向量及其线性运算

数量关系 第八章 第一部分向量代数 第二部分空间解析几何 在三维空间中 空间形式 点 线 面 基本方法 坐标法 向量法 坐标 方程 组 空间解析几何与向量代数 四 利用坐标作向量的线性运算 第一节 一 向量的概念 二 向量的线性运算 三 空间直角坐标系 五 向量的模 方向角 投影 向量及其线性运算 第八章 向量 既有大小又有方向的量 向量表示 模长为1的向量 零向量 模长为0的向量 向量的模 向量的大小 单位向量 一 向量的概念 或 或 或 自由向量 不考虑起点位置的向量 相等向量 大小相等且方向相同的向量 负向量 大小相等但方向相反的向量 向径 规定 零向量与任何向量平行 平行向量 向量共线 当两个平行向量的起点放在同一 点时 它们的终点和公共起点应在一条直 线上 因此 两向量平行又称两向量共线 二 向量的线性运算 1 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 运算规律 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 2 向量的减法 三角不等式 一般地 任给向量及点 3 向量与数的乘法 数与向量的乘积符合下列运算规律 1 结合律 2 分配律 例1 设M为 解 按照向量与数的乘积的规定 上式表明 一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量 两个向量的平行关系 证 充分性显然 必要性 两式相减 得 三 空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系 坐标原点 坐标轴 x轴 横轴 y轴 纵轴 z轴 竖轴 过空间一定点o 坐标面 卦限 八个 zox面 1 空间直角坐标系的基本概念 2 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下 沿三个坐标轴方向的分向量 向径 在直角坐标系下 坐标轴上的点P Q R 坐标面上的点A B C 点M 特殊点的坐标 有序数组 称为点M的坐标 原点O 0 0 0 坐标轴 坐标面 四 利用坐标作向量的线性运算 设 则 平行向量对应坐标成比例 例2 已知两点 在AB直线上求一点M 使 解 设M的坐标为 如图所示 及实数 得 即 说明 由 得定比分点公式 点M为AB的中点 于是得 中点公式 五 向量的模 方向角 投影 1 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式 对两点 与 例3 在z轴上求与两点 等距 解 设该点为 解得 故所求点为 及 思考 1 如何求在xoy面上与A B等距离之点的轨迹方程 2 如何求在空间与A B等距离之点的轨迹方程 离的点 提示 1 设动点为 利用 得 2 设动点为 利用 得 且 例4 已知两点 和 解 求 解 所求向量有两个 一个与同向 一个反向 或 2 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点O 称 AOB 0 为向量 的夹角 类似可定义向量与轴 轴与轴的夹角 与三坐标轴 方向角的余弦称为其方向余弦 特殊地 当两个向量中有一个零向量时 规定它们的夹角可在0与之间任意取值 的夹角 为其方向角 方向余弦的性质 例6 已知两点 和 的模 方向余弦和方向角 解 计算向量 例7 设点A位于第一卦限 解 已知 角依次为 求点A的坐标 则 因点A在第一卦限 故 于是 故点A的坐标为 向径OA与x轴y轴的夹 解 3 向量在轴上的投影 空间一点在轴上的投影 空间向量在轴上的投影 称为向量在轴 上的分向量 设 数称为向量在轴上的投影 记作 或 设 则 或记作 向量投影的性质 性质1 其中为向量与轴的夹角 性质2 性质3 例8一向量的终点在点 它在轴 轴 轴上的投影依次为 求这向量的 起点的坐标 解设的坐标为 由已知可得 所以 即 解 例9已知 它与的夹角为 求 解 向量的概念 向量的加减法 向量与数的乘法 注意与标量的区别 平行四边形法则 注意数乘后的方向 四 小结 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 注意分向量与向量的坐标的区别 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 向量在轴上的投影与投影定理 思考题1 已知平行四边形ABCD的对角线 试用表示平行四边形四边上对应