江苏省苏州市2017届高三期中试卷

1 2016 2017 学年第一学期高三期中调研试卷 数 学 2016 11 注意事项 1 本试卷共 4 页 满分 160 分 考试时间 120 分钟 2 请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上 在本试卷上答题无效 3 答题前 务必将自己的姓名 学校 准考证号写在答题纸的密封线内 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 请把答案直接填写在答卷纸相应的位置 1 已知集合 则 02 Axx 11 Bxx AB I 2 若命题 则 2 10pxxax R 使p 3 函数的定义域为 1 2 x y x 4 曲线在点处的切线的斜率为 cosyxx 2 2 5 已知 则 4 tan 3 tan 4 6 已知等比数列的各项均为正数 且满足 则数列的前 9 项之和为 n a 19 4a a 2 log n a 7 已知函数是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数 当时 则 f x01x 8xf x 19 3 f 8 在中 角所对的边分别为 若 则ABC A B C a b c 22 2abbc sin3sinCB A 9 已知函数 若函数有三个零点 则实数 m 的取值范围是 2 21 0 0 xx f x xx x g xf xm 10 若函数 则函数 y 的最小值为 cos21 tan 0 sin22 y 11 已知函数 将函数的图象向右平移个单位长度后 所得 sin 0 3 f xx yf x 2 3 图象与原函数图象重合 则的最小值等于 12 已知数列满足 数列满足 则数列的前 n a 111 1 1 nnn aaaa n b 1nnn baa n b 2 10 项的和 10 S 13 设的三个内角 A B C 所对应的边为 a b c 若 A B C 依次成等差数列且 则ABC 222 ackb 实数 k 的取值范围是 14 已知函数 若对于定义域内的任意 总存在使得 则满足条 2 xa f x xa 1 x 2 x 21 f xf x 件的实数 a 的取值范围是 二 解答题 本大题共 6 个小题 共 90 分 请在答题卷区域内作答 解答时应写出文字说明 证明 过程或演算步骤 15 本题满分 14 分 已知函数 33 xx f x R 1 若为奇函数 求的值和此时不等式的解集 f x 1f x 2 若不等式对恒成立 求实数的取值范围 6f x 0 2 x 16 本题满分 14 分 已知等比数列的公比 且满足 且是的等差中项 n a1q 234 28aaa 3 2a 24 a a 1 求数列的通项公式 n a 2 若 求使成立的正整数 n 的最小值 1 2 log nnn baa 12nn Sbbb 1 262 n n Sn 17 本题满分 15 分 已知函数 2sin cos 3 f xxx 1 若 求函数的值域 0 2 x f x 2 设的三个内角所对的边分别为 若 A 为锐角且 ABC A B C a b c 3 2 f A 求的值 2b 3c cos AB 3 18 本题满分 15 分 如图 有一块平行四边形绿地 ABCD 经测量百米 百米 拟过线2BC 1CD 120BCD 段 BC 上一点 E 设计一条直路 EF 点 F 在四边形 ABCD 的边上 不计路的宽度 EF 将绿地分成 两部分 且右边面积是左边面积的 3 倍 设百米 百米 ECx EFy 1 当点 F 与点 D 重合时 试确定点 E 的位置 2 试求 x 的值 使路 EF 的长度 y 最短 C B D A E 19 本题满分 16 分 已知数列的前项和为 对任意满足 且 数列满足 n an n A n N 1 1 12 nn AA nn 1 1a n b 其前 9 项和为 63 21 20 nnn bbbn N 3 5b 1 求数列和的通项公式 n a n b 2 令 数列的前 n 项和为 若对任意正整数 n 都有 求实数 nn n nn ba c ab n c n T2 n Tna 的取值范围 a 3 将数列的项按照 当为奇数时 放在前面 当为偶数时 放在前面 的要求 nn abn n an n b 进行 交叉排列 得到一个新的数列 求这个新数列的前项 11223344556 a b b a a b b a a b b n 和 n S 4 20 本题满分 16 分 已知 定义 32 31 0 f xaxxa max f xf xg x h xf x g x g xf xg x 1 求函数的极值 f x 2 若 且存在使 求实数 a 的取值范围 g xxfx 1 2 x h xf x 3 若 试讨论函数的零点个数 lng xx h x 0 x 5 2016 2017 学年第一学期高三期中调研试卷 数 学 附加 2016 11 B 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知二阶矩阵 M 有特征值及对应的一个特征向量 并且矩阵 M 将点变换为8 1 1 1 e 1 3 0 8 1 求矩阵 M 2 求曲线在 M 的作用下的新曲线方程 320 xy C 极坐标与参数方程 本小题满分 10 分 已知平面直角坐标系 xOy 中 圆 C 的参数方程为 以直角坐标系原 cos2 0 sin2 xr r yr 为参数 点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的极坐标方程为 2 sin 10 4 1 求圆 C 的圆心的极坐标 2 当圆 C 与直线 l 有公共点时 求 r 的取值范围 6 22 本小题满分 10 分 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试 共设置了 A B C 三个测试项目 假定张某 通过项目 A 的概率为 通过项目 B C 的概率均为 a 且这三个测试项目能否通过相互 1 2 01 a 独立 1 用随机变量 X 表示张某在测试中通过的项目个数 求 X 的概率分布和数学期望 用 a 表示 E X 2 若张某通过一个项目的概率最大 求实数 a 的取值范围 23 本小题满分 10 分 在如图所示的四棱锥中 底面 SABCD SA ABCD90DABABC E 为线段 BS 上的一个动点 SAABBCa 3ADa 0 a 1 证明 DE 和 SC 不可能垂直 2 当点 E 为线段 BS 的三等分点 靠近 B 时 求二面角的余弦值 SCDE 7 A D B C S E 2016 2017 学年第一学期高三期中调研试卷 数 学 参 考 答 案 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 1 2 3 4 2 0 xx 1 2 10 xxax R 使 2 1 5 7 6 9 7 8 9 2 3 1 0 4 10 2 11 3 12 13 14 10 11 1 2 0a 二 解答题 本大题共 6 个小题 共 90 分 15 本题满分 14 分 解 1 函数的定义域为 R 33 xx f x 为奇函数 对恒成立 f x 0fxf x x R 即对恒成立 3333 1 33 0 xxxxxx x R 3 分1 此时即 331 xx f x 2 3 310 xx 解得 6 分 1 515 33 22 xx 或舍去 解集为 7 分 3 1 5 log 2 x x 2 由得 即 6f x 336 xx 36 3 x x 令 原问题等价于对恒成立 3 1 9 x t 6t t 1 9 t 亦即对恒成立 10 分 2 6tt 1 9 t 令 2 6 1 9 g ttt t 在上单调递增 在上单调递减 g t 1 3 3 9 当时 有最小值 14 分9t g t 9 27g 27 16 本题满分 14 分 解 1 是的等差中项 1 分 3 2a 24 a a 324 2 2 aaa 8 代入 可得 234 28aaa 3 8a 解之得或 4 分 24 20aa 2 1 3 11 8 20 a q a qa q 1 2 2 a q 1 32 1 2 a q 数列的通项公式为 6 分1q 1 2 2 a q n a2n n a 2 7 分 11 22 log2 log 22 nnn nnn baan 2 1 2222 n n Sn 22 1 2221 S2 132 nn n nn 得 231 22222 nn n Sn 12 分 111 2 12 2222 12 n nnn nn 13 分 1 262 n n Sn 1 2262 n 16n 5n 使成立的正整数n的最小值为 6 14 分 1 262 n n Sn 17 本题满分 15 分 解 1 sin3cos cosf xxxx xxx 2 cos3cossin 2 分 133 sin2cos2 222 xx 3 sin 2 32 x 由得 4 分0 2 x 4 2 333 x 3 sin 2 1 23 x 即函数的值域为 6 分 33 0sin 2 1 322 x xf 3 0 1 2 2 由得 33 sin 2 322 f AA sin 2 0 3 A 又由 8 分0 2 A 4 2 333 A 2 3 A 3 A 在中 由余弦定理 得 10 分ABC 222 2cos 7abcbcA 7 a 由正弦定理 得 12 分 sinsin ab AB sin21 sin 7 bA B a ba BA 2 7 cos 7 B 15 分cos coscossinsinABABAB 12 73215 7 272714 18 本题满分 15 分 解 1 平行四边形 ABCD 的面积为 1 21 2sin1203 2 ABCD S A 当点 F 与点 D 重合时 13 sin120 24 CFE SCE CDx 百米 E 是 BC 的中点 3 分 1 4 CFEABCD SS A 33 44 x1x 2 当点 F 在 CD 上时 9 4 分 0 113 sin120 244 CFEABCD SCE CFS A 1 CF x 在三角形 CDE 中 2220 2cos120EFCECFCE CF 当且仅当时取等号 2 2 1 13yx x 1x 此时 E 在 BC 中点处且 F 与 D 重合 符合题意 8 分 当点 F 在 DA 上时 9 分 313 2244 ABCDCEFD xFD SS A梯形 1DFx 当时 过 E 作 EG CD 交 DA 于 G CEDF 在中 由余弦定理得 EGF 1 12 60EGGFxEGF 2 421yxx 当 过 E 作 EG CD 交 DA 于 G CEDF 在中 由余弦定理得 EGF 1 21 120EGGFxEGF 2 421yxx 由 可得 13 分 22 13 4214 44 yxxx 当时 1 4 x min 3 2 y 此时 E 在 BC 的八等分点 靠近 C 处且 百米 符合题意 14 分 3 4 DF 由 可知 当 百米 时 路 EF 最短为 百米 15 分 1 4 x 3 2 19 本题满分 16 分 解 1 数列是首项为 1 公差为的等差数列 1 1 12 nn AA nn n A n 1 2 即 1 111 1 222 n A Ann n 1 2 n n n An N 11 1 2 1 1 22 nnn nnn n aAAnn N 又 3 分 1 1a n an n N 数列是等差数列 21 20 nnn bbb n b 设的前 n 项和为 且 n b n B 37 9 9 63 2 bb B 3 5b 的公差为 5 分 7 9b n b 73 95 1 7373 bb 2 n bnn N 2 由 1 知 211 22 22 nn n nn bann c abnnnn 12nn Tccc 11111 22 1 3242 n nn 111 22 1 212 n nn 11 232 12 n nn 7 分 11 232 12 n Tn nn 设 则 11 32 12 n R nn 1 114 2 0 13 1 3 nn RR nnnn 数列为递增数列 9 分 n R 10 min1 4 3 n RR 对任意正整数 n 都有恒成立 10 分2 n Tna 4 3 a 3 数列的前项和 数列的前项和 n an 1 2 n n n A n bn 5 2 n n n B 当时 2 Nnk k 2 1 5 3 22 nkk k kk k SABkk 当时 41 Nnkk 2 12 21 22 2 25 22 nkk kkkk SAB 2 481kk 特别地 当时 也符合上式 1n 1 1S 当时 41 Nnkk 2 212 21 22 25 44 22 nkk kkkk SABkk 综上 16 分 2 2 2 13 2 42 63 43 4 65 41 4 n nn nk nn Snk nn nk k N 20 本题满分 16 分 解 1 函数 32 31f xaxx 1 分 2 363 2 fxaxxx ax 令 得或 列表如下 0fx 1 0 x 2 2 x a 0a 12 xx x 0 0 2 0 a 2 a 2 a fx 0 0 f x 极大值 极小值 的极大值为 极小值为 3 分 f x 0 1f 222 28124 1 1f aaaa 2 存在使 23 63 xaxxf xxg 1 2 x h xf x 在上有解 即在上有解 f xg x 1 2 x 3232 3136axxaxx 1 2 x 即不等式在上有解 4 分 3 13 2a xx 1 2 x 设 对恒成立 2 33 1 3 2 131 x y x x xx 2 4 33 0 x y x 1 2 x 在上单调递减 当时 的最大值为 4 3 13 y xx 1 2 x 1x 3 13 y xx 即 7 分24a 2a 3 由 1 知 在上的最小值为 f x 0 2 24 1f aa 当 即时 在上恒成立 2 4 10 a 2a 0f x 0 在上无零点 8 分 max h xf x g x 0 11 当 即时 又 2 4 10 a 2a min 1 0f xf 1 0g 在上有一个零点 9 分 max h xf x g x 0 当 即时 设 2 4 10 a 02a 32 31lnxf xg xaxxx 01 x 在上单调递减 2 11 366 1 0 xaxxx x xx x 0 1 又 存在唯一的 使得 2 32 123 1 20 0 ae a eee 0 1 1 x e 0 0 x 当时 0 0 xx 且为减函数 0 0 xf xg xx h xf x h x 又 在上有一个零点 0000 lnln10 0 10h xf xg xxf h x 0 0 x 当时 0 xx 且为增函数 0 0 xf xg xx h xg x h x 在上有一个零点 1 0g h x 0 x 从而在上有两个零点 15 分 max h xf x g x 0 综上所述 当时 有两个零点 当时 有一个零点 当时 02a h x2a h x2a 有无零点 16 分 h x 21 选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作 答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 几何证明选讲 本小题满分 10 分 证明 连接 为圆的直径 ADABADBD 又 则四点共圆 EFAB A D E F 5 分BD BEBA BF 又 ABC AEF 即 ABAC AEAF AB AFAE AC 10 分 2 BE BDAE ACBA BFAB AFABBFAFAB B 矩阵与变换 本小题满分 10 分 解 1 设 由及 ab M cd 11 8 11 ab cd 10 38 ab cd 得 解得 8 8 30 38 ab cd ab cd 6 2 4 4 a b c d 62 44 M 4 分 2 设原曲线上任一点在 M 作用下对应点 P x y P x y 则 即 解之得 62 44 xx yy 62 44 xxy yxy 2 8 2 3 8 xy x xy y 12 代入得 320 xy 2 40 xy 即曲线在 M 的作用下的新曲线方程为 10 分320 xy 240 xy C 极坐标与参数方程 本小题满分 10 分 解 1 由得 cos2 sin2 xr C yr 222 2 2 xyr 曲线 C 是以为圆心 为半径的圆 2 2 r 圆心的极坐标为 5 分 2 2 4 2 由得 2 sin 10 4 l 10l xy 从而圆心到直线 l 的距离为 2 2 221 5 2 22 d 圆 C 与直线 l 有公共点 即 10 分dr 5 2 2 r D 不等式选讲 本小题满分 10 分 证明 2222 1 1 1 1 1111 abcd abcd abcd 2 1111 1111 abcd abcd abcd 5 分 2 1abcd 又 1 1 1 1 5abcd 10 分 2222 1 11115 abcd abcd 22 本题满分 10 分 解 1 随机变量 X 的可能取值为 0 1 2 3 022 2 11 0 1 C 1 1 22 P Xaa 0212 22 111 1 C 1 1 C 1 1 222 P Xaaaa 1222 22 111 2 C 1 1 C 2 222 P Xaaaaa 222 2 11 3 C 22 P Xaa 从而X的分布列为 X0123 P 2 1 1 2 a 2 1 1 2 a 2 1 2 2 aa 2 2 a X的数学期望为 5分 2 222 11141 0 1 1 1 2 2 3 22222 aa E Xaaaa