习 1 的值是 55 cos3sin 1212 A 0B C D 2 2 2 2 已知均为锐角 则角为 111 cos cos 714 A B C D 3 4 6 12 3 若sinx cosx 2sin x 则 等于 3 A B C D 6 6 5 6 5 6 4 已知函数则的最小正周期是 sincos sin f xxxx xR f x 5 已知 且 均为锐角 则 3 cos 5 4 cos 5 sin 例题精选 例 1 已知函数的最大值是 1 其图像经过点 M sin 0 0 f xAxAxR 1 3 2 1 求函数的解析式 2 已知求的值 f x 312 0 2513 ff f 51 例 2 已知 1 求的值 2 求的值 tan2 tan 4 cos2 例 3 已知函数 2sin coscos2f xxxx 1 求的值 2 设 求的值 4 f 0 2 22 f sina 例 4 已知向量 记 1 tan 1 ax 1 sin2cos2 0 bxx f xa b 1 求的解析式并指出它的定义域 2 若 且 求 f x 2 85 f 0 2 f 52 3 7 三角恒等变换 2 复习目标 1 能运用两角差或和的正弦 余弦 正切公式及二倍角的正弦 余弦 正切公式进行简单的恒等 变换 2 能运用上述的公式导出积化和差 和差化积 半角公式 但对这三组公式不要求记忆 基础练习 1 已知 且 则的值等于 3 cos 3 tan0 sin2 A B C D 2 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 已知 则 3 sin 45 x sin2x A B C D 8 25 7 25 16 25 8 25 3 已知函数 则是 2 1 cos2 sin f xxx xR f x A 最小正周期为的奇函数 B 最小正周期为的偶函数 C 最小正周期为的奇函数 D 最小正周期为的偶函数 2 2 4 若点 P 在直线上上 则 cos sin xy2 sin22cos2 5 40cos270tan10sin310cos20cot 例题精选 例 1 已知点 1 0 0 1 2sin cos ABC 1 若 求的值 2 若 其中 O 为坐标原点 求的值 ACBC tan 2 1OAOB OC sin2 53 例 2 已知的面积为 3 且满足 设和的夹角为 ABC 06AB AC AB AC 1 求 的取值范围 2 求函数的最大值与最小值 2 2sin 3cos2 4 f 例 3 已知 1 求的值 2 求的值 4 0 sin 25 2 2 sinsin2 coscos2 5 tan 4 例 4 已知 且 0sin1 cossincos 2 ab 3 cos 2 a b 1 求向量与的夹角 2 求的值 a b 54 3 8 解三角形 正余弦定理 复习目标 1 掌握正弦定理 余弦定理 2 能运用正弦定理 余弦定理解决一些简单的三角形度量问题 基础练习 1 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 a b c 成等比数列 且 2 coscaB A B C D 1 4 3 4 2 4 2 3 2 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 所对的边 已知 则 A 3 3 30 abc A B C D 3 6 2 3 5 6 3 若 则 ABC 为 sincoscosABC abc A 等边三角形B 等腰三角形 C 有一个内角为 30 的直角三角形 D 有一个内角为 30 的等腰三角形 4 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 则 26120cbB ABC S 5 在中 若 7 8 13 则 ABC sin AsinBsinC C 例题精选 例 1 在中 1 求的值 2 求的值 ABC 3 2 1 cos 4 ABBCC sin ABC CA 55 例 2 在 2 5 45 10 cos 5 ABCBACC 求 1 2 若点 D 是 AB 的中点 求中线 CD 的长度 BC 例 3 已知的外接圆的半径为 内角 A B C 的对边分别为 a b c ABC 2 又向量 且 sinsin mAC ba 2 sinsin sin 4 nACB mn 1 求角 C 2 求三角形 ABC 的面积 S 的最大值 例 4 在中 a b c 分别是 A B C 对边的长 且满足 ABC cos cos2 Bb Cac 1 求角 B 的值 2 若 求 a c 的值 19 5bac 56 3 9 三角应用问题 复习目标 1 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数 会用三角函数解决一些简单实际