高三数学一轮复习学案 §2.12.对数与对数函数

用心 爱心 专心 一轮复习学案学案 2 12 2 12 对数与对数函数对数与对数函数 学习目标学习目标 1 1 掌握对数函数的图象和性质 2 2 掌握对数形式的复合函数的图像 定义域 值域 单调性 奇偶性 重点 重点 对数函数的图象及性质的简单应用 基础热身基础热身 1 1 设1a 且 2 log 1 a ma log 1 a na log 2 a pa 则mnp 的大小关系为 Anmp Bmpn Cmnp Dpmn 2 2 若函数 1 0 2 log 2 aaxxxf a 在区间 2 1 0 内恒有 0f x 则 f x 的单调递增区间为 A 4 1 B 4 1 C 0 D 2 1 3 3 下列四个数中最大的是 A 2 ln2 Bln ln2 Cln2 Dln2 知识梳理知识梳理 1 1 对数函数的定义 函数 对数函数的定义 函数xy a log a a 0 0且且a a 1 1 叫做对数函数叫做对数函数 其中其中 x x 是自变是自变 量量 2 2 指数函数的图象和性质 指数函数的图象和性质 3 3 对数函数对数函数 xy a log a 0 且a 1 和和 指数函数指数函数 x ay 的互为反函数互为反函数 互为反函数互为反函数的两个函数定义域函数定义域 值域互换值域互换 互为反函数互为反函数的两个函数的图象关于直线图象关于直线 对称对称 案例分析案例分析 例例 1 1 1 设1a 函数 logaf xx 在区间 2 aa上的最大值与最小值之差为 1 2 则a A2 B2 C2 2 D 4 2 若函数log a yxb 0 1 aa 的图象过两点 1 0 和 0 1 则 A2a 2b B2a 2b C2a 1b D 2a 2b 用心 爱心 专心 例例 2 2 1 若 2 1aba 则logb b a logba logab从小到大依次为 2 若235 xyz 且x y z都是正数 则2x 3y 5z从小到大依次为 3 设0 x 且1 xx ab 0a 0b 则a与b的大小关系是 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1ba B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1ab C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头1 ba D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头1 ab 例例 3 3 已知函数 log 1 x a f xa 0a 且1a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求证 1 函数 f x的图象在y轴的一侧 2 函数 f x图象上任意两点连线的斜率都大于0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例例 4 4 已知定义域为 0 1 的函数 f x 同时满足 1 对于任意 x 0 1 总有 f x 0 2 f 1 1 3 若0 1 x 0 2 x 1 21 xx 则有 2121 xfxfxxf 试求 f 0 的值 试求函数 f x 的最大值 试证明 满足上述条件的函数 f x 对一切实数 x 都有 f x 2x 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 用心 爱心 专心 参考答案参考答案 基础热身 1 D 2 D 3 D 例例 1 1 1 D 1 D 2 A 2 A 例例 2 2 解 1 由 2 1aba 得 b a a 故logb b a logba1 logab 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 令235 xyz t 则1t lg lg2 t x lg lg3 t y lg lg5 t z 2lg3lglg lg9lg8 230 lg2lg3lg2 lg3 ttt xy 23xy 同理可得 250 xz 25xz 325yxz 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 取1x 知选B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例例 3 3证明 1 由10 x a 得 1 x a 当1a 时 0 x 即函数 f x的定义域为 0 此时函数 f x的图象在y轴的右侧 当01a 时 0 x 即函数 f x的定义域为 0 此时函数 f x的图象在y轴的左侧 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 函数 f x的图象在y轴的一侧 2 设 11 A x y 22 B xy是函数 f x图象上任意两点 且 12 xx 则直线AB的斜率 12 12 yy k xx 1 12 2 12 1 log 1 log 1 log 1 x xx aaa x a yyaa a 当1a 时 由 1 知 12 0 xx 12 1 xx aa 12 011 xx aa 1 2 1 01 1 x x a a 12 0yy 又 12 0 xx 0k 当01a 时 由 1 知 12 0 xx 12 1 xx aa 12 110 xx aa 1 2 1 1 1 x x a a 12 0yy 又 12 0 xx 0k 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 函数 f x图象上任意两点连线的斜率都大于0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 用心 爱心 专心 例例 4 4 I 令0 21 xx 依条件 3 可得 f 0 0 f 0 f 0 即 f 0 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 又由条件 1 得 f 0 0 则 f 0 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 任取10 21 xx 可知 1 0 12 xx 则 1121122 xfxxfxxxfxf 即0 1212 xxfxfxf 故 12 xfxf 于是当 0 x 1 时 有 f x f 1 1 因此 当 x 1 时 f x 有最大值为 1 证明 研究 当 1 2 1 x时 f x 1 2x 当 2 1 0 x时 首先 f 2x f x f x 2f x 2 2 1 xfxf 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 显然 当 2 1 2 1 2 x时 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 fffxf成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 假设当 2 1 2 1 1kk x 时 有 k xf 2 1 成立 其中 k 1 2 那么当 2 1 2 1 12 kk x时 111 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 kkkkk fffxf 可知对于 2 1 2 1 1nn x 总有 n xf 2 1 其中 n 1 2 而对于任意 2 1 0 x 存在正整数 n 使得 2 1 2 1 1nn x 此时xxf n 2 2 1 当 x 0 时 f 0 0 2x 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头