第十章-重积分的应用

第九章第九章 二二 重积分的应用重积分的应用 重积分的应用十分广泛 尤其是在几何和物理两方面 几何方面的应用有利 用二重积分求平面图形的面积 求曲面面积 利用三重积分求立体体积 物理 方面的应用有求质量 求重心 求转动惯量 求引力等 在研究生入学考试中 该内容是 高等数学一 和 高等数学二 的考试内容 通过这一章节的学习 我们认为应达到如下要求 1 掌握重积分的几何和物理意义 并能应用于实际计算 2 对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解 并能利用重积分 解决应用问题 3 具备空间想象能力 娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力 一 知识网络图一 知识网络图 求引力 求转动慣量 求重心 求质量 物理应用 求曲面面积 求立体体积 求平面图形面积 几何应用 重积分的应用 二 典型错误分析二 典型错误分析 例例 1 求如下平面区域 D 的面积 其中 D 由直线及曲线所围xyx 21 xy 成 如图 y 2 2 1 xy 2 1 2 O 1 2 x 错解 8 9 2 2 2 1 22 2 1 dyydxdydS y D 分析 平面图形的面积可以利用二重积分来计算 这一点并没有错 问题在于 区域 D 若先按 x 积分 再按 y 积分 则应注意到区域 D 因此划分为两个部分 在这两个部分 x y 的积分限并不相同 因此此题若先积 x 后积 y 则应分两 部分分别积分 再相加 正确解 2ln 2 3 22 1 1 2 1 2 1 y y D dxdydxdydS 例例 2 设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线上一段弧与直线 2 2 0 所围成 它的面密度为 求该薄片的质量 2 22 yxyx 错解 240 2 3 4 2 0 3 2 0 2 2 0 d r drrddM D 分析 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分 因此解法的第 一步是正确的 注意到积分区域的边界有圆弧 而被积函数为 22 yxyx 因此积分的计算采用极坐标系算 这一点也是正确的 问题在于在直角坐标转 化为极坐标时 应由来代替 解题过程中缺少了一项 导致计算dxdy rdrdr 结果错误 因此 务必不能遗漏 r 正确解 400 2 4 5 2 0 4 2 0 2 2 0 d r rdrrddM D 例例 3 计算以 xoy 面上的圆周围成的区域为底 而以曲面1 22 yx 为顶的曲顶柱体的体积 22 yxz 错解 222 2 0 1 1 1 1 yxy y D dzdxdydVV 分析 如按此思路求解 即使接下去采用极坐标变换法 计算量仍然相当大 极易导致计算错误 该解法的不当之处在于没有注意到底和面都具有对称性 可利用对称性减少计算量 正确解 2 4 1 0 2 2 01 22 22 rdrrddxdyyxdVV yx D 例例 4 求锥面被柱面所割下部分的曲面面积 22 yxz xz2 2 错解 锥面被柱面所割下部分的曲面在 xoy 面上的投影区 22 yxz xz2 2 域为 因此xyx2 22 cos2 0 2 0 2rdrddxdyS D 2 0 2 cos4d 分析 求曲面的面积 应首先确定曲面在坐标面上的投影区域 这一点是正确 的 但解法中忽略了求曲面积分在前应有一因子 dxdy 2 2 1 y z x z 正确解 锥面被柱面所割下部分的曲面在 xoy 面上的投影 22 yxz xz2 2 区域为 而 xyx2 22 211 22 2 22 2 2 2 yx y yx x y z x z 因此 cos2 0 2 0 222rdrddxdyS D 2cos24 2 0 2 d 例例 5 设薄片所占的闭区域 D 为半椭圆区域 求均匀薄片的0 1 2 2 2 2 y b y a x 重心 yx 错解 2 ab M 0 22 0 22 dxxax a b dyxdxxdxdyM xa a b a a a a D x 所以 又因 所以 0 M M y x 2 3 2 abydxdyM D y 3 4b M M x y 分析 重心的计算公式为 但 而 M M y x 3 4b M M x y D x ydxdyM 此类公式容易混淆 D y xdxdyM 正确解 如图 y O x 由于是均匀薄片 D 为半椭圆区域具有对称性 因此 0 x 而 所以 22 0 xa a b a a D x ydydxydxdyM 2 3 2 ab 2 ab M 所以 ab ab M M y x 2 3 2 2 3 4b 3 4 0 b yx 三 综合题型分析三 综合题型分析 例例 6 求由下列曲线所围成的闭区域 D 的面积 D 由曲线所围成的第一象限内的闭区域 3333 4 4 yxyxxyxy 分析 试着画草图发现区域 D 的形状不容易确定 但若注意到四条曲线方程可 变形为 由此想到可令 从而 4 1 4 1 3333 y x y x x y x y v y x u x y 33 将不规则区域 D 化成一个方形区域 解 令 则区域 D 化为 v y x u x y 33 41 41 vu 8 3 8 1 8 1 8 3 vuyvux 2 3 2 3 8 1 vu vu yx J 8 1 8 1 8 1 4 1 4 1 2 3 2 3 2 3 2 3 dvvduuvdudvudA D 方法小结 对于不规则图形 欲求其面积 可注意其方程是否有规律性 从中 寻求适当的变量替换 将不规则图形转化为规则图形 以简化计算 例例 7 求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积 1 c z b y a x 分析 根据曲面面积计算公式 平面 xy D dxdy y z x z A 22 1 在 xoy 面上的投影为 即以 a b 为直角边的直角三角形 1 c z b y a x 1 b y a x 如图 z O b y a x 解 平面可表示为 故 1 c z b y a x y b c x a c cz b c y z a c x z 2 2 1 y z x z 222222 2 2 2 2 1 1acabba abb c a c D dxdy y z x z A 22 1 D dxdyacabba ab 222222 1 222222222222 2 1 2 11 accbbaabacabba ab 方法小结 根据曲面面积计算公式 首先须 xy D dxdy y z x z A 22 1 将曲面方程化成的形式 并求出曲面在坐标面上的投影区域 本题 yxfz 的特点在于因子为一常数 因此问题就转化为计算投影区域 2 2 1 y z x z 的面积 而本题的投影区域恰好为一三角形 故可直接求出其面积 例例 8 计算由四个平面所围成的柱体被平面及1 1 0 0 yxyx0 z 截得的立体的体积 632 zyx 分析 首先要画出题设的柱体 为此先考察柱体在 xoy 面上的投影 因为柱体被平面所截 其在投影正方形四个10 10 yx632 zyx 顶点上的高分别为 6 3 1 4 连接相应的交线 即得所求立体的草图 z 1 2 y 1 3 x 解 2 7 2 2 9 0 1 2 3 26 326 1 0 1 2 1 0 1 0 326 0 1 0 1 0 dxxdxyxyy dyyxdxdzdydxdVV o yx D 方法小结 求立体图形的体积 关键在于正确地画出图形 为此须了解各类常见 空间几何体 如平面 直线 二次曲面等 的方程和形状 并能绘出各类几何体 的交点或交线 从而确定所求几何体的形状 例例 9 求由平面所围成的柱体被平面及抛物面1 0 0 yxyx0 z 截得的立体的体积 zyx 6 22 分析 求立体的体积 首先需画出草图 注意到抛物面开口向下 zyx 6 22 因此截柱体所得立体以为顶 以平面为底 而在 xoy 面上zyx 6 22 0 z 的投影区域为一三角形区域 由所围成 1 0 0 yxyx z 6 O 1 y 1 x 解 6 17 1 3 1 66 0 1 3 1 6 6 1 0 332 1 32 1 0 22 1 0 6 0 1 0 1 0 22 dxxxxxdx x yyxy dyyxdxdzdydxdVV o xyxx D 方法小结 若所求立体为柱体被其他曲面所截得 则只需确定其顶部曲面方程 和底部曲面方程 即得 z 的积分区域 而 x y 的积分区域则可根据顶部在 xoy 面上的投影而定 例例 10 利用三重积分计算下列曲面 球面及 0 2 222 aazzyx 所围成的立体的体积 222 zyx 分析 所求立体的上部为球面 下部为圆锥面 在在 xoy 面上的投影区域为圆 因此不难化成三重积分 但注意到所涉及的曲面方程 用球面坐标计算会更为 方便 所求立体如图所示 z a O y x 解 用球面坐标 立体区域为 cos20 4 0 20 ar 3 4 0 3333 4 3 4 0 cos2 0 2 4 0 2 0 coscos 3 16 cossin 3 8 2 0 cos2 3 sin2sin adada d a r drrdddVV o a 方法小结 若所求立体为球面 圆锥曲面等所围成 投影区域为圆域 则采用 球面坐标计算更为方便 例例 11 设有一等腰直角三角形薄片 腰长为 a 各点处的面密度等于该点到直角 顶点的距离的平方 求该薄片的重心 y a x y a yx O a x 分析 由于面密度等于该点到直角顶点的距离的平方 即 由 22 yxyx 对称性可知 重心 满足 套用重心公式 即可求得 yx yx 解 43 0 32 0 22 000 6 1 3 1 adxxaxax dyyxdxdyyxdxM a xaxaaa axa D y dyyxxdxxdxdyyxM 00 22 53 0 32 15 1 3 1 adxxaxaxx a 从而薄片的重心坐标为 所以薄片的重心为a a a M M yx y 5 2 6 1 15 1 4 5 5 2 5 2 aa 方法小结 求重心有固定的公式 D D y dxdy dxdyx M M x D Dx dxdy dxdyy M M y 当面密度函数关于 x y 对称 而区域 D 也为对称图形时 可得 从而减yx 计算量 例例 1212 求位于两圆 r 2sin 和 r 4sin 之间的均匀薄片的重心 分析 y D O x 如图所示 均匀薄片 D 对称于 y 轴 重心 必位于 y 轴上 所以 只yx 0 x 需计算 根据题设 用极坐标计算会比较方便 y 解 不妨设密度为 1 因为闭区域 D 对称于 y 轴 所以重心 必位于 yyx 轴上 于是 0 x 再按公式计算 由于闭区域 D 位于半径为 1 与半径为 2 的 D Dx dxdy ydxdy M M yy 两圆之间 所以它的面积等于这两个圆的面积之差 即 A 3 再利用极坐 标计算积分 所以 7sinsin sin4 sin2 2 0 2 drrddrdrydxdy DD 所以重心为 3 7 3 7 D Dx dxdy ydxdy M M y 3 7 0 方法小结 求重心有固定的公式 如果物体为均匀薄片 可设密度为 D D y dxdy dxdyx M M x D Dx dxdy dxdyy M M y 1 从而进一步简化计算 而题中薄片面积的计算也比较巧妙 例例 1313 求均匀半球体的重心 分析 为使物体关于坐标系具有对称性 可取半球体的对称轴为z轴 原点取 在球心上 这样半球体的重心就位于 z 轴上 从而重心只需算一个坐标分量 解 取半球体的对称轴为z轴 原点取在球心上 又设球半径为 a 则半球体 所占空间闭区域 可用不等式 x2 y2 z2 a2 z 0 来表示 显然 重心在z轴 上 故 0 yx 8 3 sincos 2 3 sincos 2 311 2 0 2 00 33 23 a drrdda ddrdrrazdv V dvz M z a 因此重心为 8 3 0 0 a 方法小结 求物体的重心 也可尽量使物体的位置关于坐标系具有对称性 从而 达到简化计算的目的 而该题中由于物体为半球体 因此用球面坐标计算三重 积分会更为方便 例例 14 14 在均匀半圆形薄片的直径上 要接上一个一边与直径等长的均匀矩形薄片 为 了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上 问接上去的均匀薄片另一边的长度应 是多少 分析 设半圆形薄片的半径为 R 所接矩形薄片的另一边长度为 H 如下图 根据题意 均匀薄片的重心 满足 0 从中可逆推出 H 值 yx yx y O R x H 解 设半圆形薄片的半径为 R 所接矩形薄片的另一边长度为 H 由题意 均 匀薄片的重心 满足 yx 0 yx 而 又因 3 2 23 22 RHRydydxydxdyM R R xR H D x 0 M M y x 所以得 从中解得 所以接上去的均匀薄片另一边0 3 2 23 RHRRH 3 2 的长度为时 其重心恰好落在圆心上 R 3 2 方法小结 对于本题 选择一个合理的坐标系有助于我们解题 由于将圆心置 于原点 从而使重心坐标 满足 从中可求得待定的边长 yx 0 yx 例例 15 设有一半径为R的球体 P0是此球体的表面上的一个定点 球体上任一 点的密度与该点到P0距离的平方成正比 比例常数k 0 求球体的重心位置 分析 恰当地选取坐标系可以简化计算 因此可选球心为原点 射线 OP0为正 x 轴建立直角坐标系 解 记所考虑的球体为 以 的球心为原点 O 射线 OP0为正 x 轴建立直角 坐标系 则点 P0的坐标为 R 0 0 球面的方程为 2222 Rzyx 设 的重心位置为 zyx dVzyRxk dVzyRxkx x 222 222 由对称性 得 0 y 0 z 而 dVRdVzyxdVzyRx 2222222 2 00 5522 2 0 15 32 3 4 sin8 R RRdrrrdd dVxRdVzyRxx 2222 2 6222 15 8 3 2 RdVzyx R 4 15 32 15 8 5 6 R Rk kR x 所以 的重心位置为 0 0 4 R 方法小结 本题也可将定点 P0设为原点 球心为Q 射线 P0Q 为正 z 轴建立 直角坐标系 则球面的方程为 Rzzyx2 222 采用如上方法可求的重心位 置为 0 0 5R 4 例例 1616 已知均匀半球体的半径为 a 在该球体的底圆的一旁拼接一个半径与球 的半径相等 材料相同的均匀圆柱体 使圆柱体的底圆与半球的底圆重合 为 了使拼接后的整个立体重心恰好是球心 问圆柱的高应为多少 分析 建立坐标系 使圆柱体与半球的底圆在 XOY 面上 圆柱体的中心轴为 z 轴 这样立体关于坐标系具有对称性 由题意知重心恰好为原点 利用重心坐 标计算公式可反解出圆柱的高 解 如图所示 设所求圆柱的高为 H 半球和圆柱体分别为 21 z O y x 由题意知重心恰好为原点 故 于是0 zyx 111 21 zdvzdv V zdv V dvz M z 而 从 0 2 4 sincos 222 00 2 00 3 2 2 0 21 aHa zdzrdrddrrddzdvzdv Haa 中解得 aH 2 2 方法小结 本题由于适当选取了坐标系 使重心坐标简化 而是否应用柱面坐 标和球面坐标计算三重积分又是根据立体的特征而定 例例 17 设均匀薄片 面密度为 1 薄片所占区域为 求转动惯量1 2 2 2 2 b y a x y y I b O a x 分析一 由于区域 D 为椭圆 中心位于原点 因此具有对称性 所以求转动惯 量时 只须求区域 D 上的转动惯量 4 1 解一 dxxax a b dydxxdxdyxI aaxa a b D y 222 000 22 44 22 令 2 0 0 cos sin axxdadxax 2 0 3 2 0 23224 2 0 4cos1 2 2 sincossin4 d ba dbada a b I y ba ba 3 3 4 0 2 4 4sin 2 分析二 解法一中的变量替换是比较常见的 考虑到区域 D 是椭圆 可通过适 当的变量替换 将椭圆区域化为圆 从而简化计算 解二 令 则在此变换下 D 化为 sin cosbryarx 1 2 2 2 2 b y a x 又 所以 20 10 r abr r yx 2 0 1 0 3232222 coscosdrrdbaabrdrdradxdyxI D y ba3 4 方法小结 在遇到积分区域为对称图形时 常利用对称性来简化计算 而根据 积分形式或积分区域采用适当的变量替换往往可以提高计算效率 对于特殊图 形 例如椭圆 可令 从而变换为圆 1 2 2 2 2 b y a x sin cosbryarx 1 r 例例 18 求由抛物线及直线所围成的均匀薄片 面密度为常数 对于 2 xy 1 y 直线的转动惯量 1 y 分析 均匀薄片对于 x 轴 其方程为 的转动惯量有公式0 y 类似地 对于直线 其转动惯量 D x dxdyyI 2 1 y D y dxdyyI 2 1 1 解 105 368 1 8 3 1 1 3 1 1 3 1 1 2 1 1 2 3 1 2 1 1 2 12 dxx dx x ydyydxdxdyyI x D y 方法小结 当遇到求物体关于非坐标轴的转动惯量时 可根据物体关于坐标轴 的转动惯量公式作平行推广 从而使重积分的应用更为广泛 例例 19 19 求半径为 a 的均匀半圆薄片 面密度为常量 对于其直径边的转动惯 量 分析 设薄片所占闭区域D可表示为 而所求转动惯量即半0 222 yayx 圆薄片对于x轴的转动惯量 x I 解 设薄片所占闭区域D可表示为 则所求转动惯量即半圆0 222 yayx 薄片对于x轴的转动惯量 x I 2 4 0 3 0 2232 4 1 24 1 sinsin Ma adrrddrdrdxdyyI a DD x 其中为平面薄片的质量 2 2 1 aM 方法小结 求物体关于某一条边的转动惯量 可将该边置于坐标轴上 尽量使物 体的位置关于坐标系具有对称性 从而达到简化计算的目的 例例 20 求高为 h 半顶角为 密度为的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯 4 量 分析 取对称轴为 z 轴 圆锥体顶点为原点 则问题化为求物体关于坐标轴的 转动惯量 可直接套用公式 解 取对称轴为 z 轴 圆锥体顶点为原点 建立坐标系 则所求转动惯量为 z I 5 0 2 2 00 22 10 hrdrrddzdvyxI zh z 方法小结 取转动轴为坐标轴 则问题化为求物体关于坐标轴的转动惯量 可 直接套用公式 而柱面坐标的运用可进一步简化计算 例例 21 求均匀柱体 对于点 M 0 0 a a h 处的单位质hzRyx 0 222 量的质点的引力 分析 根据柱体的对称性 及分别是 x y 的奇函数 易知均 33 r ydv G r xdv G yx FF 为零 因此只需计算 z F 解 由柱体的对称性 及分别是 x y 的奇函数 易知 33 r ydv G r xdv G 0 yx FF 而 dv azyx az Gdv r az GFz 3222 3 h Ryx azyx dxdy dzazG 03222 222 2 2222 00322 2 0 ahRhaRG azr rdr ddzazG hR 方法小结 从上题中可以看出 匀质具有对称性的物体对某一质点的引力 可 利用其对称性 及被积函数的奇偶性来简化计算 当遇到积分域为圆域时 用 极坐标计算更为简便 例例 22 在 xoy 面上有一质量为 M 的匀质半圆形薄片 占有平面区域 的 过圆心 O 垂直于薄片的直线上有一质量为 m 的质点0 222 yRyx P aOP 求半圆形薄片对质点 P 的引力 分析 根据引力计算公式 首先需求出匀质半圆形薄片的密度 由 区 域 D 的 对 称 性 知的计算可套用公式 0 x F zy FF 解 由 已 知 令 为 面 密 度 薄 片 面 积 薄 片 质 量 2 2 1 RS MS 2 2 M R 建 立 如 图 所 示 直 角 坐 标 系 由 区 域 D 的 对 称 性 知Fx 0 D y ayx yd GmF 2 3 222 R dr ar r d R GmM 0 2 3 22 2 0 2 sin 2 R arr ar r R GmM 0 22 22 2 ln 4 4 2 22 22 GmM R RRa a R Ra ln D 2 3 222 z ayx d GmaF R ar rdr d R GmMa 0 2 3 22 0 2 2 1 aR a R GmM2 ar ard 2 1 R GmM2 22 2 R 0 2 3 22 22 2 zyx F F FF 其 中 22 22 2 yx aR R a aRR ln R GmM4 F 0F 1 aR a R GmM2 F 22 2 z 2 2222 00322 2 0 ahRhaRG azr rdr ddzazG hR 方法小结 从上题中可以看出 匀质具有对称性的物体对某一质点的引力 可 利用其对称性来简化计算 当遇到积分域为圆域时 用极坐标计算更为简便 四 考研试题分析四 考研试题分析 例例 23 1989 年高数一 设半径为 R 的球面的球心在定球面上 问当 R 取 0 2222 aazyx 何值时 球面在定球面内部的那部分面积最大 答案 aR 3 4 分析 球面在定球面内部的那部分面积属于曲面面积 欲求空间曲面面积 0 y x z D p a 222 Ryx R R 必须建立曲面方程 并且明确曲面在坐标面上的投影区域 球面0 zyxF 在定