复变函数-工科复变2-1

1,第二章 解析函数,本章首先介绍连续函数与函数导数的概念，重点研究解析函数，并探讨了解析函数与调和函数的关系，最后介绍几个基本的初等函数.,2,1 复变函数的导数,2 解析函数,3,2-1 复变函数的导数,(1) 导数的定义,4,注意,5,解,6,解,7,8,(2) 可导与连续的关系,函数f (z)在z0 处可导，则在z0 处一定连续, 但函数 f (z) 在z0 处连续不一定在z0 处可导.,9,10,(3) 求导法则,由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同，此处略.,求导公式与法则:,11,12,例1 试证函数 （ n为自然数）在复平面上处处可导，且 。,13,1. 可微的概念,复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致。 复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？,二、微分的定义及其可微的充要条件,14,令,15,则,且,反过来可容易证明,16,与一元函数类似地, 记,17,2. 充要条件,Cauchy-Rieman简介,18,定理1 复变函数 点 可导的充分必要条件是：函数 与 在 可微 在该点满足方程 当 在 可导时，它在该点的导数为条件（*）常称为柯西黎曼方程（C. R.方程）,19,20,必要性 设 在点 处有导数这里 是 实数。 根据导数的定义，当 时，其中 ， 是实增量， 的意义为 比较（3.2）的实部与虚部，可以得,21,这说明：在点 处，函数 与可微，并且由此可以推出 。,22,推论 设 。若 和 在 的四个一阶偏导函数在点 均连续并且满足 C-R 方程，则 在点 处可导。注意 1） 在点 可微等价于它在该点可导。但不等价于其实部函数与虚部函数在点 可微。 2）一个二元实函数在某点可微的充分条件是：它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而且是连续。,23,(1) 解析函数的定义,2-2 函数的解析性和指数函数,24,复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的.,复变函数在一点处解析必在该点处可导；反过来不一定成立，即复变函数在一点处可导，不一定在该点处解析.,事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导.,25,定理1 函数的解析点一定是它的可导点反之不真；点 为函数 的解析点的充分必要条件是点 为其可导点所构成的集合的内点。推论1 若函数 在某个区域内解析的充分必要条件为它在该区域内可导推论2 复变函数不会只在有限个点或者一条曲线上解析，它的全体解析点的集合一定是开集。,26,另外，由第1节的定理以及推论1，我们有定理2 函数 在区域 内解析等价于二元实函数 和 在区域 内处处可微，并且满足C R方程。此时，在区域 内有,27,例题,例 1,判定下列函数在何处可导, 在何处解析:,解,不满足Cauchy-Riemann方程,此时,28,且四个偏导数均连续,此时,29,四个偏导数均连续,此时,30,此时,31,例2 判别函数 的可导点和解析点。 此时这四个偏导数都连续， 和 处处可微，其C-R方程只在直线y=x上成立。于是函数 仅在直线y=x上可导， 在复平面内处处不解析。,32,例3,解,33,例4,证,34,例5,解,35,参照以上例题可以证明:,36,例6 研究 在 的可导性。（说明在上面定理中 的可微性不可去）,37,解析函数的判定方法:,38,容易得到,39,从而，可知,(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.,40,解,41,42,解,43,由此可以看出，复变函数的导数定义与一元实函数的导数定义在形式上完全一样，它们的一些求导公式与求导法则也一样。,然而，复变函数的导数要求极限存在与 变量 z 趋于 z0 的方式无关, 这与二元实函数的极限相一致，是否可以说明复变函数的导数就是两个二元实函数的导数？,上面几个例 子说明问题不是那么简单。,44,1789.8.21生于法国、巴黎1857.5.23卒于法国、斯科,A. L. Cauchy(柯西)简介,数学分析严格化的开拓者,复变函数论的奠基人,弹性力学理论的建立者,在方程、群论、数论、几何、光学、天体力学等也有出色贡献。,多产的科学家(800多篇论文)，分析大师。,45,Riemann(黎曼)简介,1826.9.17生于德国、汉诺威1866.7.20卒于意大利,