(浙教版)2020中考数学二轮专项复习导练案---三角形全等

（浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案 三角形全等 （浙教版）2020中考数学二轮专项复习导练案 三角形全等【考点整理】1全等图形及全等三角形全等图形：能够_的两个图形称为全等图形全等三角形：能够_的两个三角形叫全等三角形2全等三角形的性质性质：全等三角形的对应边_，对应角_；拓展：全等三角形的对应边上的高_，对应边上的中线_，对应角的平分线_3三角形全等的判定对应相等的元素三角形是否一定全等一般三角形两边一角两边及其夹角一定(SAS)两边及其中一边的对角不一定两角一边两角及其夹边一定(ASA)两角及其中一角的对边一定(AAS)三角不一定三边一定(SSS)直角三角形斜边直角边一定(HL)4.三角形的稳定性三角形具有稳定性实际就是利用的“SSS”5角平分线的性质性质：角平分线上的点到角两边的_；判定：角的内部，到角两边的距离相等的点在_6命题与证明命题：判断某一件事情的句子叫做命题组成：命题通常写成“如果，那么”的形式命题的真假：命题有真命题和假命题；定理是用推理的方法判断为正确的命题互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做它的逆命题；互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理【智慧锦囊】(1)改写命题时，要明确命题的条件和结论，有时语言要重 新组合，可添上命题中被省略的词语；(2)用举反例的方法说明一个命题是假命题，就是举出一个 符合命题题设而不符合命题结论的例子，举反例也可以通 过画图的形式说明【解题秘籍】1证明的基本方法综合法：从已知条件入手，探索解题途径的方法；分析法：从结论出发，用倒推来寻求证题的思路方法；两头“凑”法：综合应用以上两种方法才能找到证题思路的方法2反证法先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立(1)有些用直接证法不易证明的问题可尝试考虑用反证法；(2)证明唯一性和存在性问题常用反证法3全等三角形证明规律(1)出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；(2)过角平分线上一点向角两边作垂线；(3)公共边是对应边，公共角是对应角；(4)若有中线时，常加倍中线，构造全等三角形【易错提醒】1两边和其中一边对角对应相等的两个三角形不全等，即“SSA”不全等2满足下面条件的三角形也是全等三角形：(1)有两边和其中一条边上的中线对应相等的两个三角形全等；(2)有两边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；(3)有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等；(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；(5)有两边和其中一条边上的高对应相等的两个锐角(或钝角)三角形全等；(6)有两边和第三条边上的高对应相等的两个锐角(或钝角)三角形全等【题型解析】1.三角形全等的证明 【例题1】（2018浙江宁波10分）如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE（1）求证：ACDBCE；（2）当AD=BF时，求BEF的度数2.三角形全等的开放探究型问题 【例题2】（2019湖南邵阳3分）如图，已知ADAE，请你添加一个条件，使得ADCAEB，你添加的条件是 （不添加任何字母和辅助线）3. 利用全等三角形设计测量方案 【例题3】2019浙江绍兴12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD30，DM10（1）在旋转过程中，当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长（2）若摆动臂AD顺时针旋转90，点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时AD2C135，CD260，求BD2的长4.角平分线 【例题4】如图，ABC的外角DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PDAB于D，PEAC于E. (1)求证：BDCE；(2)若AB6 cm，AC10 cm，求AD的长【同步检测】一、选择题：1. （2019贵州安顺3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCDEF的是（）AADBACDFCABEDDBFEC2. （2019山东青岛3分）如图，BD是ABC的角平分线，AEBD，垂足为F若ABC35，C50，则CDE的度数为（）A35B40C45D503. （2019广西池河3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BECF，则图中与AEB相等的角的个数是（）A1B2C3D44. （2019山东临沂3分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DEFE，FCAB，若AB4，CF3，则BD的长是（）A0.5B1C1.5D25. （2019山东省滨州市 3分）如图，在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD40，连接AC，BD交于点M，连接OM下列结论：ACBD；AMB40；OM平分BOC；MO平分BMC其中正确的个数为（）A4B3C2D1二、填空题：6. （2018浙江衢州4分）如图，在ABC和DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，ABDE，请添加一个条件，使ABCDEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）7. .(2019，四川成都，4分）如图，在ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，BAD=CAE，若BD=9，则CE的长为 .8. （2019浙江嘉兴4分）如图，一副含30和45角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC12cm当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm；连接BD，则ABD的面积最大值为 cm2三、解答题9. （2018浙江临安6分）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF求证：（1）ADFCBE；（2）EBDF10. （2019甘肃武威10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是ABC的外角ACH的平分线上一点，且AMMN求证：AMN60点拨：如图，作CBE60，BE与NC的延长线相交于点E，得等边BEC，连接EM易证：ABMEBM（SAS），可得AMEM，12；又AMMN，则EMMN，可得34；由3+14+560，进一步可得125，又因为2+6120，所以5+6120，即：AMN60问题：如图，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点，且A1M1M1N1求证：A1M1N19011. （2019，山东枣庄，10分）在ABC中，BAC90，ABAC，ADBC于点D（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且BMN90，当AMN30，AB2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且EDF90，求证：BEAF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且BMN90，求证：AB+ANAM12. （2019河北省9分）如图，ABC和ADE中，ABAD6，BCDE，BD30，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为APC的内心（1）求证：BADCAE；（2）设APx，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当ABAC时，AIC的取值范围为mAICn，分别直接写出m，n的值【参考答案】【考点整理：1.重合,重合，相等，相等，相等，相等，相等；5.距离相等，角平分线；【题型解析】1.三角形全等的证明 【例题1】（2018浙江宁波10分）如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE（1）求证：ACDBCE；（2）当AD=BF时，求BEF的度数【考点】全等三角形的判定与性质【分析】（1）由题意可知：CD=CE，DCE=90，由于ACB=90，所以ACD=ACBDCB，BCE=DCEDCB，所以ACD=BCE，从而可证明ACDBCE（SAS）（2）由ACDBCE（SAS）可知：A=CBE=45，BE=BF，从而可求出BEF的度数【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，DCE=90，ACB=90，ACD=ACBDCB，BCE=DCEDCB，ACD=BCE，在ACD与BCE中，ACDBCE（SAS）（2）ACB=90，AC=BC，A=45，由（1）可知：A=CBE=45，AD=BF，BE=BF，BEF=67.52.三角形全等的开放探究型问题 【例题2】（2019湖南邵阳3分）如图，已知ADAE，请你添加一个条件，使得ADCAEB，你添加的条件是ABAC或ADCAEB或ABEACD（不添加任何字母和辅助线）【分析】根据图形可知证明ADCAEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA.SAS、AAS证明两三角形全等【解答】解：AA，ADAE，可以添加ABAC，此时满足SAS；添加条件ADCAEB，此时满足ASA；添加条件ABEACD，此时满足AAS，故答案为ABAC或ADCAEB或ABEACD；3. 利用全等三角形设计测量方案 【例题3】2019浙江绍兴12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD30，DM10（1）在旋转过程中，当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长（2）若摆动臂AD顺时针旋转90，点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时AD2C135，CD260，求BD2的长【分析】（1）分两种情形分别求解即可显然MAD不能为直角当AMD为直角时，根据AM2AD2DM2，计算即可，当ADM90时，根据AM2AD2+DM2，计算即可（2）连接CD首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2CD1即可【解答】解：（1）AMAD+DM40，或AMADDM20显然MAD不能为直角当AMD为直角时，AM2AD2DM2302102800，AM20或（20舍弃）当ADM90时，AM2AD2+DM2302+1021000，AM10或（10舍弃）综上所述，满足条件的AM的值为20或10（2）如图2中，连接CD由题意：D1AD290，AD1AD230，AD2D145，D1D230，AD2C135，CD2D190，CD130，BACA1AD290，BACCAD2D2AD1CAD2，BAD1CAD2，ABAC，AD2AD1，BAD2CAD1（SAS），BD2CD1304.角平分线 【例题4】如图，ABC的外角DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PDAB于D，PEAC于E. (1)求证：BDCE；(2)若AB6 cm，AC10 cm，求AD的长解：(1)证明：连结BP，CP，如答图，点P在BC的垂直平分线上，BP CP，AP是DAC的平分线，DPEP，在RtBDP和RtCEP中，RtBDPRtCEP(HL)，BDCE；(2)在RtADP和RtAEP中，RtADPRtAEP(HL)，ADAE，AB6 cm，AC10 cm，6AD10AE，即6AD10AD，解得AD2 cm. 【同步检测】一、选择题：1. （2019贵州安顺3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCDEF的是（）AADBACDFCABEDDBFEC【解答】解：选项A、添加AD不能判定ABCDEF，故本选项正确；选项B、添加ACDF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加ABDE可用AAS进行判定，故本选项错误；选项D、添加BFEC可得出BCEF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误故选：A2. （2019山东青岛3分）如图，BD是ABC的角平分线，AEBD，垂足为F若ABC35，C50，则CDE的度数为（）A35B40C45D50【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到ABDEBD，AFBEFB，根据全等三角形的性质得到AFEF，ABBE，求得ADDE，根据三角形的内角和得到BAC180ABCC95，根据全等三角形的性质得到BEDBAD95，根据四边形的内角和平角的定义即可得到结论【解答】解：BD是ABC的角平分线，AEBD，ABDEBD，AFBEFB，BFBF，ABFEBF（ASA），AFEF，ABBE，ADDE，ABC35，C50，BAC180ABCC95，在DAB与DEB中，ABDEAD（SSS），BEDBAD95，ADE360959535145，CDE180ADE35，故选：A3. （2019广西池河3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BECF，则图中与AEB相等的角的个数是（）A1B2C3D4【分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明ABEBCF，再根据全等三角形的性质可得BFCAEB，进一步得到BFCABF，从而求解【解答】证明：四边形ABCD是正方形，ABBC，ABBC，ABEBCF90，在ABE和BCF中，ABEBCF（SAS），BFCAEB，BFCABF，故图中与AEB相等的角的个数是2故选：B4. （2019山东临沂3分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DEFE，FCAB，若AB4，CF3，则BD的长是（）A0.5B1C1.5D2【分析】根据平行线的性质，得出AFCE，ADEF，根据全等三角形的判定，得出ADECFE，根据全等三角形的性质，得出ADCF，根据AB4，CF3，即可求线段DB的长【解答】解：CFAB，AFCE，ADEF，在ADE和FCE中，ADECFE（AAS），ADCF3，AB4，DBABAD431故选：B5. （2019山东省滨州市 3分）如图，在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD40，连接AC，BD交于点M，连接OM下列结论：ACBD；AMB40；OM平分BOC；MO平分BMC其中正确的个数为（）A4B3C2D1【考点】全等三角形【分析】由SAS证明AOCBOD得出OCAODB，ACBD，正确；由全等三角形的性质得出OACOBD，由三角形的外角性质得：AMB+OACAOB+OBD，得出AMBAOB40，正确；作OGMC于G，OHMB于H，如图所示：则OGCOHD90，由AAS证明OCGODH（AAS），得出OGOH，由角平分线的判定方法得出MO平分BMC，正确；即可得出结论【解答】解：AOBCOD40，AOB+AODCOD+AOD，即AOCBOD，在AOC和BOD中，AOCBOD（SAS），OCAODB，ACBD，正确；OACOBD，由三角形的外角性质得：AMB+OACAOB+OBD，AMBAOB40，正确；作OGMC于G，OHMB于H，如图所示：则OGCOHD90，在OCG和ODH中，OCGODH（AAS），OGOH，MO平分BMC，正确；正确的个数有3个；故选：B二、填空题：6. （2018浙江衢州4分）如图，在ABC和DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，ABDE，请添加一个条件，使ABCDEF，这个添加的条件可以是AB=ED（只需写一个，不添加辅助线）【考点】三角形全等的判定方法【分析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得B=E，再添加AB=ED可利用SAS判定ABCDEF【解答】解：添加AB=EDBF=CE，BF+FC=CE+FC，即BC=EFABDE，B=E在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS） 故答案为：AB=ED7. .(2019，四川成都，4分）如图，在ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，BAD=CAE，若BD=9，则CE的长为 .【解析】此题考察的是全等三角形的性质和判定，因为ABC是等腰三角形，所以有AB=AC，BAD=CAE，ABD=ACE，所以ABDACE(ASA)，所以BD=二次，EC=9.8. （2019浙江嘉兴4分）如图，一副含30和45角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC12cm当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为（2412）cm；连接BD，则ABD的面积最大值为（24+3612）cm2【分析】过点D作DNAC于点N，作DMBC于点M，由直角三角形的性质可得BC4cm，AB8cm，EDDF6cm，由“AAS”可证DNEDMF，可得DNDM，即点D在射线CD上移动，且当EDAC时，DD值最大，则可求点D运动的路径长，由三角形面积公式可求SADBBCAC+ACDNBCDM24+（124）DN，则EDAC时，SADB有最大值【解答】解：AC12cm，A30，DEF45BC4cm，AB8cm，EDDF6cm如图，当点E沿AC方向下滑时，得EDF，过点D作DNAC于点N，作DMBC于点MMDN90，且EDF90EDNFDM，且DNEDMF90，EDDFDNEDMF（AAS）DNDM，且DNAC，DMCMCD平分ACM即点E沿AC方向下滑时，点D在射线CD上移动，当EDAC时，DD值最大，最大值EDCD（126）cm当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长2（126）（2412）cm如图，连接BD，AD，SADBSABC+SADCSBDCSADBBCAC+ACDNBCDM24+（124）DN当EDAC时，SADB有最大值，SADB最大值24+（124）6（24+3612）cm2故答案为：（2412），（24+3612）三、解答题9. （2018浙江临安6分）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF求证：（1）ADFCBE；（2）EBDF【考点】三角形全等的判定方法【分析】（1）要证ADFCBE，因为AE=CF，则两边同时加上EF，得到AF=CE，又因为ABCD是平行四边形，得出AD=CB，DAF=BCE，从而根据SAS推出两三角形全等；（2）由全等可得到DFA=BEC，所以得到DFEB【解答】证明：（1）AE=CF，AE+EF=CF+FE，即AF=CE又ABCD是平行四边形，AD=CB，ADBCDAF=BCE在ADF与CBE中，ADFCBE（SAS）（2）ADFCBE，DFA=BECDFEB10. （2019甘肃武威10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是ABC的外角ACH的平分线上一点，且AMMN求证：AMN60点拨：如图，作CBE60，BE与NC的延长线相交于点E，得等边BEC，连接EM易证：ABMEBM（SAS），可得AMEM，12；又AMMN，则EMMN，可得34；由3+14+560，进一步可得125，又因为2+6120，所以5+6120，即：AMN60问题：如图，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点，且A1M1M1N1求证：A1M1N190【分析】延长A1B1至E，使EB1A1B1，连接EM1C.EC1，则EB1B1C1，EB1M1中90A1B1M1，得出EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出B1EC1B1C1E45，证出B1C1E+M1C1N1180，得出E.C1.N1，三点共线，由SAS证明A1B1M1EB1M1得出A1M1EM1，12，得出EM1M1N1，由等腰三角形的性质得出34，证出125，得出5+690，即可得出结论【解答】解：延长A1B1至E，使EB1A1B1，连接EM1C.EC1，如图所示：则EB1B1C1，EB1M1中90A1B1M1，EB1C1是等腰直角三角形，B1EC1B1C1E45，N1是正方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点，M1C1N190+45135，B1C1E+M1C1N1180，E.C1.N1，三点共线，在A1B1M1和EB1M1中，A1B1M1EB1M1（SAS），A1M1EM1，12，A1M1M1N1，EM1M1N1，34，2+345，4+545，125，1+690，5+690，A1M1N1180909011. （2019，山东枣庄，10分）在ABC中，BAC90，ABAC，ADBC于点D（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且BMN90