2008年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1

1 欢迎下载 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 必修年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 必修 选修选修 一 选择题 1 函数的定义域为 1 yx xx A B 0 x x 1x x C D 10 x x 01xx 2 汽车经过启动 加速行驶 匀速行驶 减速行驶之后停车 若把这一过程中汽车的行驶路程看作时s 间 的函数 其图像可能是 t s tO A s tO s tO s tO B C D 3 在中 若点满足 则 ABC AB cAC bD2BDDC AD A B C D 21 33 bc 52 33 cb 21 33 bc 12 33 bc 4 设 且为正实数 则 a R 2 ai i a A 2B 1C 0D 1 5 已知等差数列满足 则它的前 10 项的和 n a 24 4aa 35 10aa 10 S A 138B 135C 95D 23 6 若函数的图像与函数的图像关于直线对称 则 1 yf x ln1yx yx f x A e2x 1B e2xC e2x 1D e2x 2 7 设曲线在点处的切线与直线垂直 则 1 1 x y x 3 2 10axy a A 2B C D 1 2 1 2 2 8 为得到函数的图像 只需将函数的图像 cos 2 3 yx sin2yx A 向左平移个长度单位B 向右平移个长度单位 5 12 5 12 C 向左平移个长度单位D 向右平移个长度单位 5 6 5 6 9 设奇函数在上为增函数 且 则不等式的解集为 f x 0 1 0f 0 f xfx x A B 10 1 1 01 2 C D 1 1 10 01 10 若直线通过点 则 1 xy ab cossin M A B C D 22 1ab 22 1ab 22 11 1 ab 22 11 1 ab 11 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等 在底面内的射影为的中心 111 ABCABC 1 AABCABC 则与底面所成角的正弦值等于 1 ABABC A B C D 1 3 2 3 3 3 2 3 12 如图 一环形花坛分成四块 现有 4 种不同的花供选种 要求在每块里种 1 种花 且ABCD 相邻的 2 块种不同的花 则不同的种法总数为 A 96B 84C 60D 48 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线上 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 13 13 若满足约束条件则的最大值为 xy 0 30 03 xy xy x 2zxy 14 已知抛物线的焦点是坐标原点 则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积 2 1yax 为 15 在中 若以为焦点的椭圆经过点 则该椭圆的离心率ABC ABBC 7 cos 18 B AB C e 16 等边三角形与正方形有一公共边 二面角的余弦值为 M N分别ABCABDEABCABD 3 3 是AC BC的中点 则EM AN所成角的余弦值等于 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 设的内角所对的边长分别为a b c 且 ABC ABC 3 coscos 5 aBbAc 求的值 tancotAB 求的最大值 tan AB D B C A 3 18 本小题满分 12 分 四棱锥中 底面为矩形 侧面底面 ABCDE BCDEABC BCDE2BC 2CD ABAC 证明 ADCE 设与平面所成的角为 求二面角的大小 CEABE45 CADE C D E A B 19 本小题满分 12 分 已知函数 32 1f xxaxx a R 讨论函数的单调区间 f x 设函数在区间内是减函数 求的取值范围 f x 21 33 a 20 本小题满分 12 分 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病 需要通过化验血液来确定患病的动物 血液化验结果呈阳性 的即为患病动物 呈阴性的即没患病 下面是两种化验方法 方案甲 逐个化验 直到能确定患病动物为止 方案乙 先任取 3 只 将它们的血液混在一起化验 若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只 然后再逐个化验 直到能确定患病动物为止 若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率 表示依方案乙所需化验次数 求的期望 4 21 本小题满分 12 分 双曲线的中心为原点 焦点在轴上 两条渐近线分别为 经过右焦点垂直于的直线分别交Ox 12 ll F 1 l 于两点 已知成等差数列 且与同向 12 ll AB OAABOB BF FA 求双曲线的离心率 设被双曲线所截得的线段的长为 4 求双曲线的方程 AB 22 本小题满分 12 分 设函数 数列满足 lnf xxxx n a 1 01a 1 nn af a 证明 函数在区间是增函数 f x 01 证明 1 1 nn aa 设 整数 证明 1 1 ba 1 1ln ab k ab 1k ab 5 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 必修年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 必修 选修选修 参考答案 参考答案 一 选择题 1 C2 A 3 A 4 D 5 C 6 B 7 D 8 A 9 D 10 D 11 B 12 B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线上 13 答案 9 14 答案 2 15 答案 16 答案 3 8 1 6 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解析 由正弦定理得 a C Bc b C Ac sin sin sin sin acosB bcosA c A C B B C A cos sin sin cos sin sin c BA ABBA sin cossincossin c BABA BABA sincoscossin sincoscossin 1cottan 1cot tan BA cBA 依题设得 解得 tanAcotB 4c BA cBA 5 3 1cottan 1cot tan II 由 I 得 tanA 4tanB 故 A B 都是锐角 于是 tanB 0 tan A B BA BA tantan1 tantan B B 2 tan41 tan3 4 3 且当 tanB 时 上式取等号 因此 tan A B 的最大值为 2 1 4 3 18 解 I 作 AO BC 垂足为 O 连接 OD 由题设知 AO 底面 BCDE 且 O 为 BC 中点 由知 Rt OCD Rt CDE 2 1 DE CD CD OC 从而 ODC CED 于是 CE OD 由三垂线定理知 AD CE II 由题意 BE BC 所以 BE 侧面 ABC 又 BE侧面 ABE 所 以侧面 ABE 侧面 ABC 作 CF AB 垂足为 F 连接 FE 则 CF 平面 ABE 6 故 CEF 为 CE 与平面 ABE 所成的角 CEF 45 由 CE 得 CF 63 又 BC 2 因而 ABC 60 所以 ABC 为等边三角形 作 CG AD 垂足为 G 连接 GE 由 I 知 CE AD 又 CE CG C 故 AD 平面 CGE AD GE CGE 是二面角 C AD E 的平面角 CG 3 2 6 22 AD CDAC GE 6 3 10 6 52 2 1 22 CE AD DEADDE cos CGE 10 10 3 10 3 2 2 6 3 10 3 4 2 222 GECG CEGECG 所以二面角 C AD E 为 arccos 10 10 解法二 I 作 AO BC 垂足为 O 则 AO 底面 BCDE 且 O 为 BC 的中点 以 O 为坐标原点 射线 OC 为 x 轴正 向 建立如图所示的直角坐标系 O xyz 设 A 0 0 t 由已知条件有 C 1 0 0 D 1 0 E 1 0 22 2 1 0 2 2 tADCE 所以 得 AD CE0 ADCE II 作 CF AB 垂足为 F 连接 FE 设 F x 0 z 则 x 1 0 z CF 0 0 2 0 BECFBE 故 CF BE 又 AB BE B 所以 CF 平面 ABE CEF 是 CE 与平面 ABE 所成的角 CEF 45 7 由 CE 得 CF 63 又 CB 2 所以 FBC 60 ABC 为等边三角形 因此 A 0 0 3 作 CG AD 垂足为 G 连接 GE 在 Rt ACD 中 求得 AG AD 3 2 故 G 3 3 3 22 3 2 3 3 3 2 3 5 3 3 3 22 3 1 GEGC 又 3 2 1 AD 0 0 ADGEADGC 所以的夹角等于二面角 C AD E 的平面角 GEGC与 由 cos GEGC 10 10 GEGC GEGC 知二面角 C AD E 为 arccos 10 10 19 解 f x 3x2 2ax 1 判别式 4 a2 3 i 若 a 或 a0 f x 是增函数 33 3 3aa 2 在 内 f x 0 f x 是增函数 3 3aa 2 ii 若 a0 故此时 f x 在 R 上是增函数 3 3 iii 若 a 则 f 0 且对所有的 x 都有 f x 0 故当 a 时 f x 在3 3 a 3 a 3 R 上是增函数 由 知 只有当 a 或 a时 由 解得 a 23 因此 a 的取值范围是 2 20 解 记 A1 A2分别表示依方案甲需化验 1 次 2 次 B1 B2分别表示依方案乙需化验 2 次 3 次 A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数 依题意知 A2与 B2独立 221 BAAA 5 1 C 1 A P 1 5 1 5 1 A A A P 2 5 1 4 2 5 2 CC CC B P 1 3 3 5 1 2 2 4 2 P P A1 A2 B2 A P A1 P A2 B2 P A1 P A2 P B2 5 2 5 1 5 1 25 7 所以 P A 1 P 0 72A 25 18 的可能取值为 2 3 P B1 P B2 P 2 P B1 P 3 P B2 5 3 CC C C C 1 3 3 5 2 4 3 5 3 4 5 2 5 3 5 2 所以 E 次 4 2 5 12 5 2 3 5 3 2 21 解 设双曲线方程为 a 0 b 0 右焦点为 F c 0 c 0 则 c2 a2 b21 b y a x 2 2 2 2 不妨设 l1 bx ay 0 l2 bx ay 0 则 b ba 0acb FA 22 9 aAFOF OA 22 因为 2 2 2 且 AB OA OB 2 OB AB OA 所以 2 2 2 2 AB OA AB OA 于是得 tan AOB 3 4 OA AB 又与同向 故 AOF AOB BFFA 2 1 所以 3 4 AOFtan1 AOFtan2 2 解得tan AOF 或 tan AOF 2 舍去 2 1 因此 b5bac b 2a 2 1 a b 22 所以双曲线的离心率 e a c 2 5 由 a 2b 知 双曲线的方程可化为 x2 4y2 4b2 由 l1的斜率为 c b 知 直线 AB 的方程为 2 1 5 y 2 x b 5 将 代入 并化简 得 15x2 32bx 84b2 05 设 AB 与双曲线的两交点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 x1 x2 x1 x2 15 b532 15 b84 2 AB 被双曲线所截得的线段长 l xx4 xx 5 xx 2 1 21 2 2121 2 将 代入 并化简得 l 而由已知 l 4 故 b 3 a 6 3 b4 所以双曲线的方程为1 9 y 36 x 22 10 22 解 I 当 0 x0 所以函数 f x 在区间 0 1 是增函数 II 当 0 xx 又由 I 有 f x 在 x 1 处连续知 当 0 x 1 时 f x f 1 1 因此 当 0 x 1 时 0 x f x 1 下面用数学归纳法证明 0 an an 1 1 i 由 0 a1 1 a2 f a1 应用式 得 0 a1 a2 1 即