江苏高考数学公式

Bighui 1 高考数学公式高考数学公式 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA ABABA ABAAB 别忘记讨论特殊情况别忘记讨论特殊情况 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 集合集合有有个子集 有个子集 有个真子集 有个真子集 有个非空子集 有个非空子集 有个非空真子集个非空真子集 12 n a aa 2n21 n 21 n 22 n 真值表 真值表 同真且真 同假或假同真且真 同假或假 常见结论的否定形式常见结论的否定形式 原结论原结论反设词反设词原结论原结论反设词反设词 是是不是不是至少有一个至少有一个一个也没有一个也没有 都是都是不都是不都是至多有一个至多有一个至少有两个至少有两个 大于大于不大于不大于至少有至少有个个n 至多有 至多有 个 个1n 小于小于不小于不小于至多有至多有个个n 至少有 至少有 个 个1n 对所有对所有 成立 成立x存在某存在某 不成立 不成立x或或pq且且p q 对任何对任何 不成立 不成立x存在某存在某 成立 成立x且且pq或或p q 四种命题的相互关系四种命题的相互关系 下图下图 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 原命题 互逆 逆命题 若 则 若 则 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非 则非 互逆 若非 则非 充分条件与必要条件 小充分条件与必要条件 小大 大 1 如果 p q 则 p 是 q 的 充分条件 q 是 p 的 必要条件 2 如果 p q q p 则 p 是 q 的 充要条件 函数单调性函数单调性 复合函数的单调性 同增异减同增异减 等价关系 等价关系 1 1 设设那么那么 1212 x xa bxx 上是增函数 上是增函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是减函数上是减函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 Bighui 2 函数的奇偶性 注 函数的奇偶性 注 是奇偶函数的前提条件是 定义域必须关于原点对称 奇函数 奇函数 定义 定义 在前提条件下 若有 则 f x 就是奇函数 0fxf xfxf x 或 性质性质 1 奇函数的图象关于原点对称 2 奇函数在 x 0 和 x0 和 x 0 上具有相反相反的单调区间 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y y 轴对称轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 如果一个函数的图象关于那么这个函数是奇函数 如果一个函数的图象关于 y y 轴对称 那么这个函数是偶函数 轴对称 那么这个函数是偶函数 函数的周期性 函数的周期性 定义 定义 对 f x 若存在 T0 使 f x T f x 则就叫 f x 是周期函数 T 是 f x 的一个周期 周期函数几种常见的表述形式 周期函数几种常见的表述形式 1 若 f x a f x b a b 则 f x 是周期函数 其中一个周期是 T a b 2 若 f x a f x 则 f x 是周期函数 其中一个周期是 T 2a 3 若或 则 f x 是周期函数 其中一个周期是 T 2a 1 xf axf 1 xf axf 常见函数的图像 常见函数的图像 k0 y kx b o y x a0 y ax2 bx c o y x 对于函数对于函数 恒成立恒成立 则函数则函数的对称轴是的对称轴是 两个函数两个函数 xfy Rx xbfaxf xf 2 ba x 与与 的图象关于直线的图象关于直线对称对称 axfy xbfy 2 ba x 分数指数幂与根式的性质 分数指数幂与根式的性质 1 1 且 m nm n aa 0 am nN 1n 2 2 且 11 m n m nm n a a a 0 am nN 1n 3 3 n n aa Bighui 3 4 4 当 当为奇数时 为奇数时 当 当为偶数时 为偶数时 n nn aa n 0 0 nn a a aa a a 1313 指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 指数性质 指数性质 1 1 2 2 3 3 1 p p a a 0 1a 0a mnmn aa 4 4 5 5 mnm n aaa m m n n a a a 指数函数 指数函数 1 在定义域内是单调递增 2 2 在定义域内是单调递减 1 x yaa 01 x yaa 注 注 指数指数函数图象都恒过点 0 1 0 a1 1 y ax o y x 对数性质 对数性质 1 1 2 2 logloglog aaa MNMN logloglog aaa M MN N 3 3 4 4 5 5 loglog m aa bmb loglog m n a a n bb m log 10 a 6 6 7 7 log1 aa logab ab 对数函数 对数函数 1 在定义域内是单调递增 2 2 在定义域内是单调递减 log 1 a yx a log 01 a yxa 0 a1 1 y logax o y x 注 注 对数对数函数图象都恒过点 1 0 对数的换底公式对数的换底公式 且且 且且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N Bighui 4 数列数列 遇到遇到和和的关系式 的关系式 一般是考虑用它们之间的关系 一般是考虑用它们之间的关系 n a n S 2 1 1 1 nSS nS a nn n 等差数列 等差数列 通项公式 通项公式 1 1 1 n aand 2 推广 nk aank d 前前 n 项和 项和 1 1 2 n n n aa S 2 1 1 2 n n n Snad 常用性质 常用性质 1 若 m n p q 则有 mnpq aaaa 注 注 若的等差中项 则有 2n m p 成等差 mnp aa a是 mnp aaa 2 若 为等差数列 则为等差数列 n a n b nn ab 3 为等差数列 为其前 n 项和 则也成等差数列 n a n S 232 mmmmm SSSSS 4 0 pqp q aq apa 则 5 1 2 3 n 2 1 nn 等比数列 等比数列 通项公式 通项公式 1 其中为首项 n 为项数 q 为公比 1 1 n n aa q 1 a 2 推广 n k nk aaq 前前 n 项和 项和 1 1 1 1 1 1 n n naq S aq q q 常用性质 常用性质 1 若 m n p q 则有 mnpq aaaa 注 注 若的等比中项 则有 n m p 成等比 mnp aa a是 2 mnp aaa 2 若 为等比数列 则为等比数列 n a n b nn ab Bighui 5 弧度的定义和公式弧度的定义和公式 1 定义 长度等于 半径 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 弧度记作 rad 2 公式 弧度与角度的换算 360 弧度 180 弧度 1 弧度 57 30 2 180 弧长公式 l 扇形面积公式 S扇形 lr r2 r 1 2 1 2 三角函数的定义三角函数的定义 设 是一个任意角 它的终边上任意一点 P 的坐标为 x y OP r 我们规定 正弦 sin 余弦 cos 正切 tan 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin 诱导公式 先化成诱导公式 先化成 的形式 的形式 看成锐角 看看成锐角 看的奇偶 的奇偶 奇变偶不变 符号看象限奇变偶不变 符号看象限 2 k k 1 sin 2k sin cos 2k cos tan 2k tan 2 sin sin cos cos tan tan 3 sin sin cos cos tan tan 4 sin sin cos cos tan tan 5 sin cos cos sin sin cos cos sin 2 2 2 2 度数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 弧度0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 Sin0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 Cos1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 Tan 0 3 3 1 3 不存在 3 1 3 3 0 和角与差角公式和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 辅助角辅助角所在象限由点所在象限由点的象限决定的象限决定 sincosab 22 sin ab a btan b a 二倍角公式及降幂公式二倍角公式及降幂公式 cossin22sin Bighui 6 2222 cos2cossin2cos11 2sin 遇到平方用降幂公式遇到平方用降幂公式 2 2tan tan2 1tan 22 1 cos21 cos2 sin cos 22 三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数 x Rx R 及函数及函数的周期的周期 sin yx cos yx 2 T 函数函数 的周期的周期 tan yx 2 xkkZ T 三角函数的图像 三角函数的图像 函数y sin xy cos xy tan x 图象 定义域 R RR R x x k k Z 2 对称中心 k 0 k 2 0 k 2 0 对称轴 x k 2 x k 无 单调性 2k 2k 为增 2 2 2k 2k 为减 2 3 2 2k 2k 为减 2k 2k 为增 为增 k 2 k 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数 正弦定理正弦定理 R R 为为外接圆的半径 外接圆的半径 2 sinsinsin abc R ABC ABC 2 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC sin sin sina b cABC 三化建设 角化边 边化角 切化弦 三化建设 角化边 边化角 切化弦 cos sin tan 余弦定理 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 面积定理 面积定理 111 sinsinsin 222 SabCbcAacB 三角形内角和定理三角形内角和定理 在在 ABC ABC 中 有中 有 ABCCAB Bighui 7 CBAsin sin CBAcos cos CBAtan tan CBACBAtantantantantantan BABABA22222sin2sin或 实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律 设设 为实数 那么 为实数 那么 1 1 结合律 结合律 a a 2 2 第一分配律 第一分配律 a a a 3 3 第二分配律 第二分配律 a b a b 与与的数量积的数量积 或内积或内积 a b a b a b cos 1212 x xy y 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 1 1 设设 则 则 a 11 x yb 22 xya b 1212 xxyy 2 2 设设 则 则 a 11 x yb 22 xya b 1212 xxyy 3 3 设设 A A B B 则则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 4 设设 则 则 a x yR a xy 5 5 设设 则 则的模长的模长 a 11 x ya a 2 1 2 1 yx 两向量的夹角公式 两向量的夹角公式 1212 2222 1122 cos x xy ya b ab xyxy a 11 x yb 22 xy 向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设 设 且 且 则 则 a 11 x yb 22 xyb 0 交叉相乘差为零 交叉相乘差为零 ab ba 1221 0 x yx y 对应相乘和为零 对应相乘和为零 ab 0a 0a b A 1212 0 x xy y 三角形的重心坐标公式 三角形的重心坐标公式 ABC ABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为 则则 ABC ABC 的的 11 A x y 22 B x y 33 C x y 重心的坐标是重心的坐标是 123123 33 xxxyyy G 如图 E 为的重心 ED 3 则 AD 9 ABC 三角形四三角形四 心心 向量形式的充要条件 向量形式的充要条件 设设为为所在平面上一点 角所在平面上一点 角所对边长分别为所对边长分别为 则 则OABC A B C a b c 1 1 为为的外心的外心 OABC 222 OAOBOC 2 2 为为的重心的重心 OABC 0OAOBOC 3 3 为为的垂心的垂心 OABC OA OBOB OCOC OA 4 4 为为的内心的内心 OABC 0aOAbOBcOC 常用不等式 常用不等式 1 1 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 a bR 22 2abab Bighui 8 2 2 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 a bR 2abab 3 3 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 22 2 22 ababab ab ab 4 4 bababa 5 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 2 2 ab ab 极值定理极值定理 已知已知都是正数 则有都是正数 则有yx 1 1 若积 若积是定值是定值 则当 则当时和时和有最小值有最小值 xypyx yx p2 2 2 若和 若和是定值是定值 则当 则当时积时积有最大值有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 3 3 已知 已知 若 若则有则有 a b x yR 1axby 2 1111 2 byax axbyabababab xyxyxy 4 4 已知 已知 若 若则有则有 a b x yR 1 ab xy 2 2 abaybx xyxyabababab xyxy 一元二次不等式一元二次不等式 如果 如果与与同号 则其同号 则其 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac a 2 axbxc 解集在两根之外 如果解集在两根之外 如果与与异号 则其解集在两根之间异号 则其解集在两根之间 简言之 同号两根之外 异号简言之 同号两根之外 异号a 2 axbxc 两根之间两根之间 即 即 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 或 含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 当 当 a a 0 0 时 有时 有 22 xaxaaxa 或或 22 xaxaxa xa 斜率公式斜率公式 12 21 21 P P yy k xx 111 P x y 222 P xy 距离公式 距离公式 2 21 2 2121 yyxxPP 的中点坐标为的中点坐标为 21P P 2 2 2121 yyxx 直线的五种方程 直线的五种方程 1 点斜式 点斜式 直线直线 过点过点 且斜率为 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 2 斜截式 斜截式 b b 为直线为直线 在在 y y 轴上的截距 轴上的截距 截距可正可负可为截距可正可负可为 0 0 ykxb l 3 3 两点式 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 1212 xxyy 两点式的推广 两点式的推广 无任何限制条件 无任何限制条件 211211 0 xxyyyyxx 4 4 截距式截距式 分别为直线的横 纵截距 分别为直线的横 纵截距 1 xy ab ab 00ab 5 5 一般式 一般式 其中其中 A B 不同时为不同时为 0 0AxByC Bighui 9 d d d 交交 交交交交 交交交交 r1 r2 r2 r1od 直线的平行与垂直 直线的平行与垂直 1 1 与与 11 yk xb 22 yk xb 平行平行k1 k2且 b1 b2 垂直垂直k1 或 k1k2 1 1 k2 2 A1x B1y C1 0 与 A2x B2y C2 0 平行平行Error Error 或Error Error 垂直垂直A1A2 B1B2 0 点到直线的距离点到直线的距离 点点 直线直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 两条平行线 Ax By C1 0 与 Ax By C2 0 间的距离 d C1 C2 A2 B2 圆的四种方程 圆的四种方程 1 1 圆的标准方程 圆的标准方程 222 xaybr 2 2 圆的一般方程 圆的一般方程 0 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 3 圆 圆的参数方程的参数方程 222 xaybr cos sin xar ybr 4 4 圆的直径式方程 圆的直径式方程 圆的直径的端点是圆的直径的端点是 1212 0 xxxxyyyy 11 A x y 22 B x y 点与圆的位置关系 主要是看圆心到直线的距离点与圆的位置关系 主要是看圆心到直线的距离和半径和半径之间的大小关系 之间的大小关系 dr 点点与圆与圆的位置关系有三种 的位置关系有三种 00 P xy 222 rbyax 若若 则 则点点在圆外在圆外 22 00 daxby dr P 点点在圆上在圆上 点点在圆内在圆内 dr Pdr P 直线与圆的位置关系 直线直线与圆的位置关系 直线与圆与圆的位置关系有三种的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 22 BA CBbAa d 0 交交rd0 交交rd0 交交rd 两圆位置关系的判定方法两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为设两圆圆心分别为 O O1 1 O O2 2 半径分别为 半径分别为 r r1 1 r r2 2 则 则 dOO 21 交交交交交交4 21 rrd 交交交交交交3 21 rrd 交交交交交交2 2121 rrdrr 交交交交交交1 21 rrd 交交交交交交 21 0rrd Bighui 10 椭圆的概念 椭圆的概念 与两个定点 F1 F2的距离之和等于常数 即即a2 21 2FFa aPFPF2 21 标准方程 1 x2 a2 y2 b2 a b 0 1 y2 a2 x2 b2 a b 0 图形 范围 a x a b y b b x b a y a 对称性对称轴 坐标轴 对称中心 原点 顶点 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b A1 0 a A2 0 a B1 b 0 B2 b 0 轴长轴 A1A2的长为 2a 短轴 B1B2的长为 2b 准线方程 2 a x c 2 a y c 离心率 e 0 1 c a 性 质 a b c 的关系 a2 c2 b2 离心率离心率 2 2 1 cb e aa 准线到中心的距离为准线到中心的距离为 焦点到对应准线的距离 焦点到对应准线的距离 焦准距焦准距 2 a c 2 b p c 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经 其长度为 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经 其长度为 2 2 b a A 椭圆的的内外部椭圆的的内外部 1 1 点 点在椭圆在椭圆的内部的内部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 2 点 点在椭圆在椭圆的外部的外部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab Bighui 11 双曲线的概念 双曲线的概念 与两个定点 F1 F2的距离之差的绝对值等于常数 即即a2 21 2FFa aPFPF2 21 标准方程 1 x2 a2 y2 b2 a 0 b 0 1 y2 a2 x2 b2 a 0 b 0 图形 范围x a 或 x a y R x R y a 或 y a 对称性 对称轴 坐标轴 对称轴 坐标轴 对称中心 原点 对称中心 原点 顶点 顶点坐标 A1 a 0 A2 a 0 顶点坐标 A1 0 a A2 0 a 渐近线 y x b a y x a b 准线 2 a x c 2 a y c 离心率 e e 1 c a 性 质 实虚轴线段 A1A2叫做实轴 A1A2 2a 线段 B1B2叫做虚轴 B1B2 2b a b c 的关系 c2 a2 b2 双曲线双曲线的离心率的离心率 准线到中心的距离为 准线到中心的距离为 焦点到对应准线 焦点到对应准线 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 2 1 cb e aa 2 a c 的距离的距离 焦准距焦准距 过焦点且垂直于实轴的弦叫通经 其长度为 过焦点且垂直于实轴的弦叫通经 其长度为 2 b p c 2 2 b a A 焦半径公式焦半径公式 2 1 a PFe xaex c 2 2 a PFexaex c 5656 双曲线的方程与渐近线方程的关系双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 1 若双曲线方程为若双曲线方程为渐近线方程 渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 若双曲线方程为若双曲线方程为渐近线方程 渐近线方程 1 2 2 2 2 b x a y x b a y Bighui 12 抛物线的概念 抛物线的概念 动点到定点 F 距离与到定直线 l 的距离相等 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 标准方程 p 的几何意义 焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点O 0 0 对称轴y 0 x 0 焦点 F 0 p 2 F 0 p 2 F 0 p 2 F 0 p 2 离心率e 1 准线 方程 x p 2 x p 2 y p 2 y p 2 范围 x 0 y Rx 0 y Ry 0 x Ry 0 x R 开口方向向右向左向上向下 焦半径 其中 P x0 y0 PF x0 p 2 PF x0 p 2 PF y0 p 2 PF y0 p 2 抛物线抛物线的焦半径公式的焦半径公式 pxy2 2 抛物线抛物线焦半径焦半径 2 2 0 ypx p 0 2 p CFx 过焦点弦长过焦点弦长 pxx p x p xCD 2121 22 直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22 1212 ABxxyy 或或 222 122121 1 1 4 ABkxxkxxxx 球的半径是球的半径是 R R 则其体积 则其体积 其表面积其表面积 3 4 3 VR 2 4SR 球的组合体 球的组合体 1 1 球与长方体的组合体球与长方体的组合体 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 2 2 球与正方体的组合体球与正方体的组合体 正方体的内切球的直径是正方体的棱长正方体的内切球的直径是正方体的棱长 正方体的棱切球的直径是正方体的面正方体的棱切球的直径是正方体的面 对角线长对角线长 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 3 3 球与正四面体的组合体球与正四面体的组合体 棱长为棱长为的正四面体的内切球的半径为的正四面体的内切球的半径为a 6 12 a Bighui 13 正四面体高正四面体高的的 外接球的半径为外接球的半径为 正四面体