高等几何PPT题目

1 仿射变换仿射变换 推推论论 在在仿仿射射坐坐标标系系下下 直直线线的的方方程程为为 Ax By C 0 例例1 已已知知三三点点A 1 2 B 2 3 C 1 0 求求 ABC 解解 因因为为 3 2 03 02 3 2 1 2 1 1 cb ca cb ca yy yy xx xx 所所以以A B C三三点点共共线线 所所以以 3 2 ABC 例例2 已已知知A 1 1 B 1 2 直直线线AB交交直直线线2x 3y 1 0于于C 求求 ABC 解解 3 4 123 1 2 132 ABC A B C D E 推推论论 平平面面仿仿射射变变换换由由不不共共线线的的三三对对对对应应点点唯唯一一确确定定 例例1 试试确确定定将将点点A 1 2 B 1 1 C 0 1 分分别别变变为为点点A 1 1 B 1 0 C 1 1 的的仿仿射射变变换换 解解 设设所所求求变变换换为为 232221 131211 ayaxay ayaxax 分分别别将将三三对对对对应应点点代代入入得得 1312 131211 131211 1 1 21 aa aaa aaa 2322 232221 232221 1 0 21 aa aaa aaa 43 322 yxy yxx 故故所所求求变变换换为为 431322 232221131211 aaaaaa 解解得得 2 例例2 试试确确定定仿仿射射变变换换 使使 y 轴轴 x 轴轴的的象象分分别别为为直直线线 x y 1 0 x y 1 0 且且点点 1 1 的的象象为为原原点点 解解 设设 1 1 yxkyyxhx 将将 1 1 变变为为 0 0 得得 h 1 k 1 反反解解之之 得得所所求求变变换换为为 11 yxyyxx 所所以以 1 22 22 yx y yx x 注注 仿仿射射变变换换的的表表达达式式描描写写的的是是点点变变换换 02221 01211 yyaxay xyaxax 则则对对于于用用直直线线给给出出的的条条件件 我我们们必必须须用用另另一一种种 线线变变换换 的的观观 点点来来考考察察问问题题 5 图图形形的的仿仿射射性性质质 1 平平行行性性是是仿仿射射不不变变性性 证证明明 不不妨妨设设两两平平行行直直线线为为 212211 00cccbyaxlcbyaxl 设设仿仿射射变变换换的的逆逆变变换换为为 222 111 yxy yxx 0 0 2222111 1222111 cyxbyxa cyxbyxa 那那么么两两直直线线变变为为 化化简简 得得 0 0 2212121 1212121 cbaybaxba cbaybaxba 显显然然 它它们们是是平平行行的的 所所以以平平行行性性仿仿射射不不变变 推推论论1 相相交交直直线线变变为为相相交交直直线线 推推论论2 共共点点线线变变为为共共点点线线 3 2 单单比比是是仿仿射射不不变变量量 证证明明 设设共共线线三三点点为为Pi xi yi i 1 2 3 且且 设设仿仿射射变变换换为为 X AX X0 知知 向向量量表表示示 QPAQP 13 13 2221 1211 13 13 yy xx aa aa yy xx 23 23 2221 1211 23 23 yy xx aa aa yy xx 23 23 23 23 2221 1211 13 13 yy xx yy xx aa aa yy xx 所所以以 23 13 23 13 yy yy xx xx 将将 代代入入 得得 23 13 23 13 yy yy xx xx 所所以以 即即单单比比是是仿仿射射不不变变量量 推推论论 平平行行线线段段之之比比仿仿射射不不变变量量 3 三三角角形形面面积积之之比比是是仿仿射射不不变变量量 证证明明 取取笛笛氏氏直直角角坐坐标标系系 设设不不共共线线三三点点为为Pi xi yi i 1 2 3 111 2 1 321 321 321 yyy xxx S PPP 那那么么 设设仿仿射射变变换换为为 11001 232221 131211 y x aaa aaa y x 变变换换的的齐齐次次形形式式 111100111 321 321 232221 131211 321 321 yyy xxx aaa aaa yyy xxx 那那么么有有 两两边边取取行行列列式式 再再取取绝绝对对值值 得得 321321 21122211PPPPPP SaaaaS 同同理理 321321 21122211QQQQQQ SaaaaS 321 321 321 321 QQQ PPP QQQ PPP S S S S 所所以以 即即三三角角形形面面积积之之比比是是仿仿射射不不变变量量 推推论论 封封闭闭图图形形的的面面积积之之比比是是仿仿射射不不变变量量 4 x y O AB Q D P M 例例1 证证明明梯梯形形两两底底中中点点 两两腰腰交交点点 两两对对角角线线交交点点 四四点点共共线线 解解取取两两底底中中点点的的连连线线为为 y 轴轴 一一底底为为 x 轴轴建建 立立仿仿射射坐坐标标系系如如图图 AC的的方方程程为为 x a 1 y 1 0 BD的的方方程程为为 x a 1 y 1 0 解解得得P的的坐坐标标为为 0 1 AD的的方方程程为为 x a 1 y 1 0 BC的的方方程程为为 x a 1 y 1 0 解解得得Q的的坐坐标标为为 0 1 a 1 所所以以O M P Q都都在在 y 轴轴上上 即即O M P Q四四点点共共线线 例例求求仿仿射射变变换换的的不不变变点点和和不不变变直直线线 33 33 yxy yxx 设设不不变变直直线线为为 ax by c 0 那那么么 33 33 cbyaxk cyxbyxacybxa 得得 0 133 013 031 c b a k k k 0 133 013 031 k k k 由由 解解得得k1 1 k2 4 k3 2 解解 由由解解得得不不变变点点为为 1 1 33 33 yxy yxx 5 对对于于 k1 1 无无对对应应的的不不变变直直线线 故故舍舍去去 对对于于 k2 4 则则由由 0 333 033 033 c b a 解解得得 a b c 1 1 0 对对应应的的不不变变直直线线为为 x y 0 对对于于 k3 2 则则由由 0 333 033 033 c b a 解解得得 a b c 1 1 2 对对应应的的不不变变直直线线为为 x y 2 0 综综上上所所述述 所所求求的的不不变变点点为为 1 1 不不变变直直线线为为 x y 0 x y 2 0 平行投影 图图形形在在任任一一平平行行投投影影下下都都保保持持不不变变的的性性质质 量量 称称为为图图形形的的 仿仿射射不不变变性性质质 量量 3 3 平平行行投投影影的的基基本本不不变变性性 1 点点变变为为点点 直直线线变变为为直直线线 同同素素性性 2 点点在在直直线线上上变变为为点点在在直直线线上上 点点不不在在直直线线上上变变为为点点不不在在直直线线上上 结结合合性性 3 平平行行线线变变为为平平行行线线 平平行行性性 4 共共线线三三点点的的单单比比 A C B A C B CB CA BC AC 记记作作 ABC 称称为为共共线线三三点点A B C 的的单单比比 6 例例1 平平行行线线段段之之比比是是仿仿射射不不变变量量 A E C D B 证证明明 如如图图 延延长长AB至至E 使使CDEB是是平平行行四四边边形形 因因为为 AEB EB AB BE AB CD AB 而而单单比比是是仿仿射射不不变变量量 所所以以平平行行线线段段之之比比是是仿仿射射不不变变量量 例例2 圆圆在在平平行行投投影影下下的的象象是是椭椭圆圆 P P 用用与与圆圆柱柱的的母母线线斜斜交交的的平平面面截截圆圆柱柱 那那么么 截截线线是是一一个个椭椭圆圆 将将截截线线与与底底圆圆的的在在同同一一母母线线 上上的的点点视视作作对对应应点点 即即可可构构造造一一个个平平行行投投影影 所所以以圆圆在在平平行行投投影影下下的的象象是是椭椭圆圆 5 封封闭闭图图形形面面积积之之比比是是仿仿射射不不变变量量 例例3 证证明明梯梯形形两两底底中中点点 两两腰腰交交点点 两两对对角角线线交交点点 四四点点共共线线 证证明明 适适当当选选择择平平行行投投影影 将将梯梯形形 变变为为等等腰腰梯梯形形如如图图 那那么么三三角角形形QBC QAD都都是是等等腰腰三三角角形形 而而M N是是中中点点 所所以以Q M N都都在在BC的的中中垂垂线线上上 即即Q M N共共线线 另另一一方方面面 由由 DBC ACB 知知 DBC ACB 所所以以 PBC是是 等等腰腰三三角角形形 故故P在在BC的的中中垂垂线线上上 所所以以Q P M N共共线线 7 例例3 过过椭椭圆圆的的弦弦AB的的中中点点C任任作作二二弦弦PQ和和ST PS QT分分别别 交交AB于于M N 证证明明 MC CN 证证明明 适适当当选选择择平平行行投投影影 将将椭椭圆圆 变变为为圆圆 如如图图 过过P作作PR AB交交圆圆于于R 连连NR RT RS 因因为为C是是 AB的的中中点点 PR AB 所所以以CP CR 1 且且 NCR MCP 2 考考察察圆圆内内接接四四边边形形TQPR 知知 QTR QPR 1800 因因为为 QPR CRP NCR 所所以以 NTR NCR 1800 因因为为 QPR CRP NCR 所所以以 N C R T共共圆圆 所所以以 CRN CTN CPM 3 由由 1 2 3 知知 MCP NCR 所所以以 MC CN 因因为为单单比比仿仿射射不不变变 所所以以原原结结论论成成立立 A B C Q 8 y A B 例例4 求求以以a b 为为长长短短半半轴轴的的椭椭圆圆的的面面积积 解解 适适当当选选择择平平行行投投影影 以以x轴轴为为对对应应轴轴 A A 为为一一对对对对应应点点 将将椭椭圆圆变变为为圆圆 如如图图 那那么么有有 BAOOAB S S S S 所所以以 ab a aba S SS S BAO OAB 2 2 2 1 2 1 圆圆 椭椭圆圆 研研究究性性课课题题 单单比比 1 设设点点C分分线线段段AB所所成成的的比比为为 则则 ABC 2 设设 ABC x 那那么么点点C与与数数 x 构构成成一一个个一一一一对对应应 3 设设数数轴轴上上的的点点A xa B xb C xc 则则 cb ca xx xx ABC 4 设设在在笛笛卡卡尔尔直直角角坐坐标标系系下下 共共线线三三点点A B C的的坐坐标标分分别别为为 xa ya xb yb xc yc 则则 cb ca cb ca yy yy xx xx ABC 9 5 如如图图 通通过过S的的直直线线x y z在在平平行行直直线线a a 上上 分分别别截截出出三三点点A B C和和A B C 则则 CBAABC A C AC S B B A x y B x y C ax by c 0 a a b b 6 如如图图 连连线线 AB 交交直直线线 l 于于点点 C 则则 cbyax cbyax ABC bb aa 思思考考题题 若若A B C D是是共共线线四四点点 则则 CD AB 是是仿仿射射不不变变量量 证证明明 因因为为 BDCACB CD BC BC AB CD AB 而而单单比比是是仿仿射射不不变变量量 所所以以 CD AB 是是仿仿射射不不变变量量 中心投影 10 第第二二章章射射影影平平面面 1 中中心心投投影影与与无无穷穷远远元元素素 研研究究对对象象 物物体体在在灯灯光光照照射射下下的的变变化化规规律律 l P 连连OP 设设OP与与的的交交点点为为P 则则称称为为P 在在中中心心O下下 的的射射影影 问问题题 中中心心投投影影是是数数学学 意意义义下下的的对对应应吗吗 原原因因分分析析 如如图图所所示示 P0无无象象点点 因因此此称称为为影影消消点点 其其原原因因是是OP0 l l 从从而而 OP0与与l l 无无交交点点 所所以以中中心心投投影影不不是是数数学学意意义义下下的的对对应应 例例 如如图图 设设三三直直线线P1P2 Q1Q2 R1R2交交于于一一点点S P1P2 Q1Q2 R1R2分分别别交交两两直直线线Ox1 Ox2于于P1 Q1 R1和和 P2 Q2 R2 求求证证 直直线线P1Q2与与P2Q1的的交交点点 P1R2与与P2R1 的的交交点点 Q1R2与与Q2R1的的交交点点在在一一直直线线上上 且且所所在在的的直直线线 通通过过O x1 1 x2 2 O R2 2 S P2 2 Q2 2 1 1 Q1 1 R1 1 证证明明 适适当当选选择择中中心心投投影影将将O S 变变为为无无穷穷远远点点 如如下下图图 仍仍用用原原字字母母 记记之之 易易知知X Y Z是是相相应应的的平平行行 四四边边形形的的中中心心 所所以以它它们们共共线线且且所所 在在直直线线平平行行于于直直线线 从从而而过过O点点 2 2 P1 1Q 1 1 X Y Z 因因为为同同素素性性 结结合合性性射射影影不不变变 所所以以原原命命题题成成立立 笛沙格定理 11 笛笛沙沙格格定定理理 若若两两个个三三点点形形对对应应顶顶点点的的连连线线共共点点 则则对对应应边边的的交交点点共共线线 12 我我们们只只就就空空间间的的情情形形加加以以证证明明 证证 设设三三点点形形ABC 与与A B C 对对应应顶顶点点连连线线 AA BB CC 交交于于一一点点O 对对应应边边AB与与A B 交交于于X BC与与B C 交交于于Y CA与与C A 交交于于点点Z 再再设设平平面面 与与平平面面 交交于于l 则则以以O为为中中心心的的透透视视对对应应 的的不不变变点点都都在在l上上 且且l上上的的点点都都是是不不变变点点 根根据据中中心心投投影影保保持持结结合合性性不不变变 可可知知X Y Z均均为为不不 变变点点 所所以以它它们们都都在在l 上上 即即X Y Z共共线线 l X Z B Y O A B C C 三三 笛笛沙沙格格定定理理的的应应用用 例例1 D E F分分别别是是 ABC的的边边BC CA AB上上的的 点点 且且AD BE CF是是三三角角形形的的高高 记记BC与与EF的的交交点点为为 X CA与与FD的的交交点点为为Y AB与与DE的的交交点点为为Z 证证明明 X Y Z三三点点共共线线 Z X Y F E D A B C 证证明明 考考察察三三点点形形ABC与与DEF 因因为为AD BE CF是是三三角角形形ANBC的的高高 所所以以AD BE CF共共点点 三三角角形形ABC 的的垂垂心心 于于是是根根据据笛笛沙沙格格定定理理知知BC与与 EF的的交交点点为为X CA与与FD的的 交交点点为为Y AB与与DE的的交交 点点为为Z 三三点点共共线线 13 例例2 直直线线AB与与CD交交于于U 直直线线AC与与BD交交于于V 直直 线线UV分分别别交交AD BC于于F G 直直线线BF与与AC交交于于L 求求证证 三三直直线线LG CF AU交交于于一一点点 D AU F C V B G L 证证明明 考考察察三三点点形形LFA和和GCU 因因为为LF与与GC交交于于B FA与与CU交交于于D AL与与UG交交于于V 而而B D V三三点点共共线线 所所以以根根据据笛笛沙沙格格逆逆定定理理 知知三三直直线线 LG CF AU共共点点 14 例例3 已已知知两两条条平平行行直直线线a与与b以以及及不不在在此此二二直直线线上上的的 一一点点M 试试用用一一条条没没有有刻刻度度的的直直尺尺过过M作作一一条条平平行行于于a的的 直直线线 1957 北北京京 b a c M N Z L X Q P R 作作法法 任任作作一一条条与与a b都都相相交交的的直直线线c 过过M任任作作一一直直线线MX交交c于于X 交交b 于于L 过过L任任作作一一直直线线LN交交a于于N 交交c于于Z 连连MN交交c于于Y 过过Y任任作作一一直直线线交交a于于Q 连连QZ交交b于于P 连连PX交交YQ于于R 连连MR 则则直直线线MR即即为为所所求求 证证明明略略 Desargues定定理理 注注4 关关于于Desargues构构图图 左左图图表表 示示了了一一对对透透视视的的三三点点形形ABC A B C AABCB CX BBOCA C AY CCABA BZ 共点于三点共线 左左图图中中共共有有十十个个点点 十十条条直直线线 过过每每个个点点有有三三条条直直线线 在在每每条条直直线线上上 有有三三个个点点 这这十十点点 十十线线地地位位平平等等 此此 图图称称为为Desargues构构图图 BAZOB CYAOC XZYCB AZYCOB YCA ZBA OAA A 齐次坐标 15 例例 1求求下下列列各各点点的的齐齐次次坐坐标标 1 0 0 1 P 0 1 2 P 1 0 3 P 3 5 2 4 P 齐齐次次坐坐标标 一一般般形形式式 0 0 0 331 xxP 0 0 2 P 特特定定一一组组 1 0 0 1 P 0 0 3 P 1 0 1 2 P 1 1 0 3 P 0 3 5 2 4 P 3 5 6 4 P 2 求求直直线线0 332211 xaxaxa上上的的无无穷穷远远点点 解解 0 332211 xaxaxa与与无无穷穷远远直直线线 x3 0 的的交交点点 a1 a2 a3 0 0 1 a2 a1 0 即即为为所所求求的的无无穷穷远远点点 例例 2 求求下下列列各各点点的的齐齐次次方方程程 1 x轴轴上上的的无无穷穷远远点点 0 0 0 1 1 u 2 y轴轴上上的的无无穷穷远远点点 0 0 1 0 2 u 3 原原点点 0 1 0 0 3 u 4 点点 1 2 2 0 22 321 uuu 5 方方向向为为 03 21 uu 3 1 的的无无穷穷远远点点 6 无无穷穷远远直直线线上上的的点点 0 0 221121 uxuxxx 思思考考 本本例例中中这这 些些点点的的齐齐次次方方程程分分别别 与与哪哪些些直直线线的的齐齐次次方方 程程形形式式上上相相同同 3 1 0 平面对偶定理 16 例例1 已已知知平平面面上上无无三三点点共共线线的的五五点点X A B C D 试试求求 直直线线 XC XD与与直直线线AB的的交交点点的的齐齐次次坐坐标标 解解 因因为为直直线线 XC XD AB的的齐齐次次坐坐标标分分别别为为 X C X D A B 所所以以 直直线线 XC与与AB的的交交点点为为 A B X C XCB A XCA B 同同理理 直直线线 XD与与AB的的交交点点为为 A B X D XDB A XDA B 例例 3已已知知共共线线三三点点 a 3 1 1 b 7 5 1 c 6 4 1 求求 使使得得 bac 解解令令 1 5 7 1 1 3 1 4 6 其其中中 为为非非零零比比例例常常数数 可可解解得得 3 于于是是 可可适适当当选选取取 a b c 的的齐齐次次坐坐标标 使使得得 c a 3b 注注 的的存存在在是是齐齐次次性性的的体体现现 对对于于相相异异的的共共线线三三点点a b c 必必可可适适当当选选取取其其齐齐次次坐坐标标 使使 得得 c a b 637 415 3 4 17 例例 3代代数数对对偶偶结结论论举举例例 1 点点 CBA 0 321 CuBuAu 1 直直线线 CBA 0 321 CxBxAx 2 原原点点 1 0 0 0 3 u 2 无无穷穷远远直直线线 1 0 0 0 3 x 3 无无穷穷远远直直线线上上的的点点 0 BA 0 21 BuAu 3 过过原原点点的的直直线线 0 BA 0 21 BxAx 请请在在课课后后尽尽可可能能多多地地练练习习画画出出已已知知图图形形的的对对偶偶图图形形 写写出出已已知知 命命题题的的对对偶偶命命题题 并并从从对对偶偶原原则则出出发发 重重新新审审视视前前面面所所学学知知识识 4 4 平面对偶原则平面对偶原则 交比 18 3 交交比比的的计计算算 2 在在仿仿射射坐坐标标下下 设设Pi i 1 2 3 4 为为共共线线四四点点 则则 3241 4231 421 321 4321 xxxx xxxx PPP PPP PPPP 1 BCAD BDAC CDAB 3 设设共共线线四四点点的的齐齐次次坐坐标标为为 Pi xi yi i 1 2 3 4 33 22 44 11 44 22 33 11 4321 yx yx yx yx yx yx yx yx PPPP 4 设设共共线线四四点点的的非非齐齐次次坐坐标标为为 4 3 2 1 iyxP iii 则则 3241 4231 3241 4231 4321 yyyy yyyy xxxx xxxx PPPP 5 设设共共线线四四点点的的齐齐次次坐坐标标为为 4 3 2 1 izyxP iiii 33 22 44 11 44 22 33 11 33 22 44 11 44 22 33 11 4321 zy zy zy zy zy zy zy zy zx zx zx zx zx zx zx zx PPPP 19 214213 PPPPPP 6 设设则则 4321 PPPP 例例1 设设共共线线四四点点 求求 1 2 3 4 0 1 1 1 4321 PPPP 4321 PPPP 解解因因为为 0 134 101 111 所所以以题题中中给给出出的的坐坐标标是是齐齐次次坐坐标标 所所以以 3 1 31 11 34 01 12 11 12 01 34 11 4321 PPPP 另另解解 设设 213 PPP 即即 0 1 1 1 3 4 解解得得 1 3 所所以以 P3 3P1 P2 3 1 21 PP 同同理理 P4 P1 P2 所所以以 3 11 3 1 4321 PPPP 5 线线束束的的交交比比的的计计算算 1 设设li y kix i 1 2 3 4 则则 3241 4231 4321 kkkk kkkk llll 2 设设 则则 214213 llllll 4321 llll 3 设设共共点点四四线线的的齐齐次次坐坐标标为为 4 3 2 1 icbal iiii 则则 33 22 44 11 44 22 33 11 33 22 44 11 44 22 33 11 4321 cb cb cb cb cb cb cb cb ca ca ca ca ca ca ca ca llll 20 例例2 已已知知 023 012 21 yxlyxl 015 07 43 xlyxl 求求 4321 llll 解解 1 四四直直线线的的齐齐次次坐坐标标分分别别为为 2 1 1 3 1 2 7 1 0 5 0 1 代代入入公公式式得得 2 1 07 23 15 12 15 23 07 12 4321 llll 2 易易知知 2 1 2 21421213 llllllll 由由公公式式知知 2 1 1 2 1 4321 llll 例例3 托托勒勒密密定定理理 圆圆内内接接凸凸四四边边形形的的对对边边乘乘积积的的和和 等等于于对对角角线线的的积积 证证明明 因因为为 X BC AD X BA CD 1 即即 C A 1 sinsin sinsin sinsin sinsin AXCBXD AXDBXC CXABXD CXDBXA 由由正正弦弦定定理理得得 1 ACBD ADBC CABD CDBA 即即 BDACBCADCDAB 21 例例4 设设A B C D是是 O上上的的四四点点 P P 是是 O上上 的的任任意意二二点点 证证明明 P AB CD P AB CD 证证明明 根根据据圆圆的的性性质质及及交交比比 计计算算公公式式可可知知 sinsin sinsin sinsin sinsin CDABP CPBDPA DPBCPA BPCAPD BPDAPC CDABP P A P B C D 例5 过过圆圆的的弦弦AB的的中中点点O任任作作另另外外两两弦弦CE DF 连连结结EF CD 交交AB于于G H 求求证证 GO OH 证明 因因为为A F C B为为圆圆上上四四点点 从从 而而有有 CBAFDCBAFE 以以直直线线AB截截这这两两个个线线束束 得得 HBAOOBAG 利利用用交交比比的的初初等等几几何何表表示示可可得得 AB OB OH AH AB GB GO AO OH AH GO GB 所以 OH OHAO GO OBGO OH AO GO OB OHGO 注注 同同理理可可证证 G O OH 22 例例6 设设X A B C D是是平平面面上上的的任任意意五五点点 X与与A B C D中中的的任任意意二二点点都都不不共共线线 证证明明 BCXADX BDXACX CDABX X A B C D C D 证证明明 因因为为 B BDX ADX ABXDAAXDBBADXD B BCX ACX ABXCAAXCBBACXC 所所以以 BCXADX BDXACX DCABCDABX 调和比 2 2 完完全全四四点点形形的的调调和和性性 1 调调和和比比 例例1 1 设设C为为线线段段AB的的中中点点 P为为直直线线AB上上的的无无穷穷 远远点点 试试求求 AB CP 2 设设直直线线c d分分别别是是由由直直线线a b所所成成角角的的平平分分线线 试试求求 ab cd 定定义义 若若 P1P2 P3P4 1 则则称称 点点组组P1 P2 P3 P4为为调调和和点点组组 列列 点点偶偶P1 P2 与与P3 P4 互互为为 调调和和分分离离 点点偶偶P1 P2 与与P3 P4 互互为为 调调和和共共轭轭 点点P4为为P1 P2 P3的的第第四四调调和和点点 交交比比值值 1 为为调调和和比比 23 2 2 完全四点形与完全四线形的调和性完全四点形与完全四线形的调和性 定理 完全四点形的两个对 边点X Y的连线o交第三对对 边于S T 则 XY ST 1 定理完全四线形的两条对 顶线x y的交点O与第三对对顶 点相连得直线s t 则 xy st 1 A X Y T B D S C Z a d cb t s y x O 证明因为 Y Z E F B D X F 又又因因为为交交比比在在中中心心投投影影下下不不变变 所所以以 YZ EF ZY EF 根根据据交交比比的的性性质质得得 XY ST 2 1 显显然然 XY ST 1 所所以以 YZ EF 1 Z Y E F A X Y T B D S C Z 24 例1 已已知知直直线线l上上相相异异三三点点P1 P2 P3 求求作作第第四四调调和和点点P4 分析 利利用用推推论论1 构构造造一一个个完完全全四四点点形形 以以l为为其其对对边边三三点点形形的的一一边边 P1 P2是是对对边边点点 使使第第三三对对对对边边中中 一一条条过过P3 则则另另一一条条与与l的的 交交点点即即为为P4 解 作作法法 1 在在l外外任任取取一一点点A 连连AP1 AP2 2 过过P3作作直直线线分分别别交交AP1 AP2于于B D 3 连连P1D P2B交交于于C 4 连连AC交交l于于P4为为所所求求 注1 上上述述实实际际上上也也是是利利用用推推论论2作作图图 注2本本例例引引申申 例2 证证明明 梯梯形形两两腰腰延延长长线线的的交交点点与与对对角角线线的的交交点点连连线线平平分分 上上下下底底 证明 如如图图 ABCD为为梯梯形形 AD BC E F分分别别为为两两腰腰和和对对角角 线线的的交交点点 EF交交AD BC于于P Q 考考察察完完全全四四点点形形EAFD 设设AD BC G 由由完完全全四四点点形形的的调调和和性性知知 BC QG 1 因因为为AD BC 故故G 是 是无无穷穷远远点点 从从而而Q为为 BC的的中中点点 同同理理 P为为AD的的中中点点 本本例例引引申申 两两个个作作图图题题 1 已已知知一一线线段段的的中中点点 求求作作该该线线段段的的任任一一平平行行线线 2 已已知知一一线线段段及及其其一一条条平平行行线线 求求作作该该线线段段的的中中点点 25 例例如如图图 AD垂垂直直于于BC M是是AD上上的的任任意意一一点点 BM交交AC于于E CM交交AB于于F 证证明明 AD BC平平分分DE与与 DF所所成成的的角角 X Y 证证明明 连连直直线线EF分分别别交交直直线线 AD BC于于X Y 考考察察完完全全四四点点形形AFME 由由完完全全四四点点形形的的调调和和性性 得得 EF XY 1 即即 D EF XY 1 又又因因为为DX DY 所所以以AD BC平平分分 EDF 一维射影对应 26 1 透透视视对对应应 中中心心射射影影 定义以以下下三三种种对对应应称称为为一一维维基基本本形形的的透透视视对对应应 1 点点列列 线线束束 对对应应元元素素是是关关联联的的 CBAs cbaS 2 点点列列 点点列列 对对应应点点连连线线共共点点 CBAs CBAs 3 线线束束 线线束束 对对应应直直线线交交点点共共线线 cbaS cbaS s 透透视视中中心心 透透视视轴轴 注 1 透透视视对对应应是是两两个个一一维维基基本本形形之之间间的的一一个个双双射射 保保持持任任意意 四四对对对对应应元元素素的的交交比比不不变变 2 连连续续两两次次透透视视对对应应的的结结果果显显然然不不一一定定仍仍是是透透视视对对应应 S 2 一一维维射射影影对对应应的的综综合合法法定定义义 1 Poncelet定定义义 设设 为为两两个个一一维维基基本本形形 若若存存在在n个个一一维维基基本本形形 i i 1 2 n 使使得得 1 n 则则称称由由此此决决定定的的 到到 的的对对应应为为一一个个射射影影对对应应 记记作作 注注1 显显然然 注注2 为为一一个个保保交交比比的的双双射射 注注3 有有限限多多个个射射影影对对应应的的积积仍仍然然是是一一个个射射影影对对应应 2 Steiner定定义义 如如果果两两个个一一维维基基本本形形之之间间的的一一个个对对应应 满满足足 1 为为一一个个双双射射 2 使使得得任任意意四四对对对对应应元元素素的的交交比比相相等等 则则称称 为为 到到 的的一一个个射射影影对对应应 记记作作 所所以以透透视视对对应应是是射射影影对对应应的的特特例例 27 定定理理Poncelet定定义义 Steiner定定义义 证证明明 显显然然 用用同同一一法法证证明明点点列列 点点列列 设设 l P l P 为为满满足足Steiner定定义义的的射射 影影对对应应 只只要要证证 可可以以表表示示为为有有限限次次 透透视视对对应应的的积积 设设P0 P1 P2为为l P 上上相相异异三三点点 P为为l P 上上任任意意一一点点 且且 2 1 0 PPiPP ii 则则有有 210210 PPPPPPPP 连连P0 P1 P0 P2 P0P1 P0P2 设设P0 P1 P0P1 Q1 P0 P2 P0P2 Q2 连 连 Q1Q2 m 连连P0 P交交m于于Q 连连P0Q交交l于于P 设设P0P 0交交m于于Q0 则则 210 PPPPl 210 PPPPl 210 QQQQm P0 P0 据据Poncelet定定义义 有有 210 PPPPl 210 PPPPl 于于是是 210210210 PPPPPPPPPPPP 因因为为P0 P1 P2互互异异 故故P0 P1 P2 互互异异 从从而而P P PlP P P P 故故 可可以以通通过过两两次次透透视视对对应应得得到到 即即 满满足足Poncelet定定义义 28 例例1 Pappus定定理理 在在共共面面的的相相异异二二直直线线li 上上各各取取相相异异三三点点Ai Bi Ci i 1 2 设设 1221 1221 1221 NML NBABA MACAC LCBCB Pappus线证证明明设设直直线线A1B1与与A2B2交交于于O A1C2 交交A2B1于于X A2C1交交B1C2于于Y 因因为为 B1 A2 N X O A2 B2 C2 B1 Y L C2 所所以以 B1 A2 N X B1 Y L C2 又又因因为为 B1自自对对应应 所所以以 B1 A2 N X B1 Y L C2 所所以以 A2Y NL XC2共共点点 即即L M N共共线线 例例2 在在 ABC中中 直直径径为为BC的的圆圆交交AB AC于于E F 证证明明 自自这这两两点点所所引引圆圆的的切切线线交交于于点点P 求求证证 AP BC 证证明明 如如图图 连连CE BF 延延长长EP交交AC 于于S 延延长长FP交交AB于于T 因因为为E E B C F F E B C F 所所以以 E EB CF F EB CF F CF EB F FC BE 所所以以E E B C F F F C B E 那那么么由由EF自自对对应应知知 此此射射影影对对应应为为透透视视对对应应 所所以以对对应应直直线线的的交交点点共共线线 即即EB与与FC的的交交点点A EC与与BF 的的交交点点H 两两切切线线的的交交点点P共共线线 另另一一方方面面 BC是是直直径径 故故BF AC CE AB 故故H 是是 ABC的的垂垂心心 所所以以AP BC A F CB E TS P H 射影对应代数式 29 0 dc ba dcx bax xIV 0 2221 1211 2221212 2121111 aa aa xaxax xaxax V 例例1 求求射射影影对对应应式式 使使直直线线l 上上的的点点2 4为为坐坐标标的的点点 及及无无穷穷远远点点顺顺次次对对应应l 上上以以 1 1为为坐坐标标的的点点及及无无穷穷远远点点 解解 1 设设所所求求的的对对应应为为 0 dcxxbxax 将将各各对对应应点点的的坐坐标标代代入入 得得 0 044 022 a dcba dcba 解解得得a b c d 0 1 1 3 故故所所求求对对应应为为 x x 3 解解 2 将将各各点点的的坐坐标标改改写写为为齐齐次次坐坐标标 2 1 4 1 1 0 和和 1 1 1 1 1 0 0 2221 1211 2221212 2121111 aa aa xaxax xaxax 2111322212 121122221112111 0 4 4 2 2 aaaa aaaaaa 313112311212221 42 0 aaaa 代代入入对对应应的的齐齐次次表表达达式式 得得 解解得得 1 0 3 1 22211211 aaaa 即即 22 211 3 xx xxx 故故所所求求对对应应为为 六六个个方方程程 七七个个未未知知数数 30 例例2 求求射射影影对对应应 分分别别将将点点 1 1 1 1 2 1 变变为为 1 1 0 1 3 1 解解 所所给给各各点点的的非非齐齐次次坐坐标标为为 1 1 2 和和 1 0 3 设设所所求求对对应应为为a x x b x c x d 0 展展开开得得3 x x 5 x x 1 0 将将各各对对应应点点代代入入 得得 a b c d 0 c d 0 6 a 3 b 2 c d 0 从从而而有有 0 1236 1100 1111 1 xxxx 212 211 53xxx xxx 化化为为齐齐次次形形式式为为 一一维维射射影影变变换换的的分分类类 1 分分类类 设设有有射射影影变变换换 13 2 0 0 bcaddcba 若若存存在在 0 R 使 0 0 2 0 dcba 则则称称A 0B为为 的的一一个个不不变变元元素素 定定理理在在实实复复射射影影平平面面上上 任任一一个个一一维维射射影影变变换换至至少少有有一一个个 不不变变元元素素 非非恒恒同同的的一一维维射射影影变变换换至至多多有有两两个个相相异异的的不不变变元元素素 证证明明 在在 2 13 中中 令令 则则有有一一维维射射影影变变换换的的不不变变元元素素方方程程 14 2 0 0 2 bcaddcba 立立刻刻可可得得结结论论 据据此此可可得得一一维维射射影影变变换换的的分分类类 0 0 2 14 2 13 0 31 1 双双曲曲型型 椭椭圆圆型型射射影影变变换换 定定理理对对于于双双曲曲 椭椭圆圆型型射射影影变变换换 任任一一对对相相异异的的对对应应元元素素与与 两两个个不不变变元元素素的的交交比比为为定定值值 称称为为双双曲曲 椭椭圆圆型型射射影影变变换换的的特特征征不不 变变量量 证证明明 设设X Y为为两两个个不不变变元元素素 P P 为为任任一一对对相相异异的的对对应应元元素素 设设X Y P P 的的坐坐标标依依次次为为x y x y x y 则则这这四四点点的的参参数数依依次次为为 0 1 于于是是 00 00 ddcba 0 0 11 1 adcba 01 c b cb 从从而而 b c PPXY 1 例例4 设设数数列列的的递递推推公公式式为为 0 6 32 1 1 1 x x x x n n n 试试求求此此数数列列的的通通项项公公式式 解解 由由解解得得 e 1 f 3 6 32 x x x 又又 从从而而 所所以以 2 1 60 30 2 x 5 3 12 xxef 3 1 5 3 3 1 1 n n n x x 解解得得 11 11 1 1 353 53 3 3 1 5 3 1 1 3 1 5 3 3 nn nn n n n x 32 例例1 设设A1A2A3为为坐坐标标三三点点形形 O 1 1 1 A2O A1A3 A P是是 A2A3上上的的动动点点 PO A1A2 Q QA A2A3 P 若若P P 的的齐齐次次坐坐标标分分 别别为为 0 1 0 1 求求 P 到到 P 的的射射影影变变换换的的方方程程和和不不变变元元素素 解解 显显然然 P A3 A2 P A3 A2 所所以以 只只要要求求出出 的的关关系系式式 1 1 1 0 1 0 2 O A 0 312 xxOA 1 0 1 A 1 1 1 1 0 OP 0 1 321 xxxPO 1 0 1 1 0 AP 0 321 xxxAP Q AA AP PO 21 0 100 1 11 01 0 11 1 0 1 2 2 A 例例2 设设P P Q Q 为为点点列列l P 上上射射影影变变换换的的两两对对对对应应点点 E是是不不 变变点点 V V 是是过过E的的直直线线l 上上任任意意两两点点 PV P V P QV Q V Q 求求证证 P Q l F为为另另一一个个不不变变点点 证证明明 设设P Q l F 则则有有 FEPPl P FEVVl FEVVl Q FEQQl 从从而而 FEPPl FEQQl 于于是是 PP EF QQ EF 从从而而E F为为两两个个不不变变点点 另法 由由作作图图 有有 FEQP V FFQP V FEQP 所所以以 E F为为两两个个不不变变点点 如图 33 例例4 设设点点列列l P 上上射射影影变变换换为为抛抛物物型型的的 E是是不不变变点点 P P 为为一一对对 相相异异的的对对应应点点 当当把把P 看看成成第第一一点点列列的的点点时时 其其对对应应点点为为R 求求证证 EP PR 1 证证明明 利利用用上上例例作作图图 因因为为E是是唯唯一一不不变变点点 所所以以必必有有P Q l E 考考察察完完全全四四点点形形VV P Q 立立即即可可得得 1 PREP 法法二二 代代数数法法 设设E P P R的的参参数数依依次次为为 1 2 3 4 由由抛抛物物型型射射影影变变换换的的性性质质 有有 PP 11 1213 k RP 11 1412 k 由由此此二二式式 得得 112 141312 变变形形可可得得 EP PR 1 对合 5 5 一维基本形的对合一维基本形的对合 证证明明 设设一一维维射射影影变变换换 f P P 由由其其相相异异的的三三对对对对应应元元素素 Pi Pi i 1 2 3 确确定定 则则有有 321 PPPf 3 2 1 PPP 现现设设P1 P1 为为 f 的的一一个个互互易易偶偶 即即 32 11 PPPPf 3 21 1 PPPP 3 21 132 11 PPPPPPPP 设设P2 作作为为 P 的的元元素素时时 其其对对应应元元素素为为 P 中中的的Q 来来证证Q P2 因因为为 3 22 11 PPPPPf 3 21 1 PQPPP 2 2 11 21 1 22 11 PQQPPPQPPPPPPP 3 22 11 PPPPPf 32 21 1 PPPPP 即即P2 P2 也也是是互互易易偶偶 同同理理 任任意意一一对对对对应应元元素素为为互互易易偶偶 f 为为对对合合 34 5 5 一维基本形的对合一维基本形的对合 例1 设设A A B B 为为对对合合的的两两对对对对应应元元素素 E F为为其其两两个个不不变变元元 素素 求求证证 A B A B E F属属于于另另一一对对合合 证明 只只要要证证这这三三对对对对应应元元素素满满足足对对合合的的几几何何条条件件 因因为为 FEBA FEBA 所所以以 EFBAEFAB 从从而而 BAFEABEFFEBAEFAB 3 21 132 11 PPPPPPPP 根根据据对对合合的的几几何何条条件件 结结论论成成立立 由由本本例例可可见见 不不必必背背诵诵几几何何条条件件的的各各种种形形式式 关关键键在在于于会会判判别别 2 5 2 5 一维基本形的对合一维基本形的对合 例2 设设 证明 由由题题设设 有有 所所以以 DECABEAC 3 21 132 11 PPPPPPPP 由由对对合合的的几几何何条条件件 E F为为由由A C B D所所决决定定的的对对合合的的不不变变元元素素 FEDCBA FEADCB 求求证证 E F为为由由A C B D所所决决定定的的对对合合的的不不变变元元素素 EBCA ECDB EDAC 同同理理 DFCABFAC 33 PP 由由本本例例可可见见 几几何何条条件件中中 也也可可以以包包含含不不变变元元素素 FEDCBA FEADCB 35 2 5 2 5 一维基本形的对合一维基本形的对合 例3 设设P P Q Q 为为对对合合的的两两对对对对应应元元素素 点点偶偶A B满满足足 证证明明 因因为为 所所以以 1 BAQPABQPABPQ 3 21 132 11 PPPPPPPP 根根据据对对合合的的几几何何条条件件 结结论论成成立立 1 ABQPABPQ 求求证证 A B也也是是此此对对合合的的对对应应点点偶偶 QPBAPQAB 36 2 5 2 5 一维基本形的对合一维基本形的对合 五五 Desargues对对合合定定理理 定理 Desargues对对合合定定理理 不不过过顶顶点点的的任任一一直直线线截截完完全全四四点点 形形的的三三双双对对边边于于同同一一对对合合的的三三对对对对应应点点 如如图图 P P Q Q R R 属属于于同同一一对对合合 注 由由于于对对合合的的特特性性 图图中中在在同同一一组组对对边边 上上带带 和和不不带带 的的字字母母可可以以任任意意标标注注 证明利利用用几几