平面图形的认识一

6 1 线段 射线 直线 知识点一 1 直线和射线 线段是整体与部分的关系 射线和线段都是直线的一部分 在 射线上取一点可得线段 在直线上取一点可得两条射线 取两点可得一条线段 2 相同点 它们都是由无数个点构成的 都是直的 都没有粗细 3 不同点 从端点上看 线段有两个端点 射线有一个端点 直线没有端点 线段不能延伸 可度量 射线向一方无限延伸 直线向两个方向无限延伸 都不可度量 具体情况如下表 线段射线直线 图例 端点2 个端点1 个端点0 个端点 字母表示 位置 两个端点一个端点和射线上 任一点 直线上任意两点 读法线段 AB 或线段 BA 或 线段 a 射线 AB 从端点开 始读 直线 AB 或直线 BA 或 直线 l 长度可度量长度无限长无限长 例 1 图中有几条直线 有几条射线 有几条线段 并把能用字母表示的表示 出来 知识点二 直线的基本性质 两点确定一条直线 例 2 把一根木条固定在墙上 至少要钉几个钉子 为什么 知识点三 线段的基本性质及两点之间的距离 1 线段的基本性质 两点之间的所有连线中 线段最短 简称 两点之间线段最短 2 两点之间的距离 两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离 例 3 如图所示 从公园甲到公园乙有 三条线路 假如你现在在公 园甲 打算去公园乙 为了节省时间 你会选择哪条路线 为什么 知识点四 线段大小的比较和线段的画法 1 比较线段大小的两种方法 度量法 先分别用刻度尺度量出每条线段的长度 然后按它们长度的大小进 行比较 叠合法 如图所示 可先把两条线段移到同一条直线上 使它们一端点重合 另一点在这一重合点同一侧 如图甲 点 A 和点 C 重合 另一端点 B 和点 D 也重合 则说明这两条线段相等 可表示为 AB CD 如图乙 点 A 和点 C 重合 另一端点 D 在线段 AB 上 不与点 B 重合 就说线 段 AB 大于 CD 可表示为 AB CD 如图丙 点 D 在线段 AB 的外侧 就说线段 AB 小于 CD 可表示为 AB CD 特别提醒 线段大小的比较 实际上就是两点间距离长短的比较 2 画一条线段等于已知线段 截取法 用圆规截取的方法是画一条线段等于已知线段的常用方法 如图所 示 把圆规的两脚分开 使一脚与线段 a 的一个端点重合 另一脚与线段 a 的 另一个端点重合 这样可以用圆规量出线段 a 的长度 然后画出一条射线 AB 在射线 AB 上以 A 为圆心 以 a 为半径画弧 交射线 AB 于点 C 那么就有 AC a 度量法 用刻度尺先量出线段 a 的长度 再画一条等于这个长度的线段 例 4 如图 用圆规比较大小 AB AC AB BC 知识点五 线段的中点 定义 把一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点 线段中点的特征 如图 点 M 是线段 AB 的中点 则有 AM MB AB AB 2AM 2MB 1 2 例 5 已知如图所示 B C 两点把线段 AD 分成 2 3 4 的三部分 M 是 AD 的中 点 CD 6 求线段 MC 的长 知识点六 线段的和与差 如图所示 点 B 在线段 AC 上 若 AB a BC b AC c 则线段 AC 可表示为线段 AB 与 BC 的和 即 AC AB BC 或 c a b BC 可表示为线段 AC 与 BC 的差 即 AB AC BC 或 a c b 例 6 如图 AB CD 那么 AC 与 BD 的大小关系是 A AC BD B AC BD C AC BD D 无法确定 典型例题 分类讨论 1 已知平面内有四个点 A B C D 过其中两点画直线 可以画出几条 与线段中点有关的计算题 例 2 如图 已知 AB 24cm M 为 AB 的中点 N 为 PB 的中点 且 NB 8cm 求 PA 的长 用图形的性质解决实际问题 例 3 如图 设 A B C D 为 4 个居民小区 现要在四个居民小区中间建造一 个购物中心 试问应把购物中心建在何处 才能使 4 个居民小区到购物中心的 距离之和最小 说明理由 易错点 求线段长度时考虑不周全 出现漏解 例 4 已知线段 AB 10cm 直线 AB 上有一点 C 且 BC 4cm M 是线段 AC 的中 点 求线段 MB 的长度 6 2 角 知识点一 角的定义及表示方法 角是两条有公共端点的射线所组成的图形 这个公共端点叫做这个角的顶点 两条射线叫做角的边 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图 形 角用符号 表示 通常有以下三种表示方法 用三个大写的英文字母表示 如图 记作 AOB 或 BOA 其中 O 是角的顶 点 写在中间 A B 分别是角的两边上的一点 写在两边 可以交换位置 用一个大写的英文字母表示 如图 可记作 O 用这种表示方法的前提是 以 O 为顶点的角只有一个 否则不能用这种表示方法 如图 所示的 AOC 就 不能记作 O 因为此时以 O 为顶点的角不止一个 容易引起混淆 用数字或希腊字母来表示 用这种方法表示角时 要在靠近顶点处加上弧线 注上阿拉伯数字或小写的希腊字母 等 如图 中 AOB 记作 1 BOC 记作 2 如图 AOB 记作 BOC 记作 例 1 下列说法正确的是 A 角的两边可以度量 B 一条直线可以看成是一个平角 C 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 D 两条射线组成的图形是角 知识点二 角的大小比较 1 度量法 如下图所示 用量角器量得 1 2 所以 1 2 40 30 2 叠合法 如图所示 比较 ABC 与 DEF 的大小 先让顶点 B E 重合 再让 边 BA 和边 ED 重合 使另一边 BC 和 EF 落在 BA 的同侧 如果 EF 和 BC 也重合 如图 所示 那么 DEF 等于 ABC 记作 DEF ABC 如果 EF 落在 ABC 的外部 如图 所示 那么 DEF 大于 ABC 记作 DEF ABC 如果 EF 落在 ABC 的内部 如图 所示 那么 DEF 小于 ABC 记作 DEF ABC 例 2 已知 则 与 的大小关系是 50 4 50 4 A B C D 以上都不对 知识点三 角的和差运算 如图 所示 ABC 1 2 中 GEF DEG 1 例 3 根据下图回答问题 AOC 是哪两个角的和 AOB 是哪两个角的差 如图 AOB COD 那么 AOC 与 DOB 的大小关系如何 试说明理由 知识点四 角的度量单位及换算 角的度量单位是度 分 秒 把一个圆周平均分成 360 份 每一份就是 1 度的 角 把 1 度的角平均分成 60 份 每一份的角就是 1 分的角 记作 把 1 60 1 分的角平均分成 60 份 每一份就是 1 秒的角 记作 1 60 特别提醒 角的度 分 秒的换算和时间中小时 分钟 秒的换算类似 例 4 用度 分 秒表示 47 53 用度表示 54 4 12 知识点五 角的画法 1 用量角器可以画出到之间的任意度数的角 0 180 2 还可以用一副三角尺画出一些特殊的角 如 30 45 60 75 15 等 90 3 可以用圆规和直尺作一个角等于已知角 如图 已知 AOB 画一个角等于这 个角 作法 以点 O 为圆心 任意长为半径画弧 分别交 0A 0B 于点 C D 画一条射线 以点为圆心 OC 长为半径画弧 l 交于点 以点 为圆心 CD 长为半径画弧 交弧 l 于点 过点画射线 则 就是与 AOB 相等的角 例 5 如图 已知 AOB 请你用直尺和圆规作 使 2 AOB 要求保留作图痕迹 知识点六 角平分线 从一个角的顶点引出一条射线 把这个角分成两个相等的角 这条射线叫做这 个角的平分线 如图所示 OC 是 AOB 的平分线 则 AOC BOC AOC AOB BOC AOB 1 2 1 2 AOB 2 AOC AOB 2 BOC 注意 可以利用量角器画角平分线 也可以利用对折的方法画角平分线 典型例题 方向角问题 如图 从 A 看 B 的方向是北偏东 那么从 B 看 A 的方向是 A 南偏东 B 南偏西 C 南偏东 D 南偏西 60 60 30 30 钟面角的问题 钟表在整点时 时针与分针的夹角会出现 5 种度数相等的情况 请你分别写出 它们的度数 有关角平分线的探究题 如图 AOB 是直角 BOC OM 平分 AOC ON 平分 BOC 求 MON 的 30 度数 若 中的 AOB 其他条件不变 求 MON 的度数 你从 的结果中能发现什么规律 易错点 在解没有图形的问题时 分析要全面 以免造成漏解 已知 AOB 2 BOC 是判断 OC 是否为 AOB 的平分线 6 3 余角 补角 对顶角 知识点一 互为余角和互为补角 1 互余 如果两个角的和是一个直角 那么这两个角互为余角 简称互余 其 中的一个角叫做另一个角的余角 2 互补 如果两个角的和是一个平角 那么这两个角互为补角 简称互补 其 中的一个角叫做另一个角的补角 拓展延伸 若 则 与 互余 反之 若 与 互 90 余 则 或 或 90 90 90 若 则 与 互补 反之 若 与 互补 则 180 或 或 180 180 180 互余 互补均指的是两个角之间的关系 不存在 是余角 之类的说法 互余 互补是指两角之间在数量 度数 上的特殊关系 与它们之间的位置 无关 例 1 如果一个角是 那么 36 A 它的余角是 B 它的补角是 C 它的余角是 D 它的补角 64 64 144 是144 知识点二 互余 互补的性质 互为余角和互为补角的性质 同角 等角 的余角相等 同角 等角 的补角 相等 例 2 如图 AB CD 相交于点 O OE AB 那么下列结论错误的是 A AOC 与 COE 互为余角 B BOD 与 COE 互为 余角 C COE 与 BOE 互为补角 D AOC 与 BOD 互为 补角 知识点三 对顶角 1 对顶角的概念 如图 直线 AB CD 相交于点 O 我们把其中的 1 和 2 叫做对顶角 3 与 4 也是对顶角 对顶角是由两条直线相交所得 属于隐含条件 只要已知两条直线相交 就等 于告诉存在对顶角 注意 对顶角是具有特殊位置关系的两个角 必然是成对出现的 互为对顶角的两个角有公共顶点 一个角的两边是另一个角两边的反向延长 线 2 对顶角的性质 对顶角相等 对顶角性质的证明 如图所示 直线 AB CD 相交于点 O 试说明 1 2 证明 因为 1 3 2 3 180 180 所以 1 2 都是 3 的补角 所以 1 2 同角的补角相等 例 3 如图所示 OC 平分 AOB 反向延长 OC 到 D 反向延长 OA 到 E 3 求 BOE 的度数 25 典型例题 题型一 互余 互补性质的综合运用 一个角的补角比它的余角的 还多 求这个角 3 260 题型二 图形中对顶角 互余的角 互补的角的识别 如图 已知直线 AB CD EF 相交于点 O 指出图中所有的对顶角 并指出其中 有哪些角相等 哪些角互补 题型三 计算与图形有关的角度问题 如图 已知直线 AB DE 相交于点 O AOC OC 平分 EOB 求 AOD 的 160 度数 易错点 互余 互补的概念理解不清 互余 互补是针对两个角而言的 而不是三个或更多的角之间的关系 有的学 生误认为多个角也可以互余 互补 若 1 2 3 则 1 2 3 互为余角 这种说法正确吗 为什么 90 6 4 平行 知识点一 平行线的概念 1 平行线的定义 在同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 2 平行线的表示 下图中的两条直线互相平行 记作 a b 也可以记作 AB CD 或 CD AB 注意 对平行线概念的理解注意以下三个方面 在同一平面内 是定义的前提条件 是相对于空间而言的 不相交 是平行线的特征 平行线是指两条直线平行 而不是射线或线段 两条射线或两条线段平行 是指它们所在的直线平行 两条直线的位置关系 在同一平面内 两条直线的位置关系有两种 相交 平行 例 1 下列说法正确的是 A 在同一平面内 两条不平行的线段必相交 B 在同一平面内 两条不相交的射线必平行 C 两条直线不平行就相交 D 两条射线或线段平行 是指它们所在的直线平行 知识点二 平行线的性质 平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 补充 有且只有 的含义 有 表示存在性 只有 表示唯一性 例 2 如图 a b a 与 c 相交于点 O 那么 b 与 c 相交吗 为什么 知识点三 平行线的画法 1 用三角板画平行线 过直线外一点画已知直线的平行线 可按 落 靠 推 画 四步操作 一落 用三角板的一边落在已知直线上 如图 二靠 用直尺靠紧三角板的另一边 如图 三移 沿直尺移动三角板 使三角板中与已知直线重合的边过已知点 如图 四画 沿过已知点的三角板的边画直线 如图 2 利用方格纸画平行线 在方格纸中 所有横线互相平行 所有竖线也互相平行 可用 描线法 来画 也可以连接长方形的对角线斜着画 如图 AB EF GH 试着在上面画几组互相平行的线 例 3 如图 方格纸中仅用直尺过点 P 画线段 PQ 使 PQ AB 典型例题 题型一 平行线的概念 下列说法正确的是 A 没有公共点的两直线一定平行 B 一条直线的平行线只有一条 C 在同一平面内 没有公共点的线段必平行 D 在同一平面内 不平行的两条直线必相交 题型二 动手操作 探索结论 画一画 在图 中 以 P 为顶点画 P P 为锐角 使 P 的两边分别和 1 的两边平行 再在图 中 以 P 为顶点画 P P 为钝角 使 P 的两边 分别和 1 的两边平行 量一量 量出 1 和 P 的度数 它们之间的关系是 猜一猜 如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行 那么这两个角的关 系是 做一做 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边 且这个角为 求 30 另一个角的度数 易错点 忽略平行线定义中的条件 两条不相交的直线平行的前提条件是在同一平面内 判断正误 永不相交的两条直线是平行线 6 5 垂直 知识点一 垂直的概念 1 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角 那么这两条直线互相垂 直 其中的一条直线叫做另一条直线的垂直 它们的交点叫做垂足 2 图中的两条直线互相垂直 记作 a b 或 AB CS 其中点 O 是垂足 3 根据垂直的定义 如果直线 AB CD 相交于点 O AOC 或其他 3 个角 90 中的任一个角等于 那么 AB CD 推理过程 因为 AOC 90 所以 AB CD 反之 如果 AB CD 那么相交所得的 4 个角中的任意一个角都是直角 推理过 程可以写成 因为 AB CD 所以 AOC 或其他 3 个角中的任一个角等于 90 90 整理归纳 两线段垂直 两射线垂直 线段与射线垂直 线段或射线与直线 垂直 其中的线段 射线都是指它们所在的直线 垂直用符号 表示 如 a b 读作 a 垂直于 b AB CD 读作 AB 垂直 于 CD 垂直于垂线是两个不同的概念 垂直是指两条直线的一种特殊位置关系 而 垂线是这种特殊位置关系下的一条直线 它是指图形本身 例 1 如图 1 2 则 CD 与 CE 的位置关系是 53 37 知识点二 垂线的画法 1 量角器画法 经过直线上一点画已知直线的垂线 先让量角器的底线落在已知直线上 并使量角器底线的中心点与直线上已知的 点 O 重合 再在量角器 90 度所对的位置处标出一点 C 拿走量角器 过 O C 两点作直线 OC 即可 经过直线外一点画已知直线的垂线 先让量角器的底线落在已知直线上 并使量角器 90 度所对的直线经过直线外的 点 P 再在量角器 90 度所对的位置处标出一点 C 过 P C 两点作直线 PC 即可 2 三角板画法 落 使三角板的一条直角边落在已知直线上 过 移动三角板 使三角板的另一直角边经过已知点 画 沿过已知点的直角边画直线 例 2 如图 为钝角 过点 C 画 AB 的垂线 过点 A 画 BC 的垂线 过点 B 画 AC 的垂线 知识点三 垂线的性质 1 垂线的基本事实 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 注意 有且只有 包含两层含义 有 表示存在性 只有 表示 唯一性 过一点 的点可以是直线外的点 也可以是直线上的点 2 垂线段的重要性质 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最 短 也可以简单的说成 垂线段最短 如图 点 P 是直线 l 外一点 PO l 于点 O 因为过点 P 只能有一条直线与已知 直线垂直 所以直线 PA PB PC 都与直线 l 不垂直 我们把线段 PO 叫做点 P 到直线 l 的垂线段 线段 PA PB PC 叫做点 P 到直线 l 的斜线段 显然 垂线 段最短 即 PO PA 或 PB PC 例 3 如图 位于公路 l 旁的一个小村庄 A 想修一条路与公路相连 问怎样修 路程最短 请画出示意图 并说明理由 知识点四 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 如图 PO l 于点 O 垂线段 PO 的长度就是点 P 到直线 l 的距离 若 PO 3cm 则可以说点 P 到直线 l 的距离是 3cm 注意 点到直线的距离是指 垂线段的长度 是指一个数量 而垂线或垂线 段是一个图形 故不能说 垂线段是点到直线的距离 点到直线的距离实质上 是直线外一点与垂足之间的距离 可以理解成两点间的距离 点到线段或点到射线的距离 是指点到线段或射线所在直线的距离 有时要 将线段延长或将射线反向延长 例 4 已知 如图 OD BC D 是垂足 连接 OB 下列说法中 线段 OB 是 O B 两点间的距离 线段 OB 的长度是 O B 两点间的距离 线段 OD 是 O 点到直线 BC 的距离 线段 OD 的长度是 O 点到直线 BC 的距离 正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 典型例题 题型一 利用垂线段最短解决生活问题 如图 某人在公路的左侧 A 处 要到公路的右侧 怎样走最近 为什么 若他 要到公路对面的 B 处 怎样走最近 为什么 题型二 利用垂直定义判断两条直线垂直 如图 已知 A O B 三点在同一条直线上 OC 为任意一条射线 OD 平分 BOC OE 平分 AOC 试判断 OD 和 OE 的位置关系 并说明理由 题型三 利用垂直定义求角的度数 如图 已知 AB 与 CD 相交于点 O OM CD OA 平分 MOE 且 BOD 求 30 AOM COE BOE 的度数 易错点 点到直线的距离的概念与垂线段的概念相混淆 点到直线的距离的概念与垂线段的概念相混淆 点到直线的距离是指垂线段的长度 而不是指垂线段 垂线段是一个几何图形 而距离是一个数值 把握好 点到直线的距离 这个概念 一要看是否为垂线 段 二要看是否为垂线段的长度 如图 CD OB 于点 D EF OA 于点 F 那么 O 到 CD 的距离是 O 到 EF 的距离是 C 到 OB 的距离是 E 到 OA 的距离是 6 1 线段 射线 直线 知识点一 线段 射线 直线的概念 1 下列语句正确的是 A 画直线 AB 10cm B 画射线 OB 3cm C 延长射线 OA D 延长线段 AB 到点 C 使得 BC AB 2 对于直线 AB 线段 CD 射线 EF 在下列各图中能相交的是 3 某条直线上有 4 个点 那么 A 有 3 条线段 2 条射线 B 有 6 条线段 8 条射线 C 有 3 条线段 8 条射线 D 有 4 条线段 2 条射线 4 如图 水平的直线可以表示为 也可以表示为 竖直的直线 可以表示为 也可以表示为 5 如图 射线有 条 线段有 条 知识点二 直线的基本性质 6 建筑工人在砌墙时 总是在墙角的地方立两根标志杆 并在两根杆之间拉一 根准线 这样做的道理是 知识点三 线段的基本性质及两点之间的距离 7 下列说法中错误的是 A A B 两点间的距离为 5km B A B 两点间的距离是线段 AB 的长度 C A B 两点间的距离就是线段 AB D 线段 AB 的中点 M 到 A B 的距离相等 8 下列四个生活 生产现象 用两个钉子就可以把木条固定在墙上 植树 时 只要定出两棵树的位置 就能确定同一行树所在的直线 从 A 地到 B 地 架设电线 总是尽可能沿着线段 AB 架设 把弯曲的公路改直 就能缩短路程 其中可用 两点之间线段最短 来解释的现象有 A B C D 知识点四 线段大小的比较和线段的画法画直线 9 下列关于作图的语句 AB 10 厘米 画射线 OB 10 厘米 已知 A B C 三点 过这三点画一条直线 画线段 OB 10 厘米 其中正确的是 填序号 知识点五 线段的中点 10 已知线段 AB 8cm 点 C 在线段 AB 上 点 M N 分别为 AC 和 BC 的中点 则 线段 MN 的长为 11 已知点 B 在直线 AC 上 线段 AB 8cm AC 18cm P Q 分别是线段 AB AC 的 中点 则线段 PQ 知识点六 线段的和与差 12 如图 长度为 12cm 的线段 AB 的中点为 M 且 MC CB 1 2 则线段 AC 的长 度为 cm 能力提高 1 平面上有任意三点 过其中两点画直线 共可以画 A 1 条 B 3 条 C 1 条或 3 条 D 无