高三数学联考精选汇编：第十六章2

用心 爱心 专心 20092009 年联考题年联考题 一 选择题 1 1 辽宁省抚顺一中 辽宁省抚顺一中 20092009 届高三数学上学期第一次月考 届高三数学上学期第一次月考 极坐标方程 cos 化为直角坐 标方程为 A x 2 1 2 y2 4 1 B x2 y 2 1 2 4 1 C x2 y 2 1 2 4 1 D x 2 1 2 y2 4 1 答案 D 2 2009 上海普陀区 上海普陀区 以下向量中 能成为以行列式形式表示的直线方程 101 210 11 x y 的 一个法向量的是 A 1 2n B 2 1n C 1 2n D 2 1n 答案 A 3 2009 上海青浦区上海青浦区 线性方程组 786 153 04 zyx zyx zyx 的增广矩阵是 A 7861 1513 0411 B 7861 1513 0411 C 861 513 411 D 854 611 131 答案 A 二 填空题 4 2009 广州一模 广州一模 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 直线 sin 4 2 被圆 4 截得的弦长为 答案 4 3 5 2009 广州一模 广州一模 几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题 已知 PA 是圆 O O 为圆心 的切线 切点为 A PO 交圆 O 于 B C 两点 AC 3 PAB 300 则线段 PB 的长为 用心 爱心 专心 答案 1 6 2009 广州一模 广州一模 不等式选讲选做题不等式选讲选做题 已知 a b c R 且 a b c 2 a2 2b2 3c2 4 则 a 的取值范围为 答案 2 2 11 7 2009 广东三校一模 广东三校一模 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 极坐标方程分别为 cos2 和 sin 的两个圆的圆心距为 答案 2 5 8 2009 广东三校一模 广东三校一模 不等式选讲选做题不等式选讲选做题 若不等式 12 1 a x x 对一切非零实 数x均成立 则实数a的最大值是 答案 3 9 2009 广东三校一模 广东三校一模 几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题 如图 PT切圆O于点T PA交圆O于A B两点 且与直径CT交于点D 6 3 2 BDADCD 则 PB 答案 15 10 2009 东莞一模 东莞一模 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 AD 是 O的切线 AC 是 O的弦 过 C 做 AD 的垂线 垂足为 B CB 与 O相交于点 E AE 平分 CAB 且 2AE 则AB AC BC 答案 3 2 3 3 11 2009 东莞一模 东莞一模 参数方程与极坐标选做题参数方程与极坐标选做题 在极坐标系中 点 1 0 到直线 cossin2 的距离为 答案 2 2 TP B O C A D O AB C D E 用心 爱心 专心 O D CB A 图 4 12 2009 东莞一模 东莞一模 不等式选讲选做题 不等式选讲选做题 函数 3f xxx 的最大值为 答案 3 13 2009 江门一模 江门一模 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 P是曲线 sincos 1 sin2 x y 2 0 是参数 上一点 P到点 2 0 Q 距离的最小值是 答案 2 7 14 2009 江门一模 江门一模 不等式选讲选做题 不等式选讲选做题 已知关于x的不等式 1 2009xaxa a是常数 的解是非空集合 则a的取值范围是 答案 1004 15 2009 江门一模 江门一模 几何证明选讲选选做题 几何证明选讲选选做题 如图 4 三角形ABC中 ACAB O经过点A 与BC相切于B 与AC相交于D 若 1 CDAD 则 O的 半径 r 答案 7 142 16 2009 茂名一模 茂名一模 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 把极坐标方程 cos 1 6 化为直角 坐标方程是 答案 320 xy 17 2009 茂名一模 茂名一模 不等式选讲选做题 不等式选讲选做题 函数 51102yxx 的最大值为 答案 36 用心 爱心 专心 E AB DC 18 2009 茂名一模 茂名一模 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 梯形ABCD ABCD E是对角线AC和BD的交点 1 3 DECDBC SS 则 DECABD SS 答案 1 6 19 2009 汕头一模 汕头一模 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 两直线 的位置关系是 判断垂直或平行或 斜交 答案 垂直 20 2009 汕头一模 汕头一模 不等式选讲选做题 不等式选讲选做题 不等式 1 5 1xa x 对于一非零实数 x 均 成立 则实数 a 的取值范围是 答案 4 a 6 21 2009 汕头一模 汕头一模 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 O 中的弦 AB 与直径 CD 相交于点 p M 为 DC 延长线上一点 MN 为 O 的切 线 N 为切点 若 AP 8 PB 6 PD 4 MC 6 则 MN 的长为 答案 2 33 22 2009 韶关一模 韶关一模 在极坐标系中 圆心在 2 且过极点的圆的方程 为 答案 2 2cos 23 2009 韶关一模韶关一模 如图所示 圆 O 的直径 AB 6 C 为圆周上一点 BC 3 过 C 作圆的切线l 则点 A 到直线l的距离 AD 为 答案 9 2 AB C D E O l 用心 爱心 专心 B P C A O 2424 2009 韶关一模 韶关一模 如果关于x的不等式 34xxa 的解集是全体实数 则a的取 值范围是 答案 1 25 2009 深圳一模 深圳一模 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 在直角坐标系中 曲线 1 C 的参数方程为 0 sin cos y x 以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 2 C 在极坐标系中的 方程为 cossin b 若曲线 1 C 与 2 C 有两个不同的交点 则实数b的取值范围是 答案 21 b 26 2009 深圳一模 深圳一模 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 PT 切 O于点T PA交 O于A B两点 且与直径 CT 交于点D 2 CD 3 AD 6 BD 则 PB 答案 15 27 2009 深圳一模 深圳一模 不等式选讲选做题 不等式选讲选做题 若不等式 zyxa221 对满足 1 222 zyx 的一切 实数x y z恒成立 则实数a的取值范围是 答案 24 aa或或 28 2009 湛江一模 湛江一模 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 若过点 0 3 A 且与极轴 垂直的直线交曲线 cos4 于 A B 两点 则 AB 答案 32 29 2009 湛江一模 湛江一模 不等式选讲选做题 不等式选讲选做题 设 1 zyx 则 222 32zyxF 的最 小值为 答案 11 6 O PT A C D B 用心 爱心 专心 30 2009 湛江一模 湛江一模 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 已知 PA PB 是 圆 O 的切线 A B 分别为切点 C 为圆 O 上不与 A B 重合的另一点 若 ACB 120 则 APB 答案 60 三 解答题 31 2009 厦门北师大海沧附属实验中学 厦门北师大海沧附属实验中学 不等式选讲 不等式选讲 设 1 xyz 求 222 23Fxyz 的最大值 解 222 6 23 11 Fxyz 当且仅当 23 11 1 23 xyz 且 326 1 111111 xyzxyz F 有最小值 6 11 32 2009 厦门一中 厦门一中 不等式选讲 不等式选讲 设 1 22 3 1 n an n n N 比较 n a 1 2 n n 2 1 2 n 的大小 并证明你的结论 解 1 1 22 3 1 12 2 n n n an nn 又 1 22 3 1 n an n 22 1223 1 222 1 3 2 1 422 nn n nn nnnn 1 2 n n n a 2 1 2 n 33 2009 厦门二中 厦门二中 不等式选讲 不等式选讲 解不等式 521 xx 用心 爱心 专心 解 原不等式等价于 512 2 x x 或 521 12 xx x 或 512 1 x x 解得 23 x 或 12 x 或 21 x 所以 原不等式的解集为 23 xx 34 2009 厦门乐安中学 厦门乐安中学 不等式选讲 不等式选讲 在设 a b c 为正数且 1abc 求证 222 111100 3 abc abc 证明证明 222222 1111 111 3 abc abc 2 1111 1 1 1 3 abc abc 22 11111111 1 1 33 abc abcabc 2 1100 1 9 33 35 2009 厦门十中 厦门十中 不等式选讲 不等式选讲 已知实数 a b c d 满足 3abcd 2222 2365abcd 试求a的最值 解 由柯西不等式得 有 2 222 111 236 236 bcdbcd 即 2 222 236bcdbcd 由条件可得 2 2 53aa 解得 1 2a 当且仅当 236 1 21 31 6 bcd 时等号成立 代入 11 1 36 bcd 时 max 2a 21 1 33 bcd 时 min 1a 36 2009 厦门同安一中 厦门同安一中 不等式选讲 不等式选讲 已知a b R 且 求 的最小值 解 因为 所以 所以 所 以 式中等号当且仅当 时成立 此时 所以当时 取最小值 用心 爱心 专心 37 2009 厦门英才学校 厦门英才学校 不等式选讲 不等式选讲 已知函数 24 xxxf 作出函数 xfy 的图像 解不等式 124 xx 解 依题意可知 24 26 24 22 x f xxx x 则函数 xfy 的图像如图所示 由函数 xfy 的图像容易求得原不等式的 解集为 2 5 7 分 38 2009 厦门乐安中学 厦门乐安中学 矩阵 矩阵 已知矩阵 1 0 0 2 M 1 0 2 0 1 N 矩阵MN对应的变换 把曲线 sinyx 变为曲线 C 求 的方程 解 11 1 0 0 0 22 0 2 0 10 2 MN 设 P x y 是所求曲线 C 上的任意一点 它是曲线 sinyx 上点 000 P xy 在矩阵MN变换下的对应点 则有 0 0 1 0 2 0 2 xx yy 即 0 0 1 2 2 xx yy 所以 0 0 2 1 2 xx yy 又点 00 P xy 在曲线 sinyx 上 故 00 sinyx 从而 1 sin2 2 yx 所求曲线 C 的方程为 2sin2yx 39 2009 厦门十中 厦门十中 矩阵 矩阵 已知矩阵 A 21 1 2 B 12 01 计算 AB 若矩阵 B 把直线 20l xy 变为直线 l 求直线 l 的方程 用心 爱心 专心 解 AB 23 14 任取直线l上一点 P x y 设 P 经矩阵 B 变换后为 Px y 则 122 01 xxxy yyy 22xxyxxy yyyy 代入 20l xy 得 320 xy 直线 l 的方程为 320 xy 40 2009 厦门同安一中 厦门同安一中 矩阵 矩阵 在直角坐标系中 OAB 的顶点坐标 0 0 O 0 2 A 2 1 B 求 OAB 在矩阵MN的作用下变换所得到的图形的面积 其中矩阵 10 01 M 2 2 2 2 0 1 N 解 2 2 2 2 0 1 MN 0 0 2 2 2 2 0 1 0 0 2 分 0 2 0 2 2 2 2 2 0 1 4 分 1 2 2 1 2 2 2 2 0 1 5 分 可知 BAO 三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为 1 2 0 2 0 0 BAO 可得 BAO 的面积为 1 7 分 41 2009 厦门一中 厦门一中 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 已知直线l经过点 1 1 P 倾斜角 6 设 l与曲线 2cos 2sin x y 为参数 交于两点 A B 求点P到 A B 两点的距离之积 解 直线的参数方程为 1cos 6 1sin 6 xt yt 即 3 1 2 1 1 2 xt yt 用心 爱心 专心 曲线的直角坐标方程为 4 22 yx 把直线 3 1 2 1 1 2 xt yt 代入 4 22 yx 得 222 31 1 1 4 31 20 22 tttt 1 2 2t t 则点P到 A B 两点的距离之积为2 42 2009 厦门二中 厦门二中 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 已知直线l的参数方程 ty tx 41 2 t为参 数 圆 C 的极坐标方程 4 sin22 试判断直线l与圆 C 的位置关系 解 将直线l的参数方程化为普通方程为 12 xy 将圆 C 的极坐标方程化为普通方程为 211 22 yx 从圆方程中可知 圆心 C 1 1 半径 2 r 所以 圆心 C 到直线l的距离 rd 2 5 2 1 2 1112 22 所以直线l与圆 C 相交 43 2009 厦门集美中学 厦门集美中学 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 求曲线 2cos sin y x 过点 2 0 的切线方 程 2 sin21 sin yx 消去参数 得 12 2 yx 设切线为 2 kxy 代入得 012 2 kxx 令 08 2 k 得 22 k 故 222 xy 即为所求 或 xy4 设切点为 ba 则斜率为 a a a b a 2212 4 2 解得 2 2 a 即得切线方程 44 2009 厦门乐安中学 厦门乐安中学 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 在极坐标系中 设圆 3 上的点到直线 用心 爱心 专心 cos3sin2 的距离为d 求d的最大值 解 将极坐标方程 3 转化为普通方程 22 9xy cos3sin2 可化为 32xy 在 22 9xy 上任取一点 A 3cos 3sin 则点 A 到直线的距离为 0 3cos3 3sin26sin 30 2 22 d 它的最大值为 4 45 2009 厦门十中 厦门十中 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 已知圆 C 的参数方程为 为参数 sin23 cos21 y x 若 P 是圆 C 与 x 轴正半轴的交点 以原点 O 为极点 x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系 设过点 P 的圆 C 的切线为 l 求直线 l 的极坐标方程 解 由题设知 圆心 0 2 3 1PC CPO 60 故过 P 点的切线飞倾斜角为 30 设 M 是过 P 点的圆 C 的切线上的任一点 则在 PMO 中 MOP 00 150 30 OPMOMP 由正弦定理得 00 30sin 2 sin150 sinsinOMP OP OPM OM 130sin 160cos 00 或 即为所求切线的极坐标方程 46 2009 厦门英才学校 厦门英才学校 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 求极坐标系中 圆 2 上的点到直线 6sin3cos 的距离的最小值 解 由 2 即 2 4 则易得 22 4xy 由 6sin3cos 易得 360 xy 圆心 0 0 到直线的距离为 0 22 006 3 1 3 d 又圆的半径为 2 圆上的点到直线的距离的最小值为 0 2321dd 用心 爱心 专心 4747 20092009 南京一模 南京一模 已知矩阵 0 1 1 0 M 0 1 1 0 N 在平面直角坐标系中 设直线 012 yx 在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F 求曲线F的方程 解 由题设得 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 MN 设 yx 是直线 012 yx 上任意一点 点 yx 在矩阵MN对应的变换作用下变为 yx 则有 y x y x 1 0 0 1 即 y x y x 所以 yy xx 因为点 yx 在直线 012 yx 上 从而 01 2 yx 即 012 yx 所以曲线F的方程为 012 yx 4848 20092009 金陵中学三模 金陵中学三模 1 设x是正数 求证 233 1118xxxx 2 若x R 不等式 233 1118xxxx 是否仍然成立 如果仍成立 请给出 证明 如果不成立 请举出一个使它不成立的x的值 简证 1 0 x 1 20 xx 2 120 xx 3 120 xx x 三个 同向正值不等式相乘得 233 1118xxxx 5 分 简解 2 x R 时原不等式仍然成立 思路 1 分类讨论 0 x 10 x 1x 1x 证 思路 2 左边 2 2 2 13 110 24 xxx 10 分 4949 20092009 南京一模 南京一模 选修 4 5 不等式选讲 已知 ba 为正数 求证 baba 941 证明 0 0 ba 所以 9 4 25 4 5 41 b a a b b a a b ba ba baba 941 5050 20092009 通州第四次调研 通州第四次调研 矩阵与变换 已知矩阵 1 1 A 2 4 向量 7 4 用心 爱心 专心 1 求矩阵A的特征值 1 2 和特征向量 1 2 2 求 5 A 的值 解 1 矩阵A的特征多项式为 1 1 f 2 4 2 56 令 0f 得 12 2 3 当 1 2 时 得 1 2 1 当 2 3 时 得 2 1 1 5 分 2 由 12 mn 得 27 4 mn mn 得 3 1mn 5 A 555 1212 3 3 AAA 5555 1122 21435 3 3 23 11339 10 分 5151 20092009 通州第四次调研 通州第四次调研 不等式选讲 对于任意实数 a a 0 和 b 不等式 a b a b a x 1 x 2 恒成立 试求实数 x 的取值范围 解 由题知 1 2 abab xx a 恒成立 故 x 1 x 2 不大于 abab a 的最小值 2 ababababa 当且仅当 a b a b 0 时取等号 abab a 的最小值等于 2 5 分 x 的范围即为不等式 x 1 x 2 2 的解 解不等式得 15 22 x 10 分 5252 20092009 扬州大学附中扬