2020届高考数学理一轮新课标通用考点测试25解三角形的应用.pdf

考点测试 25 解三角形的应用 一 基础小题 1 从 A 处望 B 处的仰角为 从 B 处望 A 处的俯角为 则 之间的关 系是 A B C 90 D 180 答案 B 解析 根据仰角与俯角的含义 画图即可得知 2 在 ABC 中 若 A B C 成等差数列 且 AC BC 2 则 A 6 A 135 B 45 C 30 D 45 或 135 答案 B 解析 因为 A B C 成等差数列 所以 B 60 由正弦定理 得 2 sinA 则 sinA 又 BC AC 所以 A B 故 A 45 故选 B 6 sin60 2 2 3 海上有三个小岛 A B C 测得 BAC 135 AB 6 AC 3 若在 2 B C 两岛的连线段之间建一座灯塔 D 使得灯塔 D 到 A B 两岛距离相等 则 B D 间的距离为 A 3 B C D 3 1010132 答案 B 解析 由题意可知 D 为线段 AB 的垂直平分线与 BC 的交点 设 BD t 由 余弦定理可得 BC2 62 3 2 2 6 3cos BAC 90 解得 BC 3 由 2210 cos ABC 3 t 62 3 10 2 3 2 2 2 6 3 10 解得 t 故选 B 10 4 一船自西向东匀速航行 上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75 距塔 68 海里的 M 处 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处 则这只船的航行速度 为 A 海里 小时 B 34 海里 小时 17 6 26 C 海里 小时 D 34 海里 小时 17 2 22 答案 A 解析 如图所示 在 PMN 中 PM sin45 MN sin120 MN 34 68 3 26 v 海里 小时 故选 A MN 4 17 6 2 5 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 sinA a cosB b 则 ABC 的形状为 cosC c A 等边三角形 B 等腰直角三角形 C 有一个角为 30 的直角三角形 D 有一个角为 30 的等腰三角形 答案 B 解析 由正弦定理 得 又 两式相除 sinA a sinB b sinC c sinA a cosB b cosC c 得 1 tanB tanC 所以 B C 45 所以 A 90 故 ABC 为等腰直角三角 形 故选 B 6 如图所示 为了测量某湖泊两侧 A B 间的距离 李宁同学首先选定了 与 A B 不共线的一点 C ABC 的角 A B C 所对的边分别记为 a b c 然 后给出了三种测量方法 测量 A C b 测量 a b C 测量 A B a 则一定能确定 A B 间的距离的所有方案的序号为 A B C D 答案 D 解析 由题意可知 在 三个条件下三角形均可唯一确定 通过解三角 形的知识可求出 AB 故选 D 7 一艘海监船在某海域实施巡航监视 由 A 岛向正北方向行驶 80 海里至 M 处 然后沿东偏南 30 方向行驶 50 海里至 N 处 再沿南偏东 30 方向行驶 30 3 海里至 B 岛 则 A B 两岛之间的距离是 海里 答案 70 解析 依题意画出图形 连接 AN 则在 AMN 中 应用余弦定理可得 AN2 502 802 2 50 80 cos60 即 AN 70 应用余弦定理可得 cos ANM 所以 sin ANM 在 ANB 中 应用余弦 502 702 802 2 50 70 1 7 4 3 7 定理可得 AB2 30 2 702 2 30 70 cos ANB 而 cos ANB cos 150 33 ANM cos150 cos ANM sin150 sin ANM 3 3 14 所以 AB 70 30 3 2 702 2 30 3 70 3 3 14 8 某中学举行升旗仪式 在坡度为 15 的看台 E 点和看台的坡脚 A 点 分别 测得旗杆顶部的仰角分别为 30 和 60 量得看台坡脚 A 点到 E 点在水平线上的 射影 B 点的距离为 10 m 则旗杆的高是 m 答案 10 3 3 解析 由题意得 DEA 45 ADE 30 AE 所以 AD AB cos15 因此 CD ADsin60 sin60 10 3 AEsin45 sin30 2AB cos15 2 10 cos 45 30 3 二 高考小题 9 2016 全国卷 在 ABC 中 B BC 边上的高等于 BC 则 cosA 4 1 3 A B C D 3 10 10 10 10 10 10 3 10 10 答案 C 解析 解法一 过 A 作 AD BC 垂足为 D 由题意知 AD BD BC 则 1 3 CD BC AB BC AC BC 在 ABC 中 由余弦定理的推论可知 2 3 2 3 5 3 cos BAC 故选 C AB2 AC2 BC2 2AB AC 2 9BC2 5 9BC2 BC2 2 2 3 BC 5 3 BC 10 10 解法二 过 A 作 AD BC 垂足为 D 由题意知 AD BD BC 则 1 3 CD BC 在 Rt ADC 中 AC BC 2 3 5 3 sin DAC cos DAC 又因为 B 2 5 5 5 5 4 所以 cos BAC cos cos DAC cos sin DAC sin DAC 4 4 4 5 5 2 2 故选 C 2 5 5 2 2 10 10 10 2018 北京高考 若 ABC 的面积为 a2 c2 b2 且 C 为钝角 则 3 4 B 的取值范围是 c a 答案 2 3 解析 依题意有 acsinB a2 c2 b2 2accosB 则 1 2 3 4 3 4 tanB 0 B 2 3 2 又 A 0 0 A 则 0 tanA 故 2 1 tanA3 c a 1 2 3 23 故 的取值范围为 2 c a 11 2018 江苏高考 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c ABC 120 ABC 的平分线交 AC 于点 D 且 BD 1 则 4a c 的 最小值为 答案 9 解析 解法一 依题意画出图形 如图所示 易知 S ABD S BCD S ABC 即 csin60 asin60 1 2 1 2 acsin120 a c ac 1 1 2 1 a 1 c 4a c 4a c 5 9 当且仅当 即 a c 3 时取 1 a 1 c c a 4a c c a 4a c 3 2 解法二 作 DE CB 交 AB 于 E BD 为 ABC 的平分线 BA BC AD DC c a DE CB AD AC AE AB DE BC c a c BE a a cBA ED c a cBC BD a a cBA c a cBC 2 BD2 a a cBA c a cBC 1 2 2 2 a a cBA c a cBC a a c c a c BA BC 1 2 1 ac a c 1 ac 2 a c 2 1 a 1 c 4a c 4a c 5 9 当且仅当 即 a c 3 时取 1 a 1 c c a 4a c c a 4a c 3 2 解法三 以 B 为原点 BD 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系 则 D 1 0 AB c BC a A c C a c 2 3 2 a 2 3 2 A D C 三点共线 AD DC 1 a c 1 0 c 2 3 2 3 2 a 2 ac a c 1 1 a 1 c 4a c 4a c 5 9 当且仅当 即 a c 3 时取 1 a 1 c c a 4a c c a 4a c 3 2 12 2015 全国卷 在平面四边形 ABCD 中 A B C 75 BC 2 则 AB 的取值范围是 答案 6262 解析 解法一 如图所示 因为 A B C 75 所以 D 135 因为 BC 2 所以当点 D 与点 C 重合时 由正弦定理可得 解得 AB AB sin30 BC sin75 62 当点 D 与点 A 重合时 由正弦定理可得 解得 AB AB sin75 BC sin30 62 因为 ABCD 为平行四边形 所以 AB 6262 所以 AB 的取值范围是 6262 解法二 如图所示 延长 BA 与 CD 相交于点 E 过点 C 作 CF AD 交 AB 于点 F 则 BF AB BE 在等腰三角形 CBF 中 FCB 30 CF BC 2 BF 22 22 2 2 2cos30 62 在等腰三角形 ECB 中 CEB 30 ECB 75 BE CE BC 2 BE sin75 2 sin30 BE 2 1 2 6 2 462 AB 6262 所以 AB 的取值范围是 6262 13 2017 浙江高考 已知 ABC AB AC 4 BC 2 点 D 为 AB 延长线 上一点 BD 2 连接 CD 则 BDC 的面积是 cos BDC 答案 15 2 10 4 解析 AB AC 4 BC 2 cos ABC AB2 BC2 AC2 2 AB BC 1 4 ABC 为三角形的内角 sin ABC 15 4 sin CBD 15 4 故 S CBD 2 2 1 2 15 4 15 2 BD BC 2 ABC 2 BDC 又 cos ABC 2cos2 BDC 1 1 4 1 4 得 cos2 BDC 5 8 又 BDC 为锐角 cos BDC 10 4 三 模拟小题 14 2018 东北三校联考 若两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20 方向上 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40 方 向上 则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 A a km B a km C 2a km D a km 23 答案 D 解析 如图所示 依题意知 ACB 180 20 40 120 AC BC a km 在 ABC 中 由余弦定理知 AB a km 即灯塔 a2 a2 2 a a 1 2 3 A 与灯塔 B 的距离为a km 故选 D 3 15 2018 福建八校联考 我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求 三角形面积的 三斜公式 设 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c 面积为 S 则 三斜求积 公式为 S 若 1 4a2c2 a2 c2 b2 2 2 a2sinC 4sinA a c 2 12 b2 则用 三斜求积 公式求得 ABC 的面积为 A B 2 C 3 D 36 答案 A 解析 由正弦定理得 a2c 4a 所以 ac 4 且 a2 c2 b2 12 2ac 4 代 入面积公式得 故选 A 1 4 16 22 3 16 2018 湖南邵阳一模 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知三个向量 m a cos n b cos p c cos共线 则 ABC A 2 B 2 C 2 的形状为 A 等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 等腰直角三角形 答案 A 解析 向量 m a cos n b cos共线 A 2 B 2 acos bcos B 2 A 2 由正弦定理得 sinAcos sinBcos B 2 A 2 2sin cos cos 2sin cos cos A 2 A 2 B 2 B 2 B 2 A 2 sin sin A 2 B 2 0 0 A B A 2 2 B 2 2 A 2 B 2 同理可得 B C ABC 为等边三角形 故选 A 17 2018 南昌模拟 如图所示 当甲船位于 A 处时获悉 在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往营救 同时把消息告知在 甲船的南偏西 30 相距 10 海里 C 处的乙船 乙船立即朝北偏东 30 角的方向 沿直线前往 B 处营救 则 sin 的值为 答案 21 7 解析 如图 连接 BC 在 ABC 中 AC 10 AB 20 BAC 120 由 余弦定理 得 BC2 AC2 AB2 2AB AC cos120 700 BC 10 再由正弦定理 得 7 BC sin BAC AB sin sin 21 7 18 2018 广东汕头期末 为了应对日益严重的气候问题 某气象仪器科研单 位研究出一种新的 弹射型 气候仪器 这种仪器可以弹射到空中进行气候观测 如图所示 A B C 三地位于同一水平面上 这种仪器在 C 地进行弹射实验 观 测点 A B 两地相距 100 米 BAC 60 在 A 地听到弹射声音比 B 地晚秒 2 17 已知声音传播速度为 340 米 秒 在 A 地测得该仪器至高 H 处的仰角为 30 则 这种仪器的垂直弹射高度 HC 米 答案 140 3 解析 设 BC x 米 则 AC x 340 x 40 米 在 ABC 中 由余弦 2 17 定理可得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos BAC 即 x2 1002 40 x 2 2 100 40 x 解得 x 380 所以 AC 380 40 420 米 1 2 解法一 HC ACtan HAC 420 140 米 3 33 解法二 因为 HAC 30 所以 AHC 90 30 60 在 ACH 中 由 正弦定理 得 即 所以 HC 140 AC sin AHC HC sin HAC 420 sin60 HC sin30 420 1 2 3 2 米 3 一 高考大题 1 2018 天津高考 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 bsinA acosB 6 1 求角 B 的大小 2 设 a 2 c 3 求 b 和 sin 2A B 的值 解 1 在 ABC 中 由正弦定理 a sinA b sinB 可得 bsinA asinB 又由 bsinA acosB 6 得 asinB acosB 即 sinB cosB 6 6 可得 tanB 3 又因为 B 0 可得 B 3 2 在 ABC 中 由余弦定理及 a 2 c 3 B 3 有 b2 a2 c2 2accosB 7 故 b 7 由 bsinA acosB 可得 sinA 6 3 7 因为 a c 故 cosA 2 7 因此 sin2A 2sinAcosA cos2A 2cos2A 1 4 3 7 1 7 所以 sin 2A B sin2AcosB cos2AsinB 4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 2 2017 全国卷 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 sinA cosA 0 a 2 b 2 37 1 求 c 2 设 D 为 BC 边上一点 且 AD AC 求 ABD 的面积 解 1 由已知可得 tanA 3 所以 A 在 ABC 中 由余弦定理得 2 3 28 4 c2 4ccos 即 c2 2c 24 0 2 3 解得 c 6 舍去 或 c 4 2 由题设可得 CAD 2 所以 BAD BAC CAD 6 故 ABD 面积与 ACD 面积的比值为 1 1 2AB AD sin 6 1 2AC AD 又 ABC 的面积为 4 2sin BAC 2 1 23 所以 ABD 的面积为 3 3 2016 浙江高考 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 b c 2acosB 1 证明 A 2B 2 若 ABC 的面积 S 求角 A 的大小 a2 4 解 1 证明 由正弦定理得 sinB sinC 2sinAcosB 故 2sinAcosB sinB sin A B sinB sinAcosB cosAsinB 于是 sinB sin A B 又 A B 0 故 0 A BAD 所以 AD 3 2 在 ABD 中 BD sin BAD AB sin ADB 又由 cos BAD 得 sin BAD 2 2 3 1 3 所以 sin ADB 6 3 则 sin ADC sin ADB sin ADB 6 3 因为 ADB DAC C C 2 所以 cosC 6 3 在 Rt ADC 中 cos