循环比赛名次R

1 1 实验报告 实验课名称 数学模型 指导教师 朱 学生姓名 年级专业 应用统计学 学号 2 2 实验名称 循环比赛的名次 实验日期 年 10 月 9 日 实验成绩 实 验 目 的 1 熟悉图论模型的建模方法 2 熟悉掌握用 matlab 处理图论模型中的相关计算 2 2 实 验 内 容 一 问题重述 若干支足球队参加单循环比赛 各队两两交锋 假设每场 比赛只计胜负 不计比分 且不允许平局 在循环赛结束后怎 样根据他们的比赛结果排列名次呢 我们的目标就是针对这种 不规则的比赛数据提出一种算法 尽可能合理地反映各队真实 水平 二 问题分析 有六支球队进行比赛 其中 1 队战胜 2 3 4 5 6 队 而输给了 3 队 5 队战胜 3 6 队 而输给 1 2 4 队 现用图的顶点表示球队 而用连接两个顶点的 以箭头标 明方向的边表示两支球队的比赛结果 根据比赛结果排名次的一个办法是在图中顺箭头方向寻找 一条通过全部 6 个顶点的路径 如 3 1 2 4 5 6 这表示 3 队胜 1 队 1 队胜 2 队 于是 3 队为冠军 1 队为 亚军等等 但是还可以找出其他路径 如 1 4 6 3 2 5 决定谁是冠军 3 3 排名次的另一个办法是计算得分 即每支球队获胜的场次 上例中 1 队胜 4 场 2 3 队各胜 3 场 4 5 队各胜 2 场 6 队 胜 1 场 由此虽可决定 1 队为冠军 但 2 3 队之间与 4 5 队 之间无法决出高低 4 4 实 验 内 容 三 模型假设 1 比赛是确定型的 或者每个队方差均为 0 抽样结果就是均 值 2 比赛的结果是可以精确反映相对实力的 没有误差 3 比赛的场次是完全的 任意两个队之间都有比赛成绩 1 12 2 3 3 4 4 5 5 6 6 5 5 四 符号说明 Pij 第 i 支球队胜第 j 支球队的概率 A 邻接矩阵 aij 表示第 i 支球队与第 j 支球队的能力 S 顶点的得分 n 表示 n 支球队 五 模型建立和解决 设 n 支球队或队员比赛 第 i 支球队与第 j 支球队由比赛 表现的能力为 aij pij aji 1 pij i 1 2 n 6 6 j 1 2 n 其中 pij 表示第 i 支球队胜第 j 支球队的概率 且设 aij 0 则第 i 支球队胜其余 n 1 支球队的能力表示为 Si ij i 1 2 3 n n j a 1 则各球队的排名根据 sij 的大小进行 1 i i 1 存在 存在从顶点i到j的有向边顶点i到j的有向边 0 否则0 否则 D 对于开始提出的 6 支球队循环比赛的结果 不难看出这个竞赛 图是双向连通的 写出其邻接矩阵 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 A 2 若记顶点的得分向量为 s 其中 是顶点 i 的得分 1 2 n n 则由 1 不难知道 7 7 S A1 1 1 1 1 3 由 2 3 式容易算出 s 4 3 3 2 2 1 记 s 称为一级得分向量 进一步计算 s s 1 A 4 2 s s 2 称为 2 级得分向量 每支球队 顶点 的 2 级得分是他战胜的 各个球队的 1 级 得分之和 与 1 级得分相比 2 级得分更有 理由作为排名次的依据 继续这个程序 得到 k 级得分向量 A 1 k 1 2 5 s s 3 s s 1 k k 4 3 3 2 2 1 s s 1 2 8 5 9 3 4 38 5 9 3 4 3 15 10 16 7 12 9 38 28 32 21 25 16 s s 3 4 K 越大 用作为排名次的依据越合理 如果 k时 收 s s s s 敛于某个极限得分向量 那么就可以用这个向量作为排名次的 依据 再利用 Perron Frobenius 定理 素阵 A 的最大特征根为 正单根对应正特征向量 s 且有 s 6 lim k k 进一步算出 A 的最大特征值根 2 232 和特征向量 s 0 238 0 164 0 231 0 113 0 150 0 104 从而排出名次为 1 3 2 5 4 6 8 8 六 模型优缺点以及改进 优点 该方案简单易行 原理清晰 依据可靠 论证有力 结论最优 并 将现实中的问题用简单的线性规划问题进行分析计算 结构简 单 计算方便 缺点 该模型在处理此问题时有假设与理想化的思想 与实际问题的 求解还有一定的距离 9 9 1010 1111 心 得 体 会 通过此次建模 令我们有了一次正式的亲自动手的机会 有利 于激发我们学习数学的兴趣 丰富我们数学探索的情感体验 有利于我们自觉检验 巩固所学的数学知识 促进对所学知识 的吸收 本次实验让我们收获颇丰