高中数学-平面向量专题

1 第一部分 平面向量的概念及线性运算 一 基础知识 自主学习 1 向量的有关概念 向量的有关概念 名称名称定义定义备注备注 向量向量 既有 又有 的量 向量的大小叫做向量 的 或称 平面向量是自由向量 零向量零向量长度为 的向量 其方向是任意的记作 0 单位向量单位向量 长度等于 的 向量 非零向量 a 的单位向量为 a a 平行向量平行向量方向 或 的非零向量 共线向量共线向量 的非零向量又叫做共线向量 0 与任一向量 或共线 相等向量相等向量长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等 不能 比较大小 相反向量相反向量长度 且方向 的向量0 的相反向量为 0 2 向量的线性运算向量的线性运算 向量运算向量运算定义定义 法则法则 或几何或几何 意义意义 运算律运算律 加法加法求两个向量和的运算 1 交换律 a b b a 2 结合律 a b c a b c 减法减法 求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 法则 a b a b 数乘数乘 求实数 与向量 a 的积 的运算 1 a a 2 当 0 时 a 的方向与 a 的方向 当 b 2 若 a b 则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反 3 若 a b 且 a 与 b 方向相同 则 a b 4 由于零向量的方向不确定 故零向量不与任意向量平行 5 若向量 a 与向量 b 平行 则向量 a 与 b 的方向相同或相反 6 若向量与向量是共线向量 则 A B C D 四点在一条直线上 AB CD 7 起点不同 但方向相同且模相等的几个向量是相等向量 8 任一向量与它的相反向量不相等 题型二题型二 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 例 2 如图 以向量 a b 为边作 OADB 用 a b 表示 OA OB BM 1 3BC CN 1 3CD OM ON MN 3 变式训练 2 ABC 中 DE BC 交 AC 于 E BC 边上的中线 AM 交 DE 于 N 设 a b 用 AD 2 3AB AB AC a b 表示向量 AE BC DE DN AM AN 题型三题型三 平面向量的共线问题平面向量的共线问题 例 3 设 e1 e2是两个不共线向量 已知 2e1 8e2 e1 3e2 2e1 e2 AB CB CD 1 求证 A B D 三点共线 2 若 3e1 ke2 且 B D F 三点共线 求 k 的值 BF 变式训练 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线 1 若 a b 2a 8b 3 a b 求证 A B D 三点共线 AB BC CD 2 试确定实数 k 使 ka b 和 a kb 共线 五 思想与方法 5 用方程思想解决平面向量的线性运算问题 试题 如图所示 在 ABO 中 AD 与 BC 相交于点 M 设 a b 试用 a 和 b OC 1 4OA OD 1 2OB OA OB 表示向量 OM 六 思想方法 感悟提高 方法与技巧 1 将向量用其它向量 特别是基向量 线性表示 是十分重要的技能 也是向量坐标形式的基础 4 2 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题 如 且 AB 与 CD 不共线 则 AB CD 若 则 AB CD AB BC A B C 三点共线 失误与防范 1 解决向量的概念问题要注意两点 一是不仅要考虑向量的大小 更重要的是要考虑向量的方向 二是考虑零向量 是否也满足条件 要特别注意零向量的特殊性 2 在利用向量减法时 易弄错两向量的顺序 从而求得所求向量的相反向量 导致错误 七 课后练习 1 给出下列命题 两个具有公共终点的向量 一定是共线向量 两个向量不能比较大小 但它们的模能比较大小 a 0 为实数 则 必为零 为实数 若 a b 则 a 与 b 共线 其中错误命题的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 2 若 A B C D 是平面内任意四点 给出下列式子 其中正确的有 AB CD BC DA AC BD ADBC AC BD DC AB A 0 个 B 1 个C 2 个 D 3 个 3 已知 O A B 是平面上的三个点 直线 AB 上有一点 C 满足 0 则等于 CBAC 2OC A B 2OA2 OB OA OB C D OA 3 2 1 3OB OA 3 1 2 3OB 4 如图所示 在 ABC 中 3 若 a b 则等于 BD 1 2DC AE ED ABAC BE A a b B a b 1 3 1 3 1 2 1 4 C a b D a b 1 2 1 4 1 3 1 3 5 在四边形 ABCD 中 a 2b 4a b 5a 3b 则四边形 ABCD 的形状是 ABBC CD A 矩形 B 平行四边形 C 梯形 D 以上都不对 6 8 5 则的取值范围是 AB AC BC 7 给出下列命题 向量的长度与向量的长度与向量的长度相等 AB BA BA 向量 a 与 b 平行 则 a 与 b 的方向相同或相反 两个有共同起点而且相等的向量 其终点必相同 两个有公共终点的向量 一定是共线向量 向量与向量与向量是共线向量 则点 A B C D 必在同一条直线上 AB CD CD 其中不正确的个数为 8 如图 在 ABC 中 点 O 是 BC 的中点 过点 O 的直线分别交直线 AB AC 于不同的两点 M N 若 m AB AM n 则 m n 的值为 AC AN 5 9 设 a 与 b 是两个不共线向量 且向量 a b 与 b 2a 共线 则 10 在正六边形 ABCDEF 中 a b 求 AB AF ADAC AE 11 如图所示 ABC 中 点 M 是 BC 的中点 点 N 在边 AC 上 且 AN 2NC AM 与 BN 相交于点 P 求 AP PM 的值 12 已知点 G 是 ABO 的重心 M 是 AB 边的中点 1 求 GA GB GO 2 若 PQ 过 ABO 的重心 G 且 a b ma nb 求证 3 AO OB OP OQ 1 m 1 n 第二部分 平面向量的基本定理及坐标表示 一 基础知识 自主学习 1 两个向量的夹角 两个向量的夹角 定义范围 已知两个 向量 a b 作 a b 则 OA OB AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角 如图 向量夹角 的范围是 当 时 两向量共线 当 时 两向量垂直 记作 a b 2 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理 如果 e1 e2是同一平面内的两个 向量 那么对于这一平面内的任意向量 a 一对实数 1 2 使 a 其中 不共线的向量 e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 2 平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个 的向量 叫做把向量正交分解 3 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与 x 轴 y 轴方向相同的两个单位向量 i j 作为基底 对于平面内的一个向量 a 由平面向量基本定理可知 有且只有一对实数 x y 使 a xi yj 这样 平面内的任一向量 a 都可由 x y 唯一 确定 把有序数对 叫做向量 a 的坐标 记作 a 其中 叫做 a 在 x 轴上的坐标 叫做 a 在 y 轴上的 坐标 设 xi yj 则向量的坐标 x y 就是 的坐标 即若 x y 则 A 点坐标为 反之亦 OA OA OA 成立 O 是坐标原点 3 平面向量坐标运算 平面向量坐标运算 1 向量加法 减法 数乘向量及向量的模 设 a x1 y1 b x2 y2 则 a b a b a a 2 向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点 则终点坐标即为向量的坐标 6 设 A x1 y1 B x2 y2 则 AB AB 4 平面向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示 设 a x1 y1 b x2 y2 其中 b 0 a b 二 难点正本 疑点清源 1 基底的不唯一性 只要两个向量不共线 就可以作为平面的一组基底 对基底的选取不唯一 平面内任意向量 a 都可被这个平面 的一组基底 e1 e2线性表示 且在基底确定后 这样的表示是唯一的 2 向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中 以原点为起点的向量 a 点 A 的位置被向量 a 唯一确定 此时点 A 的坐标与 a 的坐 OA 标统一为 x y 但应注意其表示形式的区别 如点 A x y 向量 a x y OA 当平面向量平行移动到时 向量不变即 x y 但的起点 O1和终点 A1的坐标都发生了 OA O1A1 O1A1 OA O1A1 变化 三 基础自测 1 已知向量 a 2 1 b 1 m c 1 2 若 a b c 则 m 2 已知向量 a 1 2 b 3 2 若 ka b 与 b 平行 则 k 3 设向量 a 1 3 b 2 4 c 1 2 若表示向量 4a 4b 2c 2 a c d 的有向线段首尾相接能构 成四边形 则向量 d 4 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A 0 2 B 1 2 C 3 1 且 2 则顶点 D 的坐标为 BC AD A B 2 7 2 2 1 2 C 3 2 D 1 3 5 已知平面向量 a x 1 b x x2 则向量 a b A 平行于 y 轴 B 平行于第一 三象限的角平分线 C 平行于 x 轴 D 平行于第二 四象限的角平分线 四 题型分类 深度剖析 题型一题型一 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用 例 1 如图 在平行四边形 ABCD 中 M N 分别为 DC BC 的中点 已知 c d 试用 c d 表示 AM AN AB AD 变式训练 1 如图 P 是 ABC 内一点 且满足条件 2 3 0 设 Q 为 CP 的延长线与 AB 的交点 令 AP BP CP 7 p 试用 p 表示 CP CQ 题型二题型二 向量坐标的基本运算向量坐标的基本运算 例 2 已知 A 2 4 B 3 1 C 3 4 设 a b c 且 3c 2b AB BC CA CM CN 1 求 3a b 3c 2 求满足 a mb nc 的实数 m n 3 求 M N 的坐标及向量的坐标 MN 变式训练 2 1 已知点 A B C 的坐标分别为 A 2 4 B 0 6 C 8 10 求向量 2 的坐标 AB BC 1 2AC 2 已知 a 2 1 b 3 4 求 3a 4b a 3b a b 1 2 1 4 题型三题型三 平行向量的坐标运算平行向量的坐标运算 例 3 平面内给定三个向量 a 3 2 b 1 2 c 4 1 请解答下列问题 1 求满足 a mb nc 的实数 m n 2 若 a kc 2b a 求实数 k 3 若 d 满足 d c a b 且 d c 求 d 5 变式训练 3 已知 a 1 0 b 2 1 1 求 a 3b 2 当 k 为何实数时 ka b 与 a 3b 平行 平行时它们是同向还是反向 五 易错警示 8 8 忽视平行四边形的多样性致误 试题 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 1 0 3 0 1 5 求第四个顶点的坐标 六 思想方法 感悟提高 方法与技巧 1 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则 将向量进行分解 2 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示 其中坐标运算法则是运算的关键 通过坐标运算可将一些几何问题转 化为代数问题处理 从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题 3 在向量的运算中要注意待定系数法 方程思想和数形结合思想的运用 失误与防范 1 要区分点的坐标与向量坐标的不同 尽管在形式上它们完全一样 但意义完全不同 向量坐标中既有方向也有大 小的信息 2 若 a x1 y1 b x2 y2 则 a b 的充要条件不能表示成 因为 x2 y2有可能等于 0 所以应表示为 x1 x2 y1 y2 x1y2 x2y1 0 同时 a b 的充要条件也不能错记为 x1x2 y1y2 0 x1y1 x2y2 0 等 七 课后练习 1 已知向量 a 1 2 b 1 m 1 m 若 a b 则实数 m 的值为 A 3 B 3 C 2 D 2 2 已知平面向量 a 1 2 b 2 m 且 a b 则 2a 3b 等于 A 2 4 B 3 6 C 4 8 D 5 10 3 设向量 a 3 b 为单位向量 且 a b 则 b 等于 3 A 或 B 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 C D 或 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 4 已知向量 a 1 m b m2 m 则向量 a b 所在的直线可能为 A x 轴 B 第一 三象限的角平分线 C y 轴 D 第二 四象限的角平分线 5 已知 A 7 1 B 1 4 直线与线段 AB 交于 C 且2 则实数 a 等于 axy 2 1 AC CB A 2 B 1 C D 4 5 5 3 6 若三点 A 2 2 B a 0 C 0 b ab 0 共线 则 的值等于 1 a 1 b 7 已知向量 a 1 2 b x 1 u a 2b v 2a b 且 u v 则实数 x 的值为 8 若向量 a与相等 其中 A 1 2 B 3 2 则 x 43 3 2 xxxAB 9 若平面向量 a b 满足 a b 1 a b 平行于 y 轴 a 2 1 则 b 10 a 1 2 b 3 2 当 k 为何值时 ka b 与 a 3b 平行 平行时它们是同向还是反向 11 三角形的三内角 A B C 所对边的长分别为 a b c 设向量 m 3c b a b n 3a 3b c m n 1 求 cos A 的值 2 求 sin A 30 的值 9 12 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 已知向量 m a b 向量 n cos A cos B 向量 p 若 m n p2 9 求证 ABC 为等边三角形 2 2sin B C 2 2sin A 第三部分 平面向量的数量积 一 基础知识 自主学习 1 平面向量的数量积 平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 和 b 它们的夹角为 则数量 叫做 a 和 b 的数量积 或内积 记作 规定 零向量与任一向量的数量积为 两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是 2 平面向量数量积的几何意义 平面向量数量积的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 的乘积 3 平面向量数量积的重要性质 平面向量数量积的重要性质 1 e a a e 2 非零向量 a b a b 3 当 a 与 b 同向时 a b 当 a 与 b 反向时 a b a a a2 a a a 4 cos a b a b 5 a b a b 4 平面向量数量积满足的运算律 平面向量数量积满足的运算律 1 a b 交换律 2 a b 为实数 10 3 a b c 5 平面向量数量积有关性质的坐标表示 平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a x1 y1 b x2 y2 则 a b 由此得到 1 若 a x y 则 a 2 或 a 2 设 A x1 y1 B x2 y2 则 A B 两点间的距离 AB AB 3 设两个非零向量 a b a x1 y1 b x2 y2 则 a b 二 难点正本 疑点清源 1 向量的数量积是一个实数 两个向量的数量积是一个数量 这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关 在运用向量的数量 积解题时 一定要注意两向量夹角的范围 2 数量积的运算只适合交换律 加乘分配律及数乘结合律 但不满足向量间的结合律 即 a b c 不一定等于 a b c 这是由于 a b c 表示一个与 c 共线的向量 而 a b c 表示一个与 a 共线的向量 而 c 与 a 不一定共线 三 基础自测 1 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 a 2 b 则向量 a 和向量 b 的数量积 a b 3 2 在 ABC 中 AB 3 AC 2 BC 则 10ACAB 3 已知 a 2 3 b 4 7 则 a 在 b 方向上的投影为 4 已知 a 6 b 3 a b 12 则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 A 4 B 4 C 2 D 2 5 已知向量 a 1 1 b 1 2 向量 c 满足 c b a c a b 则 c 等于 A 2 1 B 1 0 C D 0 1 3 2 1 2 四 题型分类 深度剖析 题型一 求两向量的数量积 例 1 1 在 Rt ABC 中 C 90 AB 5 AC 4 求 BCAB 2 若 a 3 4 b 2 1 试求 a 2b 2a 3b 变式训练 1 1 若向量 a 的方向是正南方向 向量 b 的方向是正东方向 且 a b 1 则 3a a b 2 如图 在 ABC 中 AD AB 1 则等于 BC 3 BD AD ADAC A 2 B C D 3 3 2 3 33 题型二 求向量的模 11 例 2 已知向量 a 与 b 的夹角为 120 且 a 4 b 2 求 1 a b 2 3a 4b 3 a 2b a b 变式训练 2 设向量 a b 满足 a b 2 a 2 且 a b 与 a 的夹角为 则 b 3 题型三 利用向量的数量积解决夹角问题 例 3 已知 a 与 b 是两个非零向量 且 a b a b 求 a 与 a b 的夹角 变式训练 3 设 n 和 m 是两个单位向量 其夹角是 60 求向量 a 2m n 与 b 2n 3m 的夹角 题型四 平面向量的垂直问题 例 4 已知 a cos sin b cos sin 0 1 求证 a b 与 a b 互相垂直 2 若 ka b 与 a kb 的模相等 求 其中 k 为非零实数 变式训练 4 已知平面内 A B C 三点在同一条直线上 2 m n 1 5 1 且OA OB OC 求实数 m n 的值 OA OB 12 五 答题规范 5 思维要严谨 解答要规范 试题 设两向量 e1 e2满足 e1 2 e2 1 e1 e2的夹角为 60 若向量 2te1 7e2与向量 e1 te2的夹角为钝角 求实数 t 的取值范围 六 思想方法 感悟提高 方法与技巧 1 向量的数量积的运算法则不具备结合律 但运算律和实数运算律类似 如 a b 2 a2 2a b b2 a b sa tb sa2 t s a b tb2 s t R 2 求向量模的常用方法 利用公式 a 2 a2 将模的运算转化为向量的数量积的运算 3 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧 失误与防范 1 1 0 与实数 0 的区别 0a 0 0 a a 0 0 a 0 0 0 2 0 的方向是任意的 并非没有方向 0 与任何向量平行 我们只定义了非零向量的垂直关系 2 a b 0 不能推出 a 0 或 b 0 因为 a b 0 时 有可能 a b 3 一般地 a b c b c a 即乘法的结合律不成立 因 a b 是一个数量 所以 a b c 表示一个与 c 共线的向量 同理右 边 b c a 表示一个与 a 共线的向量 而 a 与 c 不一定共线 故一般情况下 a b c b c a 4 a b a c a 0 不能推出 b c 即消去律不成立 5 向量夹角的概念要领会 比如正三角形 ABC 中 应为 120 而不是 60 AB BC 七 课后练习 1 设向量 a 1 0 b 则下列结论中正确的是 1 2 1 2 A a b B a b 2 2 C a b D a b 与 b 垂直 2 若向量 a 1 1 b 2 5 c 3 x 满足条件 8a b c 30 则 x 等于 A 6 B 5 C 4 D 3 3 已知向量 a b 的夹角为 60 且 a 2 b 1 则向量 a 与 a 2b 的夹角等于 A 150 B 90 C 60 D 30 4 平行四边形 ABCD 中 AC 为一条对角线 若 2 4 1 3 则等于 ABAC AD BD A 6 B 8 C 8 D 6 5 若 e1 e2是夹角为 的单位向量 且向量 a 2e1 e2 向量 b 3e1 2e2 则 a b 等于 3 A 1 B 4 C D 7 2 7 2 6 若向量 a b 满足 a 1 b 2 且 a 与 b 的夹角为 则 a b 3 7 已知向量 a b 满足 a 3 b 2 a 与 b 的夹角为 60 则 a b 若 a mb a 则实数 13 m 8 设 a b c 是单位向量 且 a b c 则 a c 的值为 9 O 是平面上一点 A B C 是平面上不共线的三点 平面内的动点 P 满足 ACABOAOP 若 时 的值为 1 2 PAPBPC 10 不共线向量 a b 的夹角为小于 120 的角 且 a 1 b 2 已知向量 c a 2b 求 c 的取值范围 11 已知平面向量 a 1 x b 2x 3 x x R 1 若 a b 求 x 的值 2 若 a b 求 a b 12 向量 a cos 23 cos 67 向量 b cos 68 cos 22 1 求 a b 2 若向量 b 与向量 m 共线 u a m 求 u 的模的最小值 第四部分 平面向量应用举例 一 基础知识 自主学习 1 向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行 垂直 平移 全等 相 似 长度 夹角等问题 1 证明线段平行或点共线问题 包括相似问题 常用共线向量定理 a b 2 证明垂直问题 常用数量积的运算性质 a b 3 求夹角问题 利用夹角公式 cos 为 a 与 b 的夹角 a b a b x1x2 y1y2 x2 1 y2 1 x2 2 y2 2 2 平面向量在物理中的应用 平面向量在物理中的应用 1 由于物理学中的力 速度 位移都是 它们的分解与合成与向量的 相似 可以用向量的知 14 识来解决 2 物理学中的功是一个标量 这是力 F 与位移 s 的数量积 即 W F s F s cos 为 F 与 s 的夹角 3 平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具 经常与函数 不等式 三角函数 数列 解析几何等知识结合 当平面向量给出的 形式中含有未知数时 由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式 在此基础上 可以求解有关 函数 不等式 三角函数 数列的综合问题 此类问题的解题思路是转化为代数运算 其转化途径主要有两种 一是利用平面向量平行或垂直的充要条件 二 是利用向量数量积的公式和性质 二 难点正本 疑点清源 1 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观 向量本身是一个数形结合的产物 在利用向量解决问题时 要注意数 与形的结合 代数与几何的结合 形象思维与逻辑思维的结合 2 要注意变换思维方式 能从不同角度看问题 要善于应用向量的有关性质解题 三 基础自测 1 在平面直角坐标系 xOy 中 四边形 ABCD 的边 AB DC AD BC 已知 A 2 0 B 6 8 C 8 6 则 D 点的坐标为 2 已知平面向量 1 2 2 则 2 的值是 3 平面上有三个点 A 2 y B C x y 若 则动点 C 的轨迹方程为 0 y 2 AB BC 4 已知 A B 是以 C 为圆心 半径为的圆上两点 且 等于 5 AB 5 CBAC A B C 0 D 5 2 5 2 5 3 2 5 某人先位移向量 a 向东走 3 km 接着再位移向量 b 向北走 3 km 则 a b 表示 A 向东南走 3 km B 向东北走 3 km 22 C 向东南走 3 km D 向东北走 3 km 33 四 题型分类 深度剖析 题型一题型一 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用 例 1 如图 在等腰直角三角形 ABC 中 ACB 90 CA CB D 为 BC 的中点 E 是 AB 上的一点 且 AE 2EB 求证 AD CE 15 变式训练 1 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长 2 设实数 t 满足 t 0 求 t 的值 AB OC OC 题型二 平面向量在解析几何中的应用 例 2 已知点 P 0 3 点 A 在 x 轴上 点 M 满足 0 当点 A 在 x 轴上移动时 求动点 PA AM AM 3 2MQ M 的轨迹方程 变式训练 2 已知圆 C x 3 y 3 4 及点 A 1 1 M 是圆上的任意一点 点 N 在线段 MA 的延长线上 22 且 2 求点 N 的轨迹方程 MA AN 题型三 平面向量与三角函数 例 3 已知向量 a sin x cos x b sin x sin x c 1 0 1 若 x 求向量 a 与 c 的夹角 3 2 若 x 求函数 f x a b 的最值 3 8 4 3 函数 f x 的图象可以由函数 y sin 2x x R 的图象经过怎样的变换得到 2 2 变式训练 3 已知 A 3 0 B 0 3 C cos sin 1 若 1 求 sin的值 2 若 且 0 求与的夹角 AC BC 4 OA OC 13 OB OC 五 易错警示 9 忽视对直角位置的讨论致误 试题 已知平面上三点 A B C 向量 2 k 3 2 4 BC AC 1 若三点 A B C 不能构成三角形 求实数 k 应满足的条件 2 若 ABC 为直角三角形 求 k 的值 16 六 思想方法 感悟提高 方法与技巧 1 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来 这就为向量和函数的结合提供了前提 运用向量的有关知识可以 解决某些函数问题 2 以向量为载体 求相关变量的取值范围 是向量与函数 不等式 三角函数等相结合的一类综合问题 通过向 量的坐标运算 将问题转化为解不等式或求函数值域 是解决这类问题的一般方法 3 有关线段的长度或相等 可以用向量的线性运算与