2016年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)

2016 年高考数学理试题分类汇编 圆锥曲线 一、选择题 1、（ 2016 年四川高考） 设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 2 2 ( p 0 )y 上任意一点， M 是线段的点，且 2 则直线 斜率的最大值为 （ A） 33（ B） 23（ C） 22（ D） 1 【答案】 C 2、（ 2016 年天津高考） 已知双曲线 2224 =1x b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A、 B、 C、 D 四点，四边形的 面积为 2b，则双曲线的方程为（ ） （ A） 2244 3 =1（ B） 2234 4 =1（ C） 2224 =1x D） 2224 =11x y 【答案】 D 3、（ 2016 年全国 I 高考） 已知方程 nn=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是 （ A） (1,3) （ B） (1, 3) （ C） (0,3) （ D） (0, 3) 【答案】 A 4、（ 2016 年全国 I 高考） 以抛物线 于 A， ， 已知 | 42，|25，则 C 的焦点到准线的距离为 （ A） 2 （ B） 4 （ C） 6 （ D） 8 【答案】 B 5、（ 2016 年全国 考） 圆 22 2 8 1 3 0x y x y 的圆心到直线 10ax y 的距离为 1，则 a=（ ） （ A） 43（ B） 34（ C） 3 （ D） 2 【答案】 A 6、（ 2016 年全国 考） 圆已知12,2:1的左，右焦点，点 M 在 E 上，1x 轴垂直，21 1s M F F,则 E 的离心率为（ ） （ A） 2 （ B） 32 （ C） 3 （ D） 2 【答案】 A 7、（ 2016 年全国 考） 已知 O 为坐标原点 ， F 是椭圆 C： 22 1 ( 0 )xy 的左焦点 ， A， B 分别为 右顶点 C 上一点，且 PF x 轴 的直线 l 与线段 于点 M，与 y 轴交于点 M 经过 中 点，则 C 的离心率为 （ A） 13 （ B） 12 （ C） 23 （ D） 34【答案】 A 8、（ 2016 年浙江高考） 已知椭圆 22(m1)与双曲线 22(n0)的焦点重合， 别为离心率，则 A mn 且 B mn 且 D m(),22 m（ ， 由 =2 得 ，所以 E 在点 P 处的切线 l 的斜率为 m ， 因此切线 l 的方程为2=2y ， 设 ),(),( 2211 ),(00 将2=2y 代入 1=4+ 22 得 0=1+4)4+1 2322 于是2321 4+14=+ 23210 4+12=2+= 又)4+1(2=2= 22200 mmm 于是 直线 方程为 xmy 41= 联立方程 xmy 41=与 ，得 M 的坐标为 )41M(m, 所以点 M 在定直线41=y 上 （ 切线 l 的方程为2=2y 中，令 0=x ，得2m=， 即点 G 的坐标为 )2, 2 ，又 )2mP(m,2 ， )21F(0,， 所以4 )1+(=21= 再由 )1)+2 (4 mm,1+4223 ，得 )1+4(8)1+2(=1+4+241+221=于是有 222221 )1+2( )1+)(1+4(2=SS m 令 1+2= 2得2221 11+2=)1+)(21(2=SS t 当21=1 2=t 时，21得最大值 49 此时21=2m，22=m，所以 P 点的坐标为 )41,22P( 所以21最大值为 49 ，取得最大值时点 P 的坐标为 )41,22P( 3、（ 2016 年上海高考） 有一块正方形菜地 在直线是一条小河， 收货的蔬菜可送到 F 点或河边运走。于是，菜地分为两个区域1中1 点较近，而菜地内1 上的点到河边与到 F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O 为 中点，点 F 的坐标为（ 1,0），如图 （ 1） 求菜地内的分界线 C 的方程 （ 2） 菜农从蔬菜运量估计出1此得到1验值”为38。设 M 是 C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 一边、另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形 面积，并判断哪一个更接近于1【解析】 （ 1）因为 C 上的点到直线 与到点 F 的距离相等，所以 C 是以 F 为焦点、以 为准线的抛物线在正方形 内 的部分，其方程为 2 4（ 02y） （ 2）依题意，点 的坐标为 1,14 所求的矩形面积为 52，而所求的五边形面积为 114 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为 5 8 12 3 6，而 五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为 11 8 14 3 12，所以五边形面积更接近于1验值” 4、（ 2016 年上海高考） 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 . 双曲线 222 1 ( 0 ) 的左、右焦点分别为 12，直线 l 过 2F 且与双曲线交于 两点。 （ 1）若 l 的倾斜角为2，1等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （ 2）设 3b ，若 l 的斜率存在，且11( ) 0F A F B A B ，求 l 的斜率 . 【答案】（ 1） 2 （ 2） 155. 【解析】（ 1）设 , 由题意， 2F ,0c， 21， 2 2 2 41y b c b ， 因为1F 是等边三角形，所以 23， 即 244 1 3，解得 2 2b 故双曲线的渐近线方程为 2 （ 2）由已知， 1F 2,0， 2F 2,0 设 11, 22,直线 :l 2y k x显然 0k 由 22 132k x ，得 2 2 2 23 4 4 3 0k x k x k 因为 l 与双曲线交于两点，所以 2 30k ，且 23 6 1 0k 设 的中点为 , 由 11F F 0 即1 ，知1F ，故1F 1 而 2122223xx kx k ， 262 3ky k x k ，1F 2323kk k ， 所以23 123k ，得 2 35k ，故 l 的斜率为 155 5、（ 2016 年四川高考） 已知椭圆 E： 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3 个顶点，直线 l:y x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. （ I）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标； （ O 是坐标原点，直线 l平行于 椭圆 E 交于不同的两点 A、 B，且与直线 l 交于点 在常数，使得 2= 并求 的值 . 有方程组 22221,23, 得 223 1 2 (1 8 2 ) 0x x b . 方程 的判别式为 2= 24( 3)b ， 由 =0 ， 得 2=3b ， 此方程 的解为 =2x ， 所以椭圆 E 的方程为 22163. 点 T 坐标为（ 2,1） . 由 得 21 2 1 24 4 1 2=,33x x x . 所以 221 1 12 2 5 2( 2 ) ( 1 ) 23 3 2 3m m x y x ， 同理252223 x ， 所以125 2 2( 2 ) ( 2 )4 3 3 P B x x 2 1 2 1 25 2 2( 2 ) ( 2 ) ( )4 3 3mm x x x x 225 2 2 4 4 1 2( 2 ) ( 2 ) ( )4 3 3 3 3m m m m 2109 m 45，使得 2P T P A P B. 6、（ 2016 年天津高考） 设椭圆 13222 3a ）的右焦点为 F ，右顶点为 A ，已知| 3| 1| 1 ，其中 O 为原点， e 为椭圆的 离心率 . （ ）求椭圆的方程； （ ）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y 轴交于点 H ，若 ，且 ，求直线的 l 斜率 的取值范围 . 【解析】 （ 2） （ ）解：设直线 l 的斜率为 k （ 0k ），则直线 l 的方程为 )2( 设 ),( BB 由方程组)2(13422消去y ，整理得 0121616)34( 2222 解得 2x ，或34 68 22 题意得34 68 22 而34 122 k 由（ ）知， )0,1(F ，设 ),0( 有 ),1( ， )34 12,34 49( 222 k kk ，得 0 所以 0341234 49 222 k k H，解得2492 H 的方程为2 4912 . 设 ),( MM 由 方 程 组)2(12491 2去 y ， 解 得 )1(12 920 22 在 中，| A ，即 2222)2( ，化简得 1即 1)1(12 92022 解得46k. 所以，直线 l 的斜率的取值范围为 ),4646,( . 7、（ 2016 年全国 I 高考） 设圆 22 2 1 5 0x y x 的圆心为 A，直线 l 过点 B（ 1,0）且与 x 轴不重合， l 交圆A 于 C， D 两点，过 B 作 平行线交 点 E. （ I）证明 B 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； （ 点 E 的轨迹为曲线 线 l 交 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四 边形 积的取值范围 . 【解析】 （ ）因为 | ， ，故 ， 所以 | ，故 | . 又圆 A 的标准方程为 16)1( 22 从而 4| 所以 4| 由题设得 )0,1(A ， )0,1(B ， 2| 由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为： 13422 0y ） . 8、（ 2016 年全国 考） 已知椭圆 :E 2213的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点，斜率为 ( 0)的直线交 E 于 , N 在 E 上， A （ ） 当 4 , | | | |t A M A N时，求 的面积； （ ） 当 2 N 时，求 k 的取值范围 【解析】 当4圆 E 的方程为143， A 点坐标为 20， 则直线 方程为 2y k x 联立 221432x 并整理得， 2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k 解得2x或228634kx k，则222228 6 121 2 13 4 3 4 k 因为N，所以2221 12 121141 33 4 1A N kk 因为0k， 所以22212 1211434 3 ，整理得 21 4 4 0k k k ， 24 4 0 无实根，所以1k 所以面积为221 1 12 144112 3 4 49 直线 方程为 y k x t， 联立 2213k x t 并整理得， 2 2 2 2 23 2 3 0tk x t t k x t k t 解得或2233t tk tx ， 所以222223633t t k t k t 所以2 613 因为2 N所以222662 1 13 3 ，整理得，23632k 因为椭圆 E 的焦点在 x 轴，所以3t，即236332 ，整理得 231202k解得3 22k 9、（ 2016 年全国 考） 已知抛物线 C ： 2 2的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线12, 于 点，交 C 的准线于 两点 （ I）若 F 在线段 ， R 是 中点，证明 Q ； （ 的面积是 的面积的两倍，求 点的轨迹方程 . 10、（ 2016 年浙江高考） 如图，设椭圆 2 22 1x （ a 1） . （ I）求直线 y= 被椭圆截得的线段长（用 a、 k 表示）； （ 任意以点 A（ 0,1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围 . 【试题解析】（ I）设直线 1y 被椭圆截得的线段为 ，由 22211y 得 2 2 2 21 2 0a k x a k x ，故 1 0x ， 22 2221 因此 22212 222111x x （ 设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ， Q ，满足 Q 记直线 ， Q 的斜率分别为1k，2k，且1k，2 0k ，12 11、 (2016 江苏省高考 ) 如图，在平面直角坐标系 ，已知以 M 为圆心的圆 M:22 12 14 60 0x y x y 及其上一点 A(2， 4) (1) 设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程； (2) 设平行于 直线 l 与圆 M 相交于 B、 C 两点，且 A,求直线 l 的方程； (3) 设点 T（ t,0）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得,T Q,求实数 t 的取值范围。 解：圆 M 的标准方程为 226 7 25 ，所以圆心 M(6， 7)，半径为 5,. （ 1）由圆心 N 在直线 x=6 上，可设 06, 与 x 轴相切，与圆 M 外切， 所以007y，于是圆 N 的半径为0y，从而0075 ，解得1. 因此，圆 N 的标准方程为 6 1 1 . (2)因为直线l以直线 l 的斜率为40220 . 设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2m=0， 则圆心 M 到直线 l 的距离 2 6 7 5 因为222 4 2 5 , A 而222 ,2 d 所以 2525 55m ，解得