江苏省高三历次模拟数学试题分类汇编：第10章立体几何

- 1 - 目录 （基础复习部分） 第十章 立体几何 . 2 第 57课 平面的基本性质与空间两条直线的位置关系 . 2 第 58课 直线与平面的位置关系 平行 . 3 第 59课 直线与平面的位置关系 垂直 . 5 第 60课 平面与平面的位置关系 . 5 第 61课 柱、锥、台、球的表面积与体积 . 8 第 62课 综合应用 . 9 - 2 - 第十章 立体几何 第 57课 平面的基本性质与空间两条直线的位置关系 若 、 是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 若直线 m ，则在平面 内，一定不存在与直线 m 平行的直线； 若直线 m ，则在平面 内，一定存在无数条直线与直线 m 垂直； 若直线 m ，则在平面 内，不一定存在与直线 m 垂直的直线； 若直线 m ，则在平面 内，一定存在与直线 m 垂直的直线； 答案 ： ； 提示 ：注意到两平面是相交的， m ，若两个平面是互相垂直的，显然存在；故不一定存在； 注意到是垂直， m 一定与两平面的交线垂直，有一条直线就有无数条直 线； 与对立的，一定有一个是真命题； 立体几何最重要的一个定理是“三垂线定理”；立柱、投影、作垂线即成 是真命题 平时强调的重点内容啊！ （南京盐城二模） （扬州期末） 在三棱锥 P ， D 为 中点 （ 1）与 行的平面 点 E，判断点 E 在 的位置 ， 并说明理由 ； （ 2）若 B，且 锐角三角形，又平面 平面 证： （ 1） E 为 点理由如下： 平面 E ，即平面 面 E ， 而 /面 平面 所以 /E . 4 分 在 中，因为 D 为 中点，所以 E 为 点； 7 分 （ 2）因为 B ， D 为 中点，所以 D . 因为平面 平面 平面 面 D ， 在锐角 所在平面内作 D 于 O ， 则 点 O 与点 D 不重合，且 平面 10 分 P A A A B C D E - 3 - 因为 平面 所以 B 又 P O P D P ， 平面 则 平面 又 平面 所以 C 14 分 （淮安宿迁摸底） 如图，在四棱锥 P 中，底面 菱形，且 D （ 1）求证： C ； （ 2）若平面 l ， 求证： /BC l （ 1）连接 点 O，连接 因为四边形 菱形，所以 C 2 分 又因为 D ， O 为 中点， 所以 O 4 分 又因为 O O 所以 B D A P C 平 面 ， 又因为 P C A P C 平 面 所以 C 7 分 （ 2）因为四边形 菱形，所以 /D 9 分 因为 ,A D P A D B C P A D 平 面 平 面 所以 /B C P A 11 分 又因为 B C P B C 平 面 ， 平面 面 l 所以 /BC l 14 分 第 58课 直线与平面的位置关系 平行 （镇江期末） 设 ， 为不重合 两 平面， m ， n 是不重合 两 直线，给出下列四个命题： 若 /n ，则 /m ； 若 m ， n ， /m ， /n ，则 / ； 若 / ， m ， n ，则 ； 若 ， m ， n ， ，则 n 其中正确命题的序号为 . （苏北四市期末） 如图 ，在 三棱锥 P 中 ， 已知 平 面 平面 (1) 若 求证： (2) 若过点 A 作直线 l 平面 求证： l /平面 A P C B （第 16 题） (淮安宿迁摸底 ) P B C A D (第 16 题图 ) P B C A D O - 4 - （ 1）因为 平面 平面 平面 面 C ， 平面 所以 平面 2 分 因为 平面 所以 4 分 又因为 且 B B ， ,B 平面 所以 平面 6 分 又因为 平面 所以 7 分 （ 2）在平面 过点 P 作 垂足为 D 8 分 因为平面 平面 又平面 平面 平面 所以 平面 10 分 又 l 平面 所以 l / 12 分 又 l 平面 平面 l /平面 14 分 （南京盐城二模） 如图，在四棱锥 P ， 12 平面 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 M 为线段 中点，且过 C， D， M 三点的平面与 于点 N，求 值 证明 ： （ 1）连结 妨设 1 因为 12以 1， 2 因为 90，所以 2， 45 在 ，由余弦定理得 2，所以 所以 C 3 分 因为 面 面 以 C 5 分 因为 面 面 C C， 所以 面 7 分 A P C B D (第 16 题图 ) P A B C D M - 5 - （ 2）如图，因为 面 面 所以 平面 9 分 因为 面 平面 面 所以 12 分 在 ，因为 M 为线段 中点， 所以 N 为线段 中点， 即 值为 12 14 分 第 59课 直线与平面的位置关系 垂直 第 60课 平面与平面的位置关系 （南京盐城模拟一） 如图，在正方体1 1 1 1A B C D A B C D中， O ， E 分别为1中点 . （ 1）求证： /面11 （ 2）求证：平面1面1 证明：（ 1）连接111B C B C F，连接 2 分 因为 O， F 分别是1以 /C ，且 12C 又 E 为 点，所以 /C ，且 12C， 从而 B ，即四边形 平行四边形， 所以 /F 6 分 又平 平面11平面11 所以 /面11 8 分 （ 2）因为 平面11面11 所以1C 10 分 又11 C，且 1面1D C B C C， 所以1面1 12 分 而1 /E，所以 平面1 又 平面1以平面1面114分 (无锡期末 )如图，过四棱柱1 1 1 1A B C D A B C 和下底面的对角线 木块锯开，得到截面 A B D C 1 1 P B A C D 1 1 E F O B A C D 1 1 E 第 16 题图 O (第 16 题图 ) P A B C D M N - 6 - （ 1）请在木块的上底面作出过 P 的锯线 并说明理由； （ 2）若该四棱柱的底面为菱形，四边形11形，试证明：平面 平面11（泰州二模） 如图， 矩形 在平面与直角三角形 在平面互相垂直， ，点 别是 的中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 面 证：（ 1）取 点 F ，连接 ,F ， 7 - A B C D M N Q （第 15 题） A B D E F G 又 M 是 点，则 1/ / ,2M F A B M F A B， 又 N 是矩形 点， 所以 / / ,M F N C M F N C，则四边形 平行四边形， 所以 /F ，又 面 面 所以 平面 分 （ 2）因为平面 平面 B ，所以 平面 因为 平面 所以 E ， 又 ， E B，所以 平面 而 平面 所以平面 面 14分 （南通调研二） 如图，在四面体 ，平面 平面 90 M ， N ， Q 分别为棱 中点 （ 1）求证： /面 （ 2） 求证：平面 平面 证明：（ 1）因为 M ， Q 分别为棱 中点， 所以 /D ， 2 分 又 平面 平面 故 /面 6 分 （ 2）因为 M ， N 分别为棱 中点，所以 /B ， 又 90，故 D 8 分 因为平面 平面 平面 面 D ， 且 平面 所以 平面 11 分 又 平面 平面 平面 14 分 （注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“ 平面 ，扣 1 分） （金海南三校联考） 如图，在四面体 ， D， 0，点 E、 F 分别为棱 的点，点 G 为棱 中点，且平面 平面 (1)12(2)平面 面 证明： （ 1）因为 平面 平面 平面 平面 面 平面 所以 4 分 又 G 为 中点， 8 - （ 第 6 题 ） 为 中点， 同理可得， F 为 中点， 所以 12 7 分 （ 2）因为 由（ 1）知， E 为 中点， 所以 又 90，即 由（ 1）知， 以 又 E， 面 所以 平面 12 分 又 面 故平面 平面 14分 第 61课 柱、锥、台、球的表面积与体积 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S、2,S 3： 2 已知圆锥的侧面展开图是一个 半径为 2 的半圆 ，则这 个圆锥的高是 3 棱锥 P ， 底面 底面 矩形 ， 2， 3， 4， 点 E 为棱 一点 ， 则三棱锥 E 体积为 4 三棱锥 P ， D ， E 分别为 中点，记三棱锥 D 体积为1V， P 体积为2V，则12 南通调研一） 底面边长为 2，高为 1 的正四棱锥的侧面积为 （南京盐城模拟一） 若一个圆锥的底面半径为 1，侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥的体积为 . 答案： 33 - 9 - 南通调研三 （苏州期末） 已知一个圆锥的母线长为 2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 . 33 （苏北四市期末） 已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，则该圆锥的体积为 33（淮安宿迁摸底） 如图 ， 在 正三棱柱1 1 1 B C中 ，若 各条棱长均为 2，且 M 为11三棱锥1M 体积 是 233（泰州二模） 若圆柱的侧面积和体积的值都是 12 ，则该圆柱的高为 3 （南通调研二） 如图 ，在长方体1 1 1 1A B C D A B C D中， 3 2 三棱锥11B 体积为 【答案】 1 （南通调研三） 已知一个空间几何体的所有棱长均为 1 表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积 V 【 答案 】 216（苏北三市调研三） 在 三棱柱1 1 1 B C中 ， 侧棱1面11 1底面 是边长为 2 的正三角形 ， 则此三棱柱的体积为 2 （南京三模） 已知正六棱锥 P 底面边长为 2，侧棱 长为 4，则此六棱锥的体积为 12 （盐城三模） 已知正四棱锥 P 的体积为 43，底面边长为 2 ，则 侧棱 长为 . 3 （苏锡常镇二模） 已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为 42 ，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为 233（南师附中四校联考） 若一个正四棱锥的底面边长为 2侧棱长为 3它的体积为 黄姜堰四校联考） 已知正四 棱锥的底面边长是 2 ,侧棱长为 5 ,则该正四 棱锥的 表面积 是 第 62课 综合应用 如图，四棱锥 P 的底面 平行四边形，平面 平面 D， O ， M 分别是 中点，连结 求证： （ 1） 平面 M A D P A B C 1淮安宿迁摸 A 不 南通调研二 A B C 11 - 10 - （ 2） 平面 16证明：（ 1） 连结 因为 平行四边形，所以 O 为 中点 2 分 在 ，因为 O ， M 分别是 中点，所以 4 分 因为 平面 平面 所以 平面 6 分 （ 2）连结 因为 O 是 中点， D，所以 又因为平面 平面 面 面 平面 所以 平面 从而 8 分 又因为 O P ， 平面 平面 所以 平面 因为 平面 所以 10 分 因为 所以 12 分 又因为 平面 平面 C C ，所以 平面 14 分 如图，三棱柱 ， M， N 分别为 中点 （ 1）求证： 面 （ 2）若 面 平面 证： 面 证明： （ 1）取 ，连接 M O A C B D P B C 1 M N （ 第 16 题 图 ） - 11 - 因为 ，所以 12 2 分 在三棱柱 ， 故 12 因为 M 为 中点，所以 12 所以 所以四边形 平行四边形 所以 4 分 因为 面 面 所以 面 6 分 （ 2）因为 M 为 中点，所以 8 分 因为 N 为 中点，所以 在三棱柱 ， 以 C 因为平面 平面 面 面 面 所以 平面 10 分 因为 面 以 12 分 因为 面 面 C， 所以 平面 14 分 16在正四面体 ，点 F 在 ，点 E 在 ，且 E 3 证明：（ 1） 面 （ 2）直线 线 16证：（ 1）因为点 F 在 ，点 E 在 ，且 C= 3， 1 分 所以 3 分 又 平面 平面 所以 面 6 分 （ 2）取 中点 M，连 B C 1 M N （ 第 16 题 图 ） P - 12 - 因为 正四面体，所以 8 分 又 M=M，所以 面 10 分 又 平面 所以 12 分 又 所以直线 线 14 分 如图在多面体 ，四边形 菱形， D、 相交于点 O ， /B ， 2F ， 平面 平面 F ，点 G 为 中点； （ 1）求证：直线 /面 （ 2）求证：直线 平面 证明 ：（ 1） 四边形 菱形， A C B D O ， 点 O 是 点 G 为 中 点 ， /D 3 分 又 平面 平面 直线 /面 7 分 （ 2） F ，点 G 为 中点， C 平面 平面 平面 面 C ， 平面 C ， 平面 9 分 平面 C 12B， 12B， F ， 四边形 平行四边形， /O 11 分 C ， /O ， O 四边形 菱形， O O ， O ， E O D O O ， 平面 ， 平面 14 分 如图，四边形11边形11平面11平面11D， E 分别为边11 （ 1）求证：1面1 （ 2）求证： 面1 证明：（ 1）四边形11 2 分 又平面11平面11面11 G O F C A B D E C 1B 1A 1（ 第 16 题 ）- 13 - 平面11 3 分 1面11 4 分 又四边形1111C， 5 分 1B C ， 平面1面1 1面1 7分 （ 2）取1，连 四边形11E， F 分别为1 平面1平面1 面1 10 分 又 D， F 分别为边11 平面1面1 面1 F F ， 平面 平面 平面 面1 12 分 平面 面1 14 分 （南通调研一） 如图，在直三棱柱1 1 1A B C A B C中， C ，1 4 M 是棱1 （ 1） 求证： M ； （ 2） 若 N 是 中点，且 平面1 长 A C B M N 1 - 14 - - 15 - - 16 - （苏州期末） 如图，在正方体1 1 1 1A B C D A B C D中， E ， F 分别是 1 求证：（ 1） 平面1 （ 2）1面1 证明：（ 1）连结 E， F 分别是 2 分 正方体 1 四边形 有 4 分 又 平面 平面 平面 7 分 （ 2）连结 正方体 平面 又1C AI， 平面 11 分 同理可证 1C BI ， 平面 14 分 （镇江期末） 如图，在三 棱锥 中，已知 是正三角形， 面 ，E 为 中点， F 在棱 ，且 （ 1）求三 棱锥 的体积 ； （ 2）求证： 面 （ 3）若 M 为 点， N 在棱 ， 且 求证： /面 解：（ 1）因为 正三角形，且 C a，所以234 A B C D E F 1 1 A B C D E F 1 1 A B C D N F M E - 17 - 又 平面 故 13D A B C A B C A B S 3312a （ 2）在 底面 ，取 中点 H ，连接 因 C ，故 C 因 3C ，故 F 为 中点 E 为 中点， 故 故 C 因 面 平面 故平面 平面 正三角形， E 为 中点， 故 C ，故 平面 平面 故 又 F E，故 面 （ 3）当 38A时，连 设 E O，连 因 E 为 中点， M 为 点， 故 O 为 重心， 23M 因 ， 故 23N，所以 又 平面 平面 所有 平面 （注意：涉及到立体几何中的结论，缺少一个条件，扣 1分，扣满该逻辑段得分为止） 【说明】本题是由模考题改编，考查锥体体积、垂直的判定、平行的判定；考查空间想象能力和识图能力，规范化书写表达能力 （南通调研三） 如图，在三棱柱 1， 面 （ 1）求证：平面 面 （ 2）如果点 D， E 分别为 中点， 求 证： 面 解 ：（ 1）因三棱柱 1 故 2 分 又 的两条相交直线， 故 面 5 分 因 平面 故平面 面 7 分 （ 2）如图，取 中点 F，连 又 D 为 因 平面 平面 故 10 分 同理， 因 平面 的两条相交直线， 故平面 12 分 因 平面 A B C D 1 第 15 题 答图） E F A B C D 1 通调研三 E - 18 - 故 14 分 （苏北三市调研三） 如图， 矩 形 在平面与三角形 在平面相交于 平面 （ 1）求证： 平面 （ 2） 若 点 M 在线段 ， 2E ， 且 N 为 线段 点，求 证： （ 1） 平面 平面 D 又 , E 2 分 在 矩 形 ， D ， 4分 E A ， ,E 平面 平面 6 分 （ 2）连 F 点，连接 8 分 2N 10 分 又 N / 12 分 又 平面 平面 14 分 （南京三模） 在四棱锥 P ， 2 E 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 证明： （ 1）取 中点 F，连接 因为 E 为 中点，所以 12 因为 12 所以 所以四边形 平行四边形 所以 4 分 因为 面 面 所以 平面 6 分 （ 2）因为 E 为 中点，所以 因为 以 9 分 因为 面 面 F， 所以 平面 12 分 A B N E M C D （第 16 题） （ 第 16 题图） P A B C D E P A B C D E F （ 第 16 题图） - 19 - 因为 面 以平面 面 14 分 （盐城三模） 在直三棱柱1 1 1A B C A B C中， C ，1C，点 ,别是棱1 1 1,B C C C B （ 1） 求证 :1平面 （ 2） 求证 :平面 平面1证明：（ 1）在直三棱柱1 1 1A B C A B C中，11/ C， 因点 ,C 以1/ R， 所以四边形11/B， 又11/B，所以1/A，即四边形1 所以1/R，又1面 所以1 / 7 分 （ 2）因