小学六年级下册数学练习题第8讲整数裂项与通项归纳版.pdf

1第1 1级上超常体系教师版 第八讲 五年级春季 比较与估算 六年级暑期 分数裂项 六年级暑期 整数裂项与通项归纳 六年级寒假 计算模块综合选讲一 六年级春季 计算模块综合选讲二 掌握整数裂项技巧 灵活运用通项归纳的技巧进行巧算 漫画释义漫画释义 知识站牌知识站牌 第八第八讲讲 整整数裂项数裂项与通项归纳与通项归纳 2 第1 1级上超常体系教师版 在第一讲我们学过分数裂项在第一讲我们学过分数裂项 也就是大家看到也就是大家看到的的下面的题目下面的题目 11111 1 33 5577999 101 但是但是如果如果来了一个怪兽来了一个怪兽 它非常喜欢吃分数它非常喜欢吃分数 尤其尤其喜欢吃分数的分子喜欢吃分数的分子 结果这个怪兽就把上题结果这个怪兽就把上题 的分子吃掉了的分子吃掉了 只剩下只剩下1 33 5577999 101 了了 此时还可以用我们的法宝此时还可以用我们的法宝 裂项裂项 计算吗计算吗 也许是因为怪兽只吃到了分数的皮毛也许是因为怪兽只吃到了分数的皮毛 分数没有受到很大的伤害分数没有受到很大的伤害 因此法宝还可以继续使因此法宝还可以继续使 用用 这就是我们今天要学习的整数裂项这就是我们今天要学习的整数裂项 1 掌握整数裂项的技巧掌握整数裂项的技巧 并能理解整数裂项与分数裂项的联系和区别并能理解整数裂项与分数裂项的联系和区别 2 灵活运用通项归纳的技巧进行巧算灵活运用通项归纳的技巧进行巧算 一一 整数裂项整数裂项 1 1 223112 3 nnnnn 例如例如 1 2 2 3 3 4 9 10 1 1 21 230 1 2 3 1 232341 23 3 1 34345234 3 1 9 109 10 118 9 10 3 那么那么 原式原式 1 2 3 0 1 2 2 3 4 1 2 3 9 10 11 8 9 10 1 3 9 10 11 0 1 2 1 3 330 二二 通项归纳通项归纳 一些计算题目中一些计算题目中 如果题目中给出数如果题目中给出数字很有规律字很有规律 而且而且题目又很长题目又很长 那么我们通常就可以采取那么我们通常就可以采取 把这个规律用字母总结成公式的形式把这个规律用字母总结成公式的形式 然后对公式进行计算然后对公式进行计算 找到非常简单的运算技巧找到非常简单的运算技巧 最后把简最后把简 单运算技巧运用到每一项最终达到简算的目的单运算技巧运用到每一项最终达到简算的目的 这就是通项归纳的技巧这就是通项归纳的技巧 课堂引入课堂引入 经典精讲经典精讲 教学目标教学目标 3第1 1级上超常体系教师版 第八讲 模块一模块一 裂项裂项 例 1 因数差 1的整数裂项 例 2 因数差不是 1的整数裂项 例 3 多个因数乘积的整数裂项 例 4 整数裂项的应用 模块二模块二 通项归纳通项归纳 例 5 整数裂项中的通项归纳 例 6 平方差公式中的通项归纳 模块三模块三 综合运用综合运用 例 7 通项归纳的灵活运用 例 8 裂项的综合运用 计算计算 1 2231920 4556675960 学案对应学案对应 超常超常 1 带号带号 1 分析分析 本题项数较少 可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和 但是对于项数较多 的情况显然不能这样进行计算 对于项数较多的情况 可以进行如下变形 121111 11211 333 n nnnn n n nn nnnn n 所以原式 1 1920210 1 2 2660 3 原式 71960543616059 3 1 计算计算 3 55733 35 1 4477 104952 学案对应学案对应 超常超常 2 分析分析 1 原式 7120531373533 6 1 2 原式 15572741555249 9 1 4 例 2 例题思路例题思路 例 1 4 第1 1级上超常体系教师版 计算计算 1 232343459 10 11 1 234234534569 10 11 12 1 23423453456 1 2 3 n nnn 3 575791921 23 1 3 573 579579 111921 2325 学案对应学案对应 带号带号 2 分析分析 11 12123112 44 n nnn nnnnn nn 原式 1 9 10 11 120 1 23 4 1 9 10 11 12 4 2970 从中还可以看出 1 1 2323434512123 4 n nnn nnn 11 12 3 123 4 112 3 55 n nnnn nnnnnn nnn 原式 1 9 10 11 12 130 1 234 5 1 9 10 11 12 13 5 30888 1 2342345345612 3 n nnn 1 123 4 5 n nnnn 原式 1 1921 23251 3 57 8 28665 原式 1 105 1921 2325271 3 579 10 619458 计算计算 1 32 43 54 62012 20142013 分析分析 观察下面的规律 1 31 12 1 2 2 42 13 2 3 原式1 2 2 3 3 4 4 5 2011 2012 2012 2013 2013 1 例 4 例 3 5第1 1级上超常体系教师版 第八讲 1111 1 21 2231 223341 223349 10 分析分析 由于 1 1 223112 3 nnn nn 则 13 1 223112nnn nn 原式 3333 1 232343459 10 11 3111111 21 22323349 1010 11 311 21 210 11 81 110 大约 1500年前 欧洲的数学家们是不会用 0 的 他们使用罗马数字 罗马数字是用几个表 示数的符号 按照一定规则 把它们组合起来表示不同的数目 在这种数字的运用里 不需要 使用 0 后来 罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了 0 这个符号 有了 0 进行数学运算 方便极了 他非常高兴 还把印度人使用 0 的方法向大家做了介绍 过了一段时间 这件事 被教皇知道了 当时是欧洲的中世纪 教会的势力非常大 教皇的权力更是远远超过皇帝 教皇 非常恼怒 他斥责说 神圣的数是上帝创造的 在上帝创造的数里没有 0 这个怪物 如今谁 要把它给引进来 谁就是亵渎上帝 于是 教皇就下令 把这位学者抓了起来 并对他施加 了酷刑 使他两手残废 再也不能握笔写字 就这样 0 被那个愚昧 残忍的教皇明令禁止 了 虽然 0 被禁止使用 但是罗马的数学家们还是不管禁令 在数学研究中仍然秘密地使用 0 并做出了很多贡献 后来 0 终于在欧洲被广泛使用 而罗马数字却逐渐被淘汰了 例 5 6 第1 1级上超常体系教师版 计算计算 2222 2222 2462012 31517120131 学案对应学案对应 超常超常 3 带号带号 3 分析分析 通项归纳 2 2 222 2221 211 nnnn nnn n 原式 12310061 23410071007 计算计算 22222222 12232012201320132014 1 2232012201320132014 学案对应学案对应 超常超常 4 带号带号 4 分析分析 法 1 可先来分析一下它的通项情况 2222 1 1 1 1 1 1 1 n nnnnnn a nnnnnnnn 原式 213243542013201220142013 122334452012201320132014 20132013 201324026 20142014 法 2 222 22 1 22111 22 1 1 n nnnn a nnnnnnnn 原式 1111 2222 1 2232012201320132014 1 20132 1 2014 2013 4026 2014 计算计算 1 2 345699 100 23459899 分析分析 设原式 B A 33330021010110099 3 1 AB 500099252322 AB 原式 B A 3283 3383 5000333300 5000333300 ABAB ABAB 例 6 例 7 例 8 7第1 1级上超常体系教师版 第八讲 1 计算计算 1 234234517 18 1920 分析分析 原式 1 17 18 1920210 1 234 5 488376 2 计算计算 3 5757931 33 35 分析分析 原式 1 31 33 35 371 3 57 8 165585 3 计算计算 11111111 1335192124 111111111111 123234345192021 分析分析 利用裂和的方法可以将每一项展开 原式 11111111 3351912421 111111111111111111111111 123123234234345345192021192021 11111111 1111111111111111 23123423453420211920 231 2342345342021 1920 兔妈妈买来 10 个萝卜 准备分给四个小宝宝 她把 10 个萝卜分成 4 份 从左到右分别是 1 个 2 个 3 个 4 个 小黑闹着要吃那份最多的 妈妈说 你如果能只移动 1 个萝卜 使 4 份萝卜的排列顺序倒过来 从左到右分别是 4个 3 个 2 个 1 个 那就给你最多的 大家能帮帮小黑吗 答案 把第四堆的第三个萝卜移到第一堆和第二堆之间 附加题附加题 8 第1 1级上超常体系教师版 1 2 2 3 19 20 2 3 3 4 20 21 通过整数裂项方法得到结果 原式 11 192021 2021 221 23 5738 33 4 14747464746454746452 1 5252515251 505251 50495251 504965 分析分析 首先把每项分数约分 1474746474645432 1 5252515251 505251 50495251 504948 再将原式各项的分母都通分为5251 504948 则各项的分子依次为 51 504948 50494847 49484746 432 1 计算中可以应用下面的公式 1 2342345123n nnn 1 1234 5 n nnnn 根据上面的公式 分子的和为148495051 52 5 与分母约分 结果为1 5 5 2222222222222 3333333333333 11212312341226 11212312341226 分析分析 先找通项公式 2222 223333 1 21 123221211 6 1 1233 1 31 4 n nnn nn a nnnnnnn 所以 原式 211111111 31223342627 2152 1 32781 6 计算计算 1 100 2 99 3 98 98 3 99 2 100 1 分析分析 通项公式 2 101 101 n annnn 所以原式 1 101 1 100 1002100 101 201 6 171700 7 计算计算 2 3 2 3 2 3 3 共共2013条分数线条分数线 分析分析 3 2 2721 3 3321 9第1 1级上超常体系教师版 第八讲 4 3 261521 33 27721 3 3 5 4 2143121 33 2151521 3 2 3 3 2 1 221 3 2 21 3 2 3 3 n n 所以2013条分数线的话 答案应该为 2015 2014 21 21 一一 整数裂项整数裂项 1 1 22334 1 1 1 3 nnnnn 1 1 23234345 2 1 2 1 1 4 nnnnnnn 1 10 11 11 1212 1399 100 99 100 1019 10 11 3 二二 通项归纳通项归纳解题步骤解题步骤 1 找找规律规律 归纳第归纳第n项公式项公式 2 将归纳出将归纳出的公式用到每一项的公式用到每一项 进行计算进行计算 1 请计算请计算 1 223344950 分析分析 原式 41650210515049 3 1 2 请计算请计算 24462426 分析分析 原式 2912420282624 6 1 3 计算计算 2464686 8 10222426 分析分析 原式 家庭作业家庭作业 知识点总结知识点总结 1 0 第1 1级上超常体系教师版 1 222426280246 8 48048 4 计算计算 2013 1 2 23 34 42011 20112012 2012 分析分析 观察下面的规律 1 11 21 2 1 2 22 3 1 3 2 原式2013 2 1 3 2 4 3 2012 2011 2013 2012 2013 2013 1 1 5 计算计算 1111 1 21 2231 223341 2233499 100 分析分析 由于 1 1 223112 3 nnn nn 则 13 1 223112nnn nn 原式 3333 1 2323434599 100 101 3111111 21 223233499 100100 101 311 21 2100 101 15147 20200 6 计算计算 222 222 2399 2131991 分析分析 通项公式 22 11 1 11 12 n nn a nnn n 原式 223 34498 989999 21 21 31 3 1 41 41 981 981 991 991 223 3445 598 989999 3 1425364999710098 22334498989999 132435979998100 29999 110050 7 计算计算 2222 1 22318 191920 分析分析 方法一 2 1 1 2 1 1 2 1 n an nn nnn nnn n 原式1 23 1 22342318 192018 19192021 1920 1 2323418 1920192021 1 22318 191920 1 1第1 1级上超常体系教师版 第八讲 11 192021 22192021 43 41230 方法二 分拆 21 232 222 3 1 232 333 再用公式 原式 323232333222 22 33 2020 12320 12320 22 11 20212021 4141230 46 8 计算计算 1 2343456567817 18 1920 提示提示 2 3332 1 121 4 nnn 分析分析 一般的整数裂项各项之间都是连续的 本题中各项之间是断开的 为此可以将中间缺少的 项补上 再进行计算 记原式为A 再设23454567678 916 17 18 19B 则1 2342345345617 18 1920AB 1 17 18 192021488376 5 现在知道A与B的和了 如果能再求出A与B的差 那么A B的值就都可以求出来了 1 234234534564567567817 18 1920AB 4 1 23345567 17 18 19 2222 42 21 4 41 6 61 18 181 3333 4 24618 4 24618 22 11 4 89104209 42 64440 所以 488376644402276408A 超常班学案超常班学案1 1 计算计算 34455619202021 2 33445100 101 分析分析 1 34 345 234 3 1 45 56 345 3 4 1 56 67 456 3 5 1 2021 21 22 192021 3 20 原式 1 5 234 56 35 2021 22 192021 3 3444 超常超常班学案班学案 1 2 第1 1级上超常体系教师版 1 2021 22 234 3 3072 原式 2341 23 345234 100 101 10299 100 101 3 1 100 101 1021 23 3 343398 本题也可直接采用结论 1 1 223112 3 nnn nn 则 原式 1 2233445100 1011 2 1 100 101 1022 3 343398 超常班学案超常班学案2 2 请计算请计算 1 255 88 116265 2 3 77 11 11 1563 67 分析分析 1 原式 1 1062656825 830450 9 2 原式 1 2163 67713 7 1124976 12 超常班学案超常班学案3 3 计算计算 1 2123123412350 2232342350 分析分析 通项公式为 1121 231212 n nnnn nnnnn n从 2 开始 原式 3243545150 1425364952 35075 15226 超常班学案超常班学案4 4 计算计算 222222 1223100101 1 223100 101 分析分析 方法一 通过代数式进行通项归纳或者找规律 可知 2222 1 211 2 1 1 1 n nnnnn a nnn nn n 所以原式 111100100 222200200 1 223100 101101101 方法二 原式 2222 2132 1 21 22 32 3 22 101100 100