2016年山东省高考数学理科试题含答案(Word版)

绝密启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (山东卷 ) 理科数学 本试卷分第卷和第卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 生务必用 米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3. 第卷必须用 米黑色签字笔作答，答案 必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 参考公式： 如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)， B 独立，那么 P(P(A) P(B) 第卷（共 50 分） 一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 （ 1）若复数 z 满足 2 3 2i, 其中 i 为虚数单位，则 z=（ ） （ A） 1+2i （ B） 1 2i （ C） 1 2i （ D） 1 2i （ 2）设集合 2 | 2 , , | 1 0 ,xA y y x B x x B=（ ） （ A） ( 1,1) （ B） (0,1) （ C） ( 1, ) （ D） (0, ) （ 3）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 0 ，样本数据分组为 1 7 . 5 , 2 0 ) , 2 0 , 2 2 . 5 ) , 2 2 . 5 , 2 5 ) , 2 5 , 2 7 . 5 ) , 2 7 . 5 , 3 0 200 名学生中每周的自习时间不少于 时的人数是 （ ） （ A） 56 （ B） 60 （ C） 120 （ D） 140 （ 4） 若变量 x， y 满足2,2 3 9,0,? -?锍 则 22的最大值是 （ ） （ A） 4 （ B） 9 （ C） 10 （ D） 12 （ 5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示 ）（ A） 1233 （ B） 1233 （ C） 1236 （ D） 216 （ 6）已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内 直线 a 和直线 b 相交 ”是 “平面 和平面 相交 ”的 （ ） （ A） 充分不必要条件 （ B） 必要不充分条件 （ C）充要条件（ D）既不充分也不必要条件 （ 7）函数 f（ x） =（ 3 3 最小 正 周期是 （ ） （ A）2（ B） （ C）23（ D） 2 （ 8）已知非零向量 m， n 满足 4m=3n， 3.若 n （ tm+n），则实数 t 的值为 （ ） （ A） 4 （ B） 4 （ C） 94（ D） 94（ 9）已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时， 3( ) 1f x x；当 11x 时， ( ) ( )f x f x ；当 12x 时，11( ) ( )22f x f x .则 f(6)= （ ） （ A） 2（ B） 1（ C） 0（ D） 2 （ 10）若函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有 T 性质 性质的是 （ ） （ A） y=B） y=C） y=D） y= 卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （ 11）执行右边的程序框图，若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为 _. (12)若（ 1x） 5 的展开式中 系数是 80，则实数 a=_. （ 13）已知双曲线 221（ a 0， b 0），若矩形 四个顶点在 E 上， 中点为E 的两个焦点，且 2|3| 则 E 的离心率是 _. （ 14）在 1,1- 上随机地取一个数 k，则事件 “ 直线 y=圆 22( 5 ) 9 = 相交 ” 发生的概率为 . （ 15）已知函数2| | ,()2 4 ,x x m x m x m 其中 0m ，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（ x） =b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 _. 三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分。 （ 16）（本小题 满分 12 分） 在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 t a n t a t a n t a n ) .c o s c o A （ ）证明： a+b=2c; （ ）求 最小值 . 17（本小题满分 12 分） 下底面圆 O 的直径， 上底面圆 O 的直径， 圆台的一条母线 . （ I）已知 G,H 分别为 中点，求证： 平面 （ 知 B=123 的余弦值 . （ 18）（本小题满分 12 分） 已知数列 n 项和 n， 1.n n na b b （ ）求数列 （ ） 令 1( 1) .( 2 )求数列 n 项和 （ 19）（本小题满分 12 分） 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0分。已知甲每轮猜对的概率是 34，乙每轮猜对的概率是 23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活 动，求： （ I）“星队”至少猜对 3 个成语的概率； （ 星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 20)(本小题满分 13 分 ) 已知 221( ) l n ,xf x a x x a . （ I）讨论 () （ 1a 时，证明 3( ) 2f x f x 对于任意的 1,2x 成立 （ 21）本小题满分 14 分） 平面直角坐标系 ，椭圆 C： 22 10xy 的离心率是 32，抛物线 E： 2 2的焦点 的一个顶点。 （ I）求椭圆 C 的方程； （ P 是 E 上的动点，且位于第一 象限 ， E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点 A， B，线段 中点为 D，直线 过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. （ i）求证：点 M 在定直线上 ; （ 线 l 与 y 轴交于点 G，记 面积为1S， 面积为2S，求12最大值及取得最大值时点 P 的坐标 . 2016 年普听高等学校招生全国统一考试 (山东卷 ) 理科数学试题参考答案 一 、 选择题 （ 1） 【答案】 B （ 2） 【答案】 C （ 3） 【答案】 D （ 4）【答案】 C （ 5） 【答案】 C （ 6） 【答案】 A （ 7） 【答案】 B （ 8） 【答案】 B （ 9） 【答案】 D （ 10） 【答案】 A 第 卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分 ，共 25 分 . （ 11） 【答案】 3 （ 12） 【答案】 13） 【答案】 2 （ 14） 【答案】 34（ 15） 【答案】 (3, ) 三、解答题 （ 16） 解析： 由题意知 s i n s i n s i n s i o s c o s c o s c o s c o s c o A A B A B ， 化简得 2 s i n c o s s i n c o s s i n s i B A A B ， 即 2 s i n s i n s i A B . 因为 A B C , 所以 s i n s i n s i C C . 从而 s i n s i n = 2 s i C . 由正弦定理得 2a b c . () 由 () 知 2 , 所以 2222 2 2 2c o s 22b b a b 3 1 18 4 2 ， 当且仅当 时，等号成立 . 故 最小值为 12. 考点： 两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式 . （ 17） （ I）证明：设 中点为 I ,连接 ,I , 在 ,因为 G 是 中点，所以 ,在 中，因为 H 是 中点，所以 /C ， 又 I I,所以平面 /面 因为 平面 所以 /面 （ 解法一 ： 连接 则 平面 又 ,C 且 圆 O 的直径，所以 C 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O ， 由题意得 (0, 2 3 , 0)B ， ( 2 3 , 0, 0 )C ，过点 F 作 于点 M ， 所以 22 3,F M F B B M 可得 (0, 3, 3)F 故 ( 2 3 , 2 3 , 0 ) , ( 0 , 3 , 3 )B C B F . 设 ( , , )m x y z 是平面 一个法向量 . 由 0 ,0m F 可得 2 3 2 3 0 ,3 3 0 可得平面 一个法向量 3( 1,1, ),3m 因为平面 一个法向量 (0, 0,1),n 所以 7c o s ,7| | | | . 所以二面角 F 的余弦值为 77. 解法二 ： 连接 过点 F 作 B 于点 M ， 则有 / / O , 又 平面 所以 面 可得 22 3,F M F B B M 过点 M 作 于点 N ，连接 可得 C , 从而 为二面角 F 的平面角 . 又 C ,圆 O 的直径， 所以 6s i n 4 5 ,2M N B M从而 422可得 7c o s M所以二面角 F 的余弦值为 77. 考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推 理论证能力 （ 18） （ ）由题意知当 2n 时， 561 当 1n 时， 1111 所以 56 设数列 d ， 由322211 即可解得 3,41 所以 13 （ ）由（ ）知 1 1( 6 6 ) 3 ( 1 ) 2( 3 3 )n nn ， 又nn 321， 得 2 3 4 13 2 2 3 2 4 2 ( 1 ) 2 ， 3 4 5 22 3 2 2 3 2 4 2 ( 1 ) 2 ， 两式作差，得 2 3 4 1 23 2 2 2 2 2 ( 1 ) 2 224 ( 2 1 )3 4 ( 1 ) 2 2132 所以 223 nn 列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法 （ 19） ( )记事件 A:“甲第一轮猜对”，记事件 B：“乙第一轮猜对”， 记事件 C：“甲第二轮猜对”，记事件 D：“乙第二轮猜对”， 记事件 E：“星队至少猜对 3 个成语” . 由题意， B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 由事件的独立性与互斥性， P E P A B C D P A B C D P A B C D P A B C D P A B C D P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P P B P P A P B P C P D 3 2 3 2 1 2 3 2 3 1 3 2=24 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 32 , 所以“星队 ”至少猜对 3 个成语的概率为 23. ( )由题意，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 1 1 1 1 10 4 3 4 3 1 4 4 , 3 1 1 1 1 2 1 1 1 0 512 4 3 4 3 4 3 4 3 1 4 4 7 2 , 3 1 3 1 3 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 2 52 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 1 4 4 , 3 2 1 1 1 1 3 2 13 4 3 4 3 4 3 4 3 1 2 , 3 2 3 1 3 2 1 2 6 0 54 2 =4 3 4 3 4 3 4 3 1 4 4 1 2 , 3 2 3 2 16 4 3 4 3 4 . 可得随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 P 11445722514411251214所以数学期望 1 5 2 5 1 5 1 2 30 1 2 3 4 61 4 4 7 2 1 4 4 1 2 1 2 4 6 . 考点： 独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分 布列和数学期望 (20) （ ） )(定义域为 ),0( ； 3232/)1)(2(22)( x . 当 0a ， )1,0(x 时， 0)(/ )(调递增； /(1 , ) , ( ) 0x f x 时 ， )(调递减 . 当 0a 时， /3( 1 ) 2 2( ) ( ) ( )x x xx a a . （ 1） 20 a ， 12 a， 当 )1,0(x 或 x ),2( 0)(/ )(调递增； 当 x )2,1(0)(/ )(调递减； （ 2） 2a 时， 12 a，在 x ),0( 内 ， 0)(/ )(调递增； （ 3） 2a 时 ， 120 a， 当 )2,0(或 x ),1( 时， 0)(/ )(调递增； 当 x )1,2(0)(/ )(调递减 . 综上所述， 当 0a 时，函数 )( )1,0( 内单调递增，在 ),1( 内单调递减； 当 20 a 时， )( )1,0( 内单调递增，在 )2,1( ),2( a 内单调递增； 当 2a 时， )( ),0( 内单调递增； 当 2a ， )( )2,0( )1,2( ),1( 内单调递增 . （ ）由（ ）知， 1a 时， / 2 2 32 1 1 2 2( ) ( ) l n ( 1 )xf x f x x x x x x x 233 1 2l n 1xx x x x ， 2,1x ， 令 1213)(,32 2,1x . 则 )()()()( / ， 由 01)(/ )1()( 当且仅当 1x 时取得等号 . 又 243 2 6( ) x ， 设 623)( 2 ，则 )(x 在 x 2,1 单调递减， 因为 10)2(,1)1( ， 所以在0x2,1上使得 ),1(0， )2,(,0)(0时， 0)( x ， 所以函数 () ),1(0 )2,(0 由于21)2(,1)1( 此21)2()( 当且仅当 2