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对反证法证题思想的进一步反思 前几天远程教育学习过程中 学习了北京师范大学肖川主任的 教育的方向和方法 肖川老师说很多人不会思考 只是结合自 己看到或遇到事情谈一点体会 对此我深受启发 我结合自己的教 学实际 对反证法证题思想进一步反思 谈一点体会 一 反证法证题三部曲 第一步 否定结论 就是假设结论不成立 即结论的反面成立 第二部 得到矛盾 通过正确推理论证 得出矛盾结果 矛盾结果 一般有如下几种 1 与公里或定理矛盾 2 与某些性质矛盾 3 与题设矛盾 4 自相矛盾等 第三步 肯定结论 从矛盾结果分析 推理过程没有问题 问题在 于否定结论上 即否定结论是错误的 从而原结论就是正确的 二 反证法证题的思想基础 1 发散思维 反证法本身就属于间接证法 他与正常的直接证法的思维方式是 不同的 2 等价转化思想 直接证法是由因导果 分析法是由果索因 反证法则主要是利用原命题与逆否命题之间的等价关系来实现 原命题 若 A 则 B A 为题设 B 为结论 逆否命题 若非 B 则非 A 非 B 是对结论 B 的否定 推得的非 A 则同题设 A 矛盾 3 否定之否定原理 否定结论 否定否定结论 肯定结论 三 反证法证题的两大优势 1 增加了新的题设条件 这个新的题设设条件就是由否定结论所产 生的 结论不成立 结论的反面必然成立 有利于推理论证的顺利 实施 2 为推理结论提供了新的平台 创设了必须的条件 四 反证结论题所运用的题型特点 1 题目中有 用反证法证明 等相关要求的题型 2 直接证法很困难的证题 见例 2 3 直接证法很难入手的证题 见例 1 5 反证结论题经典再现 例 1 证明 3 是无理数 假设 3不是无理数 则 3一定是有理数 故可设 3 n m m n 为整数 且 m n 互质 两边平方得 n 3m n 是 3 的倍数 则 n 必是 3 的倍数 设 n 3p 得到 m 3p 得到 m 也是 3 的倍数 故 m n 都是 3 的倍数与 m n 互质相矛盾 所以 3是无理数 例 2 两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么两条直 线平行 已知直线 AB CD 被直线 EF 所截 EMB END 求证 AB CD 证明 反证法 假设 AB 不平行 CD 则过点 M 作 GH CD 得到 EMH END 由 EMB END 得到 EMB EMH 得到 AB 与 GH 重合 得到 AB GH CD 与过直线外一点有且只有一条直线 固已知直线平行相矛盾 故 AB CD 反
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