2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4.2 对数函数的性质及其应用学案 新人教A版必修第一册

1 第第 2 2 课时课时 对数函数的性质及其应用对数函数的性质及其应用 1 掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法 2 会解简单的对数不等式 3 掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法 4 了解反函数的概念及它们的图象特点 1 对数函数值的符号规律 1 a 1 时 当 x 1 时 y 0 当 0 x 1 时 y 0 2 0 a 1 时 当 0 x0 当 x 1 时 y0 且 a 1 和对数函数 y logax a 0 且 a 1 互为反函数 1 函数 y ax与 y logax 中 它们的定义域 值域 单调性有何关系 答案 指数函数 y ax的定义域 r r 是函数 y logax 的值域 函数 y ax的值域是函 数 y logax 的定义域 且 a 1 时 y ax与 y logax 均为增函数 0 a 1 时均为减函数 2 判断正误 正确的打 错误的打 1 函数 y log0 2x 的图象与函数 y log0 2x 的图象关于 y 轴对称 2 若 0 a1 则 logablogbx 则 a b 答案 1 2 3 4 2 题型一比较对数值的大小 典例 1 比较下列各组中两个值的大小 1 ln0 3 ln2 2 log30 2 log40 2 3 log3 log 3 4 loga3 1 loga5 2 a 0 且 a 1 思路导引 利用对数单调性比较大小 解 1 因为函数 y lnx 是增函数 且 0 3 2 所以 ln0 3log0 23 log0 24 所以 即 log30 2log30 2 3 因为函数 y log3x 是增函数 且 3 所以 log3 log33 1 因为函数 y log x 是增函数 且 3 所以 log 3log 3 4 当 a 1 时 函数 y logax 在 0 上是增函数 又 3 1 5 2 所以 loga3 1 loga5 2 当 0 a 1 时 函数 y logax 在 0 上是减函数 又 3 1loga5 2 比较对数值大小时常用的 4 种方法 3 1 同底的利用对数函数的单调性 如典例 1 1 2 同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化 如典例 1 2 3 底数和真数都不同 找中间量 如典例 1 3 4 若底数为同一参数 则根据底数对对数函数单调性的影响 对底数进行分类讨论 如典例 1 4 针对训练 1 比较下列各题中两个值的大小 1 lg6 lg8 2 log0 56 log0 54 解 1 因为函数 y lgx 在 0 上是增函数 且 6 8 所以 lg64 所以 log0 56log22 1 log55 log54 log23 log54 题型二求解对数不等式 典例 2 1 已知 loga 1 求 a 的取值范围 1 2 2 已知 log0 7 2x 1 得 loga logaa 1 2 1 2 当 a 1 时 有 a 此时无解 1 2 4 当 0 a 1 时 有 a 从而 a 1 1 2 1 2 a 的取值范围是 1 2 1 2 函数 y log0 7x 在 0 上为减函数 由 log0 72x1 x 的取值范围是 1 常见对数不等式的 2 种解法 1 形如 logax logab 的不等式 借助 y logax 的单调性求解 如果 a 的取值不确定 需分 a 1 与 0 ab 的不等式 应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式 再借助 y logax 的单调性求解 针对训练 2 不等式 log2 2x 3 log2 5x 6 的解集为 a 3 b 3 2 3 c d 3 2 6 5 6 5 3 解析 由error 得 x0 loga1 当 a 1 时 y logax 是增函数 error 解得 a 2 3 a 1 当 0 a 1 时 y logax 是减函数 error 解得 a 1 3 2 3 5 a0 所以 x2 所以函数的定义域为 1 2 令 t x2 3x 2 则 y log0 7t 显然 y log0 7t 在 0 上是单调递减的 而 t x2 3x 2 在 1 2 上分别是单调递减和单调递增的 所以函数 y log0 7 x2 3x 2 的单调递增区间为 1 单调递减区间为 2 求对数型函数单调区间的方法 1 求形如 y logaf x 的函数的单调区间 一定树立定义域优先意识 即由 f x 0 先求定义域 2 求此类型函数单调区间的两种思路 利用定义求解 借助函数的性质 研究函 数 t f x 和 y logat 在定义域上的单调性 利用 同增异减 的结论 从而判定 y logaf x 的单调性 针对训练 4 求函数 y 1 x2 的单调区间 解 要使 y 1 x2 有意义 则 1 x2 0 x2 1 则 1 x 1 因此函数的定义域为 1 1 令 t 1 x2 x 1 1 当 x 1 0 时 x 增大 t 增大 y t 减小 x 1 0 时 y 1 x2 是减函数 6 当 x 0 1 时 y 1 x2 是增函数 故函数 y 1 x2 的单调增区间为 0 1 函数的单调递减区间为 1 0 题型四与对数函数有关的值域问题 典例 4 求下列函数的值域 1 y log2 x 4 2 f x log2 x2 4x 12 思路导引 求出真数的范围 利用对数函数的单调性求解 解 1 因为 x 4 4 所以 log2 x 4 log24 2 所以函数的值域为 2 2 因为 x2 4x 12 x 2 2 16 16 所以 00 解得 1 x 3 函数的定义域是 1 3 设 u x2 4x 3 1 x 3 则 u x 2 2 1 1 x 3 01 和 0 ac bb b c a c c b ad c a b 解析 a log43log44 1 由对数函数的性质可知 8 log53 log43 b a0 得 x 所以 f x log 1 2x 的定义域为 因为 1 2 1 2 1 2 y 1 2x 在 内是减函数 所以 f x 在内是增函数 故选 c 1 2 答案 c 4 不等式的解集为 解析 由error 得 2 x 1 答案 x 2 x0 且 a 1 1 x 1 x 1 求 f x 的定义域 2 判断函数的奇偶性 3 求使 f x 0 的 x 的取值范围 解 1 由 0 得 1 x1 时 由 loga 0 loga1 1 x 1 x 得 1 所以 0 x 1 1 x 1 x 当 0 a0 loga1 1 x 1 x 得 0 1 1 x 1 x 所以 1 x1 时 x 的取值范围是 x 0 x 1 当 0 a 1 时 x 的取值范围是 x 1 x 0 点评 对数函数是一类具有特殊性质的初等函数 利用函数的图象和性质可以研究 符合对数函数的图象性质的综合问题 课后作业 三十二 复习巩固 一 选择题 1 若 lg 2x 4 1 则 x 的取值范围是 a 7 b 2 7 c 7 d 2 解析 lg 2x 4 1 0 2x 4 10 解得 2 x 7 x 的取值范围是 2 7 故选 b 答案 b 2 已知实数 a log45 b 0 c log30 4 则 a b c 的大小关系为 1 2 a b c ab b a c c c a bd c b1 b 0 1 c log30 4 0 故 c b a 1 2 答案 d 10 3 已知 则 a n m 1b m n 1 c 1 m nd 1 n m 解析 因为 0 n 1 故选 d 1 2 答案 d 4 函数 f x 的单调递增区间是 a b 0 1 0 1 2 c 0 d 1 解析 f x 的图象如右图所示 由图象可知单调递增区间为 1 答案 d 5 函数 f x log2 x2 4x 12 的值域为 a 3 b 3 c 3 d 3 解析 u x2 4x 12 x 2 2 8 8 且 2 1 f x log28 3 答案 a 二 填空题 6 设函数 y ax的反函数为 f x 则 f a 1 与 f 2 的大小关系是 解析 因为 y ax的反函数为 f x f x logax 当 a 1 时 a 1 2 f x logax 是单调递增函数 则 f a 1 f 2 当 0 a 1 时 a 1f 2 综上 f a 1 f 2 答案 f a 1 f 2 7 设 a 1 函数 f x logax 在区间 a 2a 上的最大值与最小值之差为 则 1 2 a 解析 a 1 f x logax 在 a 2a 上递增 11 loga 2a logaa 1 2 即 loga2 2 a 4 1 2 答案 4 8 函数 f x x 的单调递增区间为 2 解析 由 x 0 得 x0 t 2 ax 为定义域上的减函数 由复合 12 函数单调性 得 y logat 在定义域上为增函数 a 1 又函数 t 2 ax 0 在 0 1 上恒 成立 则 2 a 0 即可 a 2 综上 a 的取值范围是 1 2 综合运用 11 函数 f x lg的奇偶性是 1 x2 1 x a 奇函数b 偶函数 c 既是奇函数又是偶函数d 非奇非偶函数 解析 f x 的定义域为 r r f x f x lg lg lg lg1 0 f x 为 1 x2 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 x2 奇函数 选 a 答案 a 12 若函数 f x loga 2x 1 a 0 且 a 1 在区间内恒有 f x 0 则 f x 1 2 0 的单调减区间是 a b 1 2 1 2 c 0 d 0 解析 当 x 时 2x 1 0 1 1 2 0 所以 0 a0 得 2 x 6 x 2 2 时 u x2 4x 12 为增函数 y log u 在定义域上为减函数 1 3 函数的单调减区间是 2 2 答案 2 2 15 已知函数 f x loga 1 x loga x 3 其中 0 a 1 1 求函数 f x 的定义域 2 若函数