（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编 四边形综合

四边形综合四边形综合 1 2013 湘西州 下列说法中 正确的是 A 同位角相等 B 对角线相等的四边形是平行四边形 C 四条边相等的四边形是菱形 D 矩形的对角线一定互相垂直 考点 菱形的判定 同位角 内错角 同旁内角 平行四边形的判定 矩形的性 质 3718684 分析 根据平行线的性质判断 A 即可 根据平行四边形的判定判断 B 即可 根据菱形的判 定判断 C 即可 根据矩形的性质判断 D 即可 解答 解 A 如果两直线平行 同位角才相等 故本选项错误 B 对角线互相平分的四边形是平行四边形 故本选项错误 C 四边相等的四边形是菱形 故本选项正确 D 矩形的对角线互相平分且相等 不一定垂直 故本选项错误 故选 C 点评 本题考查了平行线的性质 平行四边形 菱形的判定 矩形的性质的应用 主要考 查学生的理解能力和辨析能力 2 2013 陕西 如图 四边形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O 且 BD 平分 AC 若 BD 8 AC 6 BOC 120 则四边形 ABCD 的面积为 结果保留根号 考点 三角形面积的求法及特殊角的应用 考点 三角形面积的求法及特殊角的应用 解析 解析 BDBD 平分平分 ACAC 所以 所以 OA OC 3OA OC 3 因为 因为 BOC 120 BOC 120 所以所以 DOC A0B 60 DOC A0B 60 过 过 C C 作作 CH BDCH BD 于于 H H 过过 A A 作作 AG BDAG BD 于于 G G 在 在 CHO CHO 中 中 C0H 60 C0H 60 OC 3OC 3 所以 所以 CH CH 3 2 3 同理 同理 AG AG 3 2 3 所以四边形所以四边形 ABCDABCD 的面积的面积 3123 2 3 8 CBDABD SS 3 2013 河南省 如图 在等边三角形ABC中 6BCcm 射线AGBC 点E从点 A出发沿射线AG以1 cm s的速度运动 同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm s的速 度运动 设运动时间为 t s 1 连接EF 当EF经过AC边的中点D时 求证 ADECDF AA 证明 AGBC EADACB D是AC边的中点 A B D C O H G 第 14 题图 文并茂 ADCD 又 ADECDF ADECDF AA 2 填空 当为 s 时 四边形ACFE是菱形 当为 s 时 以 A F C E为顶点的四边形是直角梯形 解析 当四边形ACFE是菱形时 AEACCFEF 由题意可知 26AEt CFt 6t 若四边形ACFE是直角梯形 此时EFAG 过C作CMAG 于 M 3AG 可以得到AECFAM 即 26 3tt 3t 此时 CF与重合 不符合题意 舍去 若四边形若四边形AFCE是直角梯形 此时AFBC ABC 是等边三角形 F 是 BC 中点 23t 得到 3 2 t 经检验 符合题意 答案 6t 3 2 t 4 2013 德州 1 如图 1 已知 ABC 以 AB AC 为边向 ABC 外作等边 ABD 和等边 ACE 连接 BE CD 请你完成图形 并证明 BE CD 尺规作图 不写做法 保留作图 痕迹 2 如图 2 已知 ABC 以 AB AC 为边向外作正方形 ABFD 和正方形 ACGE 连接 BE CD BE 与 CD 有什么数量关系 简单说明理由 3 运用 1 2 解答中所积累的经验和知识 完成下题 如图 3 要测量池塘两岸相对的两点 B E 的距离 已经测得 ABC 45 CAE 90 AB BC 100 米 AC AE 求 BE 的长 考点 四边形综合题 专题 计算题 分析 1 分别以 A B 为圆心 AB 长为半径画弧 两弧交于点 D 连接 AD BD 同理连 接 AE CE 如图所示 由三角形 ABD 与三角形 ACE 都是等边三角形 得到三对边相 等 两个角相等 都为 60 度 利用等式的性质得到夹角相等 利用 SAS 得到三角形 ABD 与三角形 ACE 全等 利用全等三角形的对应边相等即可得证 2 BE CD 理由与 1 同理 3 根据 1 2 的经验 过 A 作等腰直角三角形 ABD 连接 CD 由 AB AD 100 利用勾股定理求出 BD 的长 由题意得到三角形 DBC 为直角三角形 利 用勾股定理求出 CD 的长 即为 BE 的长 解答 解 1 完成图形 如图所示 证明 ABD 和 ACE 都是等边三角形 AD AB AC AE BAD CAE 60 BAD BAC CAE BAC 即 CAD EAB 在 CAD 和 EAB 中 CAD EAB SAS BE CD 2 BE CD 理由同 1 四边形 ABFD 和 ACGE 均为正方形 AD AB AC AE BAD CAE 90 CAD EAB 在 CAD 和 EAB 中 CAD EAB SAS BE CD 3 由 1 2 的解题经验可知 过 A 作等腰直角三角形 ABD BAD 90 则 AD AB 100 米 ABD 45 BD 100米 连接 CD 则由 2 可得 BE CD ABC 45 DBC 90 在 Rt DBC 中 BC 100 米 BD 100米 根据勾股定理得 CD 100米 则 BE CD 100米 点评 此题考查了四边形综合题 涉及的知识有 全等三角形的判定与性质 等边三角形 等腰直角三角形 以及正方形的性质 勾股定理 熟练掌握全等三角形的判定与性 质是解本题的关键 5 2013 绍兴 若一个矩形的一边是另一边的两倍 则称这个矩形为方形 如图 1 矩形 ABCD 中 BC 2AB 则称 ABCD 为方形 1 设 a b 是方形的一组邻边长 写出 a b 的值 一组即可 2 在 ABC 中 将 AB AC 分别五等分 连结两边对应的等分点 以这些连结为一边作 矩形 使这些矩形的边 B1C1 B2C2 B3C3 B4C4的对边分别在 B2C2 B3C3 B4C4 BC 上 如 图 2 所示 若 BC 25 BC 边上的高为 20 判断以 B1C1为一边的矩形是不是方形 为什么 若以 B3C3为一边的矩形为方形 求 BC 与 BC 边上的高之比 考点 四边形综合题 3718684 分析 1 答案不唯一 根据已知举出即可 2 求出 ABC AB1C1 AB2C2 AB3C3 AB4C4 推出 求出 B1C1 5 B2C2 10 B3C3 15 B4C4 20 AE 4 AH 8 AG 12 AN 16 MN GN GH HE 4 BQ B2O B3Z B4K 4 根据已知判断即可 设 AM h 根据 ABC AB3C3 得出 求出 MN GN GH HE h 分为 两种情况 当 B3C3 2 h 时 当 B3C3 h 时 代入求出即可 解答 解 1 答案不唯一 如 a 2 b 4 2 以 B1C1为一边的矩形不是方形 理由是 过 A 作 AM BC 于 M 交 B1C1于 E 交 B2C2于 H 交 B3C3于 G 交 B4C4于 N 则 AM B4C4 AM B3C3 AM B2C2 AM B1C1 由矩形的性质得 BC B1C1 B2C2 B3C3 B4C4 ABC AB1C1 AB2C2 AB3C3 AB4C4 AM 20 BC 25 B1C1 5 B2C2 10 B3C3 15 B4C4 20 AE 4 AH 8 AG 12 AN 16 MN GN GH HE 4 BQ B2O B3Z B4K 4 即 B1C1 2B1Q B1Q 2B1C1 以 B1C1为一边的矩形不是方形 以 B3C3为一边的矩形为方形 设 AM h ABC AB3C3 则 AG h MN GN GH HE h 当 B3C3 2 h 时 当 B3C3 h 时 综合上述 BC 与 BC 边上的高之比是 或 点评 本题考查了相似三角形的性质和判定和矩形的性质的应用 注意 相似三角形的对 应高的比等于相似比 6 2013 资阳 在一个边长为 a 单位 cm 的正方形 ABCD 中 点 E M 分别是线段 AC CD 上的动点 连结 DE 并延长交正方形的边于点 F 过点 M 作 MN DF 于 H 交 AD 于 N 1 如图 1 当点 M 与点 C 重合 求证 DF MN 2 如图 2 假设点 M 从点 C 出发 以 1cm s 的速度沿 CD 向点 D 运动 点 E 同时从点 A 出发 以cm s 速度沿 AC 向点 C 运动 运动时间为 t t 0 判断命题 当点 F 是边 AB 中点时 则点 M 是边 CD 的三等分点 的真假 并说明理由 连结 FM FN MNF 能否为等腰三角形 若能 请写出 a t 之间的关系 若不能 请说 明理由 考点 四边形综合题 分析 1 证明 ADF DNC 即可得到 DF MN 2 首先证明 AFE CDE 利用比例式求出时间 t a 进而得到 CM a CD 所以该命题为真命题 若 MNF 为等腰三角形 则可能有三种情形 需要分类讨论 解答 1 证明 DNC ADF 90 DNC DCN 90 ADF DCN 在 ADF 与 DNC 中 ADF DNC ASA DF MN 2 解 该命题是真命题 理由如下 当点 F 是边 AB 中点时 则 AF AB CD AB CD AFE CDE AE EC 则 AE AC a t a 则 CM 1 t a CD 点 M 为边 CD 的三等分点 能 理由如下 易证 AFE CDE 即 得 AF 易证 MND DFA 即 得 ND t ND CM t AN DM a t 若 MNF 为等腰三角形 则可能有三种情形 I 若 FN MN 则由 AN DM 知 FAN NDM AF DM 即 t 得 t 0 不合题意 此种情形不存在 II 若 FN FM 由 MN DF 知 HN HM DN DM MC t a 此时点 F 与点 B 重合 III 若 FM MN 显然此时点 F 在 BC 边上 如下图所示 易得 MFC NMD FC DM a t 又由 NDM DCF 即 FC a t t a 此时点 F 与点 C 重合 综上所述 当 t a 或 t a 时 MNF 能够成为等腰三角形 点评 本题是运动型几何综合题 考查了相似三角形 全等三角形 正方形 等腰三角形 命题证明等知识点 解题要点是 1 明确动点的运动过程 2 明确运动过程 中 各组成线段 三角形之间的关系 3 运用分类讨论的数学思想 避免漏解 7 2013 宁波 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形 我们把这条对 角线叫这个四边形的和谐线 这个四边形叫做和谐四边形 如菱形就是和谐四边形 1 如图 1 在梯形 ABCD 中 AD BC BAD 120 C 75 BD 平分 ABC 求证 BD 是梯形 ABCD 的和谐线 2 如图 2 在 12 16 的网格图上 每个小正方形的边长为 1 有一个扇形 BAC 点 A B C 均在格点上 请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点 D 使得以 A B C D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线 并画出相应的和谐四边形 3 四边形 ABCD 中 AB AD BC BAD 90 AC 是四边形 ABCD 的和谐线 求 BCD 的度 数 考点 四边形综合题 分析 1 要证明 BD 是四边形 ABCD 的和谐线 只需要证明 ABD 和 BDC 是等腰三角形 就可以 2 根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等 只要 D 在上任意一点构成的 四边形 ABDC 就是和谐四边形 连接 BC 在 BAC 外作一个以 AC 为腰的等腰三角形 ACD 构成的四边形 ABCD 就是和谐四边形 3 由 AC 是四边形 ABCD 的和谐线 可以得出 ACD 是等腰三角形 从图 4 图 5 图 6 三种情况运用等边三角形的性质 正方形的性质和 30 的直角三角形性质就可 以求出 BCD 的度数 解答 解 1 AD BC ABC BAD 180 ADB DBC BAD 120 ABC 60 BD 平分 ABC ABD DBC 30 ABD ADB ADB 是等腰三角形 在 BCD 中 C 75 DBC 30 BDC C 75 BCD 为等腰三角形 BD 是梯形 ABCD 的和谐线 2 由题意作图为 图 2 图 3 3 AC 是四边形 ABCD 的和谐线 ACD 是等腰三角形 AB AD BC 如图 4 当 AD AC 时 AB AC BC ACD ADC ABC 是正三角形 BAC BCA 60 BAD 90 CAD 30 ACD ADC 75 BCD 60 75 135 如图 5 当 AD CD 时 AB AD BC CD BAD 90 四边形 ABCD 是正方形 BCD 90 如图 6 当 AC CD 时 过点 C 作 CE AD 于 E 过点 B 作 BF CE 于 F AC CD CE AD AE AD ACE DCE BAD AEF BFE 90 四边形 ABFE 是矩形 BF AE AB AD BC BF BC BCF 30 AB BC ACB BAC AB CE BAC ACE ACB ACE BCF 15 BCD 15 3 45 点评 本题是一道四边形的综合试题 考查了和谐四边形的性质的运用 和谐四边形的判 定 等边三角形的性质的运用 正方形的性质的运用 30 的直角三角形的性质的 运用 解答如图 6 这种情况容易忽略 解答时合理运用分类讨论思想是关键 8 2013 年武汉 已知四边形ABCD中 E F分别是AB AD边上的点 DE与CF交于点G 1 如图 若四边形ABCD是矩形 且 DE CF 求证 CD AD CF DE 2 如图 若四边形ABCD是平行四边形 试探究 当 B 与 EGC 满足什么关系时 使 得 CD AD CF DE 成立 并证明你的结论 3 如图 若BA BC 6 DA DC 8 BAD 90 DE CF 请直接写出 CF DE 的值 E F G A BC D 24 24 A BC DF G E 24 A B C D F G E 解析 1 证明 四边形 ABCD 是矩形 A ADC 90 DE CF ADE DCF ADE DCF DC AD CF DE 2 当 B EGC 180 时 DC AD CF DE 成立 证明如下 在 AD 的延长线上取点 M 使 CM CF 则 CMF CFM AB CD A CDM B EGC 180 AED FCB CMF AED ADE DCM DC AD CM DE 即 DC AD CF DE 3 24 25 CF DE 9 2013 杭州压轴题 如图 已知正方形 ABCD 的边长为 4 对称中心为点 P 点 F 为 BC 边上一个动点 点 E 在 AB 边上 且满足条件 EPF 45 图中两块阴影部分图形关于直线 AC 成轴对称 设它们的面积和为 S1 1 求证 APE CFP 2 设四边形 CMPF 的面积为 S2 CF x 求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围 并求出 y 的最大值 当图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称时 求 y 的值 考点 四边形综合题 分析 1 利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论 2 本问关键是求出 y 与 x 之间的函数解析式 首先分别用 x 表示出 S1与 S2 然后计算出 y 与 x 的函数解析式 这是一个二次函数 求 出其最大值 注意中心对称 轴对称的几何性质 解答 1 证明 EPF 45 M E G FD C B A 24 APE FPC 180 45 135