江苏省各地市高三历次模拟数学试题分类汇编：第5章三角函数

- 1 - 目录 （基础复习部分） 第五章 三角函数 . 2 第 26课 三角函数的有关概念 . 2 第 27课 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 . 2 第 28课 两角和与差的三角函数 . 2 第 29课 二倍角的三角函数 . 4 第 30课 三角函数的图象 . 4 第 31课 三角函数的性质 . 8 第 32课 三角函数的值域与最值 . 9 第 33课 正弦定理和余弦定理 . 34课 综合应用 . 16 - 2 - 第五章 三角函数 第 26课 三角函数的有关概念 在平面直角坐标系中，已知角4的终边经过点 ),4,3(P 则 的终边经过点 ( ),6且 3，则 x 的值为 盐城三模） 若角 +4的 顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边在直线 12，则 值为 . 13(南通中学期中 ) 已知角 终边经过点(2 si n 2, 2 )P ，则 【知识点】 角的概念及任意角的三角函数 答案】 扬州中学 ) 角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 (1,2)P ，则 ) 的值是 55第 27课 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 已知 5 , 且 3( , 2 )2 ，则 14第 28课 两角和与差的三角函数 若 1s i n +1 2 3 （ ），则 7c o s +12 （ ） 13 （扬州期末） 已知 (0, ) ， 4，则 )4 = . 17（南师附中四校联考） 已知312，则 2的值为 金海南三校联考）在 ，已知 33 值为 栟茶中学学测 二 )，若53）（ A，512 ）（ B，则C 651615.(本题满分 14 分 )在 中，已知 ).s i n (2)s i n ( （ 1）若 ,6A （ 2）若 ,2A 求 值 . 解 :（ 1） 由条件，得 s i n ( ) 2 s i n ( )66 3 1 3 1s i n c o s 2 ( s i n c o s )2 2 2 2A A A A 3 分 化简，得 co A 6 分 - 3 - 又 (0,)A ， 3A 7 分 （ 2）因为 s i n ( ) 2 s i n ( )A B A B ， s i n c o s c o s s i n 2 ( s i n c o s c o s s i n )A B A B A B A B 化简，得 3 c o s s i n s i n c o A B 11 分 又 ， 又 A ， 2B 14 分 （苏州期末） 已知向量 ( 2)a ， (1)b ，且 a ， b 共线，其中 (0, )2 （ 1）求 )4 的值； （ 2）若5 c o s ( ) 3 5 c o s ，0 2， 求 的值 解 ： （ 1） a b ， s c o s 0，即 4 分 1 t a n 1 2t a n ( ) 34 1 t a n 1 2 7 分 （ 2）由（ 1）知 ，又 (0, )2， 25， 5 9 分 5 c o s ( ) 3 5 c o s ， 5 ( c o s c o s s i n s i n ) 3 5 c o s ， 即 5 c o s 2 5 s i n 3 5 c o s ， ，即 12 分 又 0 2 ， 4 14 分 （盐城期中）已知 函数 ( ) s i n c o s ( 0 )f x x a x 满足 (0) 3f ，且 ()邻两条对称轴间的距离为 . （ 1）求 a 与 的值； （ 2）若 ( ) 1f ， ( , )22 ， 求 5)12 的值 . 解： （ 1） (0) 3f ， s i n 0 c o s 0 3a，解得 3a ， 2 分 ( ) s i n 3 c o s 2 s i n ( )3f x x x x ， 4 分 () ， 22|T ， | | 1 ，又 0 ，所以 1 . 6 分 （ 2） ( ) 1f ， 1s )32 ， 8 分 ( , )22 ， 5( , )3 6 6 ， 36 ，即 6 ， 10 分 - 4 - 57c o s ( ) c o 1 2 ，又 7c o s c o s ( )1 2 3 4 ， 5 2 6c o s ( ) c o s c o s s i n s i 3 4 3 4 4 . 14 分 第 29课 二倍角的三角函数 （淮安宿迁摸底） 若 1c o s ( )33 ，则 ) 的值是 79（前黄姜堰四校联考） 若 ( , ),2 c o s 2 s i n ( )4，则 的值为 . 12第 30课 三角函数的图象 将函数 的图象向左平移 ( 0) 个单位，可得到函数 s 2 )4的图象，则 的最小值为 81 已知函数 s i n 0 , 0 ,2y A x A 的图象上有一个最高点的坐标为 2, 2 , 由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与 x 轴交于点 6,0 , 则此解析式为 函数 11y x 的图象与 2 s i n ( 2 4 )y x x 的图象所有交点的横坐标之和等于 4 将函数 ( )3 c o s s i ny x x x= + ? 的图像向左平移个 ( )0单位长度后，所得的图像关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 . 6（南京盐城模拟一） 若函数 ( ) s i n ( ) ( 0 )6f x x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，且该函数图象关于点0( ,0) 0, 2x ，则0x . 答案： 512（苏北四市期末） 将函数 2 s i n ( ) ( 0 )4 的图象分别向左、向右各平移 4 个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则 的最小值为 2 （泰州二模）设函数 ( ) 3 s i n ( )3f x x和 ( ) s i n ( )6g x x的图象在 y 轴左、右两侧靠近 y 轴的交点分别为 M 、 N ，已知 O 为原点，则 N 89（南通调研二）若函数 ( ) 2 s i x x( 0)的图象与 x 轴相邻两个交点间的距离为 2，则实数 的值为 【答案】 22 s i n 84 - 5 - （南京三模） 若 将函数 f(x) x 6) ( 0)的图象向左平移 9个单位后， 所得图象对应的函数为偶函数 ，则 实数 的最小值是 32 （苏锡常镇二模）函数 3 s i n ( 2 )4的图象向左平移 (0 )2个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则 38（南师附中四校联考）右图是函数 )0)(s )( 像的一部分，则 的值为 扬州期末） 已知函数 ( ) s i n ( ) ( 0f x A x A ， 0 ，0)2 部分图象如图所示 （ 1）求函数 () （ 2）当 15 , 22x时，求函 数 ( 1 ) ( )y f x f x 的值域 （ 1）由图， 2A ， 21( ) 14 3 3T ，得 4T ，2，则( ) 2 s i n ( )2f x x .3 分 由 22( ) 2 s i n ( ) 23 2 3f ，得 ) 13 ，所以 2 ( )32k k Z . 又 02，得6，所以 ( ) 2 s i n ( )26f x x； 7 分 （ 2） ( 1 ) ( ) 2 s i n ( ) 2 c o s ( ) 2 2 s i n ( )2 6 2 6 2 1 2y f x f x x x x 10 分 因为 15 , 22x，故 76 2 1 2 6x ，则 1 s i n ( ) 12 2 1 2x ， 2 ( ) 2 2 ， 所以函数 ( 1 ) ( )y f x f x 的值域为 2 , 2 2 14 分 （南通调研三） 已知 函数 ( ) s i n ( )f x A x（其中 A， ， 为常数， 且 A 0， 0，22 ）的部分图象如图所示 （ 1）求 函数 f(x)的解析式； x y 2 O 23 13 x y O 2 2 南通调研三 3300yx y 师附中四校联考 - 6 - （ 2）若 3()2f ，求 )6 的值 解 ：（ 1）由图可知， A2， 2 分 T2 ，故 1 ，所以， f(x) 2)x 4 分 又 22( ) 2 s i n ( ) 233f ，且22 ，故6 于是， f(x) 2)6x 7 分 （ 2） 由 3()2f ，得 3)64 9 分 所以， s i n ( 2 ) s i n 2 ( ) c o s 2 ( )6 6 2 6 12 分 =2 11 2 s i n ( )68 14 分 (姜堰区下学期期初 ) 已知函数 s i n 0 ,4f x x x R 的最小正周期为 . （ I） 求6f . （ 在图 中 给定的平面直角坐标系中 ,画出函数 y f x 在区间 ,22上的图象 ,并根据图象写出其在 ,22上的单调递减区间 . ( ) 由题意：2 , 2 , ( ) s i n ( 2 )4f x x 2分 62( ) s i n ( )6 3 4 4f 4分 ( )因为 ,22x 所以 532,4 4 4x 6分 x 238883822 4x 54 2 0 2 34 y 220 1 0 1 22 8分 图像如图所示： - 7 - 12 分 由图像可知 y f x 在区间 ,22上 的单调递减区间为 3 , , , 2 8 8 2 。 14 分 - 8 - 第 31课 三角函数的性质 函数 ( ) c o s s i n 3 c o 2x x 的最小正周期为 2p 函数 f(x) 最小正周期为 函数 ( ) s 3 )6f x x 的最小正周期为 答案 ： 23； （盐城期中） 函数 2( ) x x 的最小正周期 为 ）苏州期末） 已知函数 ( ) s i n ( )5f x k x 的最小正周期是3，则正数 k 的值 为 . 6 设函数 ( ) s i n ( ) 3 c o s ( ) ( 0 , )2 x x 的最小正周期为 ，且满足 ( ) ( )f x f x ，则函数()单调增区间为 , , ( )2 k k k Z （南通调研一） 已知函数 ( ) s i n 26f x x 若 ( ) ( 0 )2y f x 是偶函数， 则 .3 （南京盐城二模） 函数 c 的最小正周期为 。 （苏北三市调研三） 函数 ( ) s i n ( ) ( 0 2 )6f x x ，若 2( ) 13f ，则函数 ()y f x 的最小正周期为 4 （金海南三 校联考） 若函数 f(x)= x)( 0 )在区间 0, 3上单调递增，在区间 , 32上单调递增，则 的值为 知向量 a 3 s c o ， b ， ( ) 2 (1)求函数 ()图象的 对称轴方程； (2)当 0,x 时，若 ( ) 1 ，求 x 的值 解：（ 1） ( ) 22( 3 s i n c o s c o s )x x x1 3 s i n 2 c o s 2 2 s 2 )6x 2 分 32 2 22 6 2k x k 263k x k ， 5 分 即 函数 () , , k k 令 26 2 2 6kx k x ， 即函数 () - 9 - （ 2） ( ) 1 ，即 12 s i n ( 2 ) 1 s i n ( 2 )6 6 2 130 , 2 , 6 6 6 ； 72 6 6 2 1 1 526 6 6 （注： Zk 漏写扣 1 分） 第 32课 三角函数的值域与最值 函数 s in c o sf x x x 的最大值是 12（扬州期末） 已知 A( ,单位圆（圆心为坐标 原 点 O，半径为 1）上任一点，将射线 点 O 逆时针旋转3到 单位圆于点 B( ,已知 0m ，若 2y的最大值为 3，则 m = . 61 17已知函数 22( ) 2 3 s i n c o s s i n c o sf x a x x a x a x b ， ( , ) （ 1）若 0a ，求函数 () （ 2）若 , 44x 时，函数 ()，最小值为 13 ，求 , 17解：（ 1）因为 22( ) 2 3 s i n c o s s i n c o sf x a x x a x a x b 3 s i n 2 c o s 2a x a x b 2 分 2 s i n ( 2 )6a x b 4 分 且 0a ，所以函数 () , ,63k k k Z 6 分 （ 2）当 , 44x 时， 22 , 6 3 3x ， 2 s i n ( 2 ) 2 , 3 4x ， 8 分 则当 0a 时，函数 ()，最小值为 2 所以 3 3 ,2 1 3 , 解得 1, 3 3 10 分 当 0a 时，函数 ()，最小值为 3 所以 3 1 3 ,2 3 , 解得 1, 1 12 分 - 10 - 综上 ， 1, 3 3 或 1, 1 14 分 已知向量 3( )4ax=r ， (co s , 1)r . （ 1）当 a b 时，求 )4x （ 2）设函数 ( ) 2 ( )f x a b b= + ?r r r，当 0, 2x () （苏锡常镇二模） 已知函数 s i n ( ) c o x x x （ 1）求函数 写出当 x 的取值集合； （ 2）若 33( 0 , ) , ( )2 6 5f ，求 2f 的值 - 11 - B D C 南通调研二 A 第 33课 正弦定理和余弦定理 在 中，角 , 的对边分别是 , ，若 ,2,30,s i i n 的面积是 . 3 如图，在 ，已知4B ， D 是 上一点， 10 14 6则 56 （南京盐城二模） 中， D 是 的一点。已知 060B ，2 , 1 0 , 2A D A C D C ， 则 。2 63 在 A， B， 长分别为 a， b， c已知 a 2c 2b， 2 24 （镇江期末） 若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为 m ，则 m 的取值范围是 . (2, ) （盐城期中） 在 中， ,对边，若 4a ， 3b ， 2，则 s i n B = . 53 （南通调研二） 如图 ，在 ， 3， 2， 4，点 C 上， 45 ，则 的值为 【答案】 8 157（金海南 三校联考） ， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对边的长 .若 ， 2 ，且 A B4 (1)求 a 的值； (2)求 值 . 解： （ 1）由正弦定理知， 2， 2 分 又 1， 题图 - 12 - ， 两式平方相加，得 ( ( 3， 4 分 因为 1， 所以 a 3（负值已舍）； 6 分 （ 2） ， 两式相除，得 2,即 2, 8 分 因为 A B 4， 所以 4) 12 分 1 21 2 3 2 2 14 分 （淮安宿迁摸底） 已知 的内角 ,对边分别为 ,B （ 1）若 23b ， 2a ，求 c 的值 ； （ 2）若 3A ，求 值 （ 1）由余弦定理得 ， 2 2 2 2 c o sb c a c a B ， 3 分 因为3B ， 23b ， 2a ， 所以 21 2 4 2 ， 即 2 2 8 0 5 分 解之得 4c ， 2c （舍去） 所以 4c . 7 分 （ 2） 因为 A B C ， 3A ， B 所以 t a n t a n ( )C A B 9 分 t a n t a n1 t a n t a 11 分 2 3 3 3 351 2 3 3 所以 33 14 分 在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c已知 233， 3 （ 1）求 值； （ 2）求 值； （ 3）若 33b ，求 面积 - 13 - 15 解：（ 1）因为 A B C p ， 3，所以 2 2 分 又由正弦定理，得 2 3 2 s i n c o s3 s i 化简得， 3 5 分 （ 2）因为 0,C p ，所以2 16s i n 1 c o s 1 33 所以 6 3 2 2s i n s i n 2 2 s i n c o s 23 3 3B C C C 8 分 （ 3）因为 2， 所以2 11c o s c o s 2 2 c o s 1 2 133B C C 10 分 因为 A B C p ， 所以 22s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i 1 6 6()3 3 3 9A B C B C B C 12 分 因为 233， 33b ，所以 92c 所以 面积 1 1 9 6 9 2s i n 3 32 2 2 9 4S b c A 14 分 （ 镇江期末） 已知 的面积为 S ，且 （ 1）求 （ 2）若 3， 23A B A C， 求 解：（ 1） 面积为 S ，且 2A B A C S ， 1c o s 2 s i c A b c A， co ， A 为锐角， 2 2 2 2 213s i n c o s s i n s i n s i n 122A A A A A ， 6 （ 2）设 角 A ， B ， C 对边分别为 a ， b ， c | | 3AB c ， | | 2 3A B A C C B a ， 由正弦定理得即 3 2 33C ， 2 又 ，则 C 锐角， 4C s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i 4B A A A = 6 2 3 2 2 3 63 2 3 2 6 （盐城期中） 设 3 0S A B A C . - 14 - （ 1） 求 角 小 ； （ 2） 若| | 3 且角 B 不是最小角， 求 （ 1）设 中角 ,对的边分别为 ,2 3 0S A B A C ， 得12 c 2 ， 即 ， 2 分 所以A， 4 分 又(0, )，所以23A . 6 分 （ 2）因为3所以a， 由正弦定理，得32 si n si ， 所以2 2 c C， 8 分 从而1 )23S B C B B 10 分 3 1 3 1 c o s 2 3 33 s i n ( c o s s i n ) 3 ( s i n 2 ) s i n ( 2 )2 2 4 4 2 6 4 B B B ， 12 分 又5( ) , 2 ( , )6 3 6 2 6 ，所以3(0, )4S. 14 分 （南通调研一） 在 ，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c 已知 c o s c o s 2 c o c B a A （ 1） 求角 A 的大小； （ 2） 若 3A B A C，求 的面积 （苏北三市调研三） 在 中 ， 角 A,B,C 的对边分别为 , 已知 1 （ 1）求 值 ； （ 2）若 =5c ， 求 的面积 - 15 - 解： （ 1） 1， 0,C ， 22 2 分 A B C ， s i n s i C 3 分 1 2 2s i n c o s c o s s i n s i n c o B C B B ， 5 分 由题意 1 2 2s i n c o s 2 c o B， 12s i n c o ， B 7 分 （ 2） 由 （ 1） 知 B , 6, 3 9 分 由正弦定理得 6 5 1 532223b 11 分 又 6s i n 2 c o ， 12 分 1 1 1 5 6 5 2s i n 52 2 2 3 4S b c A 14 分 （南京三模） 在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已知 2 （ 1）求角 A 的 值 ； （ 2）求 取值范围 解： （ 1）因为 2以 2 即 C) 2 因为 A B C ，所以 C) 从而 2 4 分 因为 0，所以 12 因为 0 A ，所以 A 3 7 分 （ 2） 3 B) 3232 3 6) 11 分 因为 0 B 23 ， 所以 6 B 6 56 所以 取值范围为 ( 32 ， 3 14 分 （前黄姜堰四校联考） 在 中，角 A B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ，已知 . （ 1） 当6C ，且 的面积为43时，求 a 的值； - 16 - （ 2） 当33 ) 的值 解： （ 1）因为 ， 的面积为43， 所以 213s i a b C a43， 5分 解得 1a . 7分 （ 2） ，33C， 由余弦定理得， ，所以 222 ， 90B， 10 分 由正弦定理得，33A， 12分 所以 )90co s ()co s ( 33 A. 14 分 第 34课 综合应用 将函数 ( ) 2 s i n ( ) ( 0 )3f x x 的图象，向左平移 3个单位，得到 ()y g x 函数的图象若 ()y g x在 0, 4上为增函数，则 的最大值为 2 （南京盐城二模） 已知 , 均为锐角，且 s i nc o s ( )s i n ，则 的最大值是 。 24 如图，1 2 3l l l、 、是同一平面内的三条平行直线，1，2，正三角形 三顶点分别在1 2 3l l l、 、上，则 的边长是 2 213 （南京盐城模拟一） 在平面直角坐标系 ，设锐角 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11( , )P x y，将射线 坐标原点 O 按逆时针方向旋转2后与单位圆交于点22( , )Q x y 记12()f y y （ 1）求函数 ()f 的值域； （ 2）设 的 内 角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 若 ( ) 2，且 2a ， 1c ，求 b 解：（ 1）由题意，得1 ，2 s i n ( ) c o ， 4 分 所以 ( ) s i n c o s 2 s i n ( )4f ， 6 分 因为 (0, )2，所以 3( , )4 4 4 ，故 ( ) (1, 2 f 8 分 l 3l 2l 1y P Q O 第 15 题图 - 17 - （ 2）因为 ( ) 2 s i n ( ) 24f C C ，又 (0, )2C ，所以4C 10 分 在 中，由余弦定理得 2 2 2 2 c o sc a b a b C ， 即 2 21 2 2 22 ，解得 1b 14 分 （说明：第（ 2）小题用正弦定理处理的，类似给分） （镇江期末） 某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛 O 附近 现派出四艘搜救船 A ， B ， C ，D ，为方便联络，船 A ， B 始终在以小岛 O 为圆心， 100 海里为半径的圆上，船 A ， B ， C ，D 构成正方形编队展开搜索，小岛 O 在正方形编队外（如图） 设小岛 O 到 距离为 x ， ，D 船到小岛 O 的距离为 d （ 1）请分别求 d 关于 x ， 的函数关系式 ()d g x ， () ；并分别写出定义域； （ 2）当 A ， B 两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即 d 最大） 解：设 x 的单位为百海里 （ 1）由 ， 2 A A =2 2 c o A B ， 2 分 在 ，22 ( ) 2 c o s ( )2O D f O A A B O A A B 3 分 21 4 c o s 4 c o s s i n ， (0, )2；（定义域 1 分） 5 分 若小