2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法练习 新人教A版选修2-2

2.2.2 反证法基础练习1(2017年江西宜春月考)已知a，b，c是互不相等的非零实数，若用反证法证明三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axc0至少有一个方程有两个相异实根，反证假设应为()a三个方程中至多有一个方程有两个相异实根b三个方程都有两个相异实根c三个方程都没有两个相异实根d三个方程都没有实根【答案】c2(2017年安徽蚌埠期末)用反证法证明命题“若a2b20(a，br)，则a，b全为0”，其反设正确的是()aa，b至少有一个为0ba，b至少有一个不为0ca，b都为0da，b中只有一个为0【答案】b3设a，b，c(0，)，pabc，qbca，rcab，则“pqr0”是“p，q，r同时大于零”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【答案】c【解析】首先若p，q，r同时大于零，则必有pqr0成立其次，若pqr0且p，q，r不都大于0，则必有两个为负不妨设p0，q0，即abc0，bca0，bcd的必要不充分条件是()aacbbdcac且bddac或bd【答案】d【解析】a，b既不充分也不必要；c是充分不必要；d是必要不充分条件可用反证法证明如下：若ac或bd不成立，则ac且bd.两式相加，abcd，与abcd矛盾，故条件是必要的又取a10，b1，c4，d8，知条件是不充分的5(2017年安徽黄山期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中至多有一个偶数”正确的反设应为_【答案】a，b，c中至少有两个偶数6用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”正确的假设为_【答案】a，b，c都不是偶数7求证：1，2不能为同一等差数列的三项证明：假设1，2为同一等差数列的三项可设该等差数列的首项为a，公差为d，其中1，2分别是等差数列的第m，n，k项，则1a(m1)d，a(n1)d，2a(k1)d，1(nm)d，1(km)d，两式相除得1.又n，k，mn，是有理数又1是无理数，显然等式不成立，假设不成立1，2不能为同一等差数列的三项8已知f(x)x2pxq.求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.证明：(1)f(1)f(3)2f(2)1pq(93pq)2(42pq)2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)(84p2q)2，出现矛盾|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.能力提升9若abc能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是()a钝角三角形 b直角三角形 c锐角三角形 d不能确定【答案】b【解析】分abc的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线ad(点d在bc上)，则adbadc若adb为钝角，则adc为锐角，而adcbad，adcabd，abd与acd不可能相似，与已知矛盾，只有当adbadcbac时，才符合题意10(2019年贵州贵阳校级模拟)已知数列an，bn的通项公式分别为anan2，bnbn1(a，b是常数，且ab)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有( )a0个 b1个 c2个 d3个【答案】a【解析】假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得anbn，由题意ab，nn*，则恒有anbn，从而an2bn1恒成立，所以不存在n使anbn.11已知集合a，b，c0,1,2且下列三个关系：a2；b2；c0有且只有一个正确，则100a10bc等于_【答案】201【解析】假设正确，不正确，则a2，b2，c0，不合题意，所以不正确，即a2.所以b2必不正确，c0正确所以b0，c1.所以100a10bc20001201.12等差数列an的前n项和为sn，a11，s393.(1)求数列an的通项an与前n项和sn；(2)设bn(nn*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列【解析】(1)设公差为d，由已知，得d2，故an2n1，snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成