用一元二次方程解决问题 (2)

用一元二次方程解决实际问题编讲 向老师 用一元二次方程解决问题 知识要点知识要点 1 列方程解应用题的一般步骤 1 审题 了解问题的实际意义 分清已知条件和未知量之间的关系 2 设未知数 一般情况下求什么设什么为未知数 3 列方程 根据量与量之间的关系 找出相等关系 列出方程 4 解方程 灵活运用一元二次方程的四种解法 5 验根 检验一元二次方程的根是否满足题意 6 答 作答 2 一元二次方程应用题常见题类型 1 数字问题 2 与面积有关的几何问题 3 平均变化率问题 4 经营问题 5 行程为题 6 工程问题 经典例题经典例题 1 平均变化率问题 平均变化率问题的公式平均变化率问题的公式 A aA a 1 x1 x n n a a 为变化前的基数 为变化前的基数 x x 为变化率 增长时为变化率 增长时 x 0 x 0 减小时 减小时 x 0 x 0 n n 为变化次数 为变化次数 A A 为变化后的量 为变化后的量 例 1 某商店的一款诺基亚手机连续两次降价 售价由原来的 1199 元降到了 899 元 设平均每次降价的百 分率为 x 则列方程正确的是 A B C D 1199 1 899 2 x899 1 1199 2 x1199 1 899 2 x 899 1 1199 2 x 类题练习 1 某商场一月份的营业额为 400 万元 第一季度营业总额为 1600 万元 若平均每月增长率为 x 则列方程 为 A B 1600 1 400 2 x1600400400400 2 xx C D 1600 1 1 1400 2 xx1600 21 400 xx 2 2009 年一月份越南发生禽流感的养鸡场 100 家 后来二 三月份发生禽流感的养鸡场共 250 家 设二 三月份平均每月禽流感的感染率为 x 依题意列出的方程是 A 100 1 x 2 250 B 100 1 x 100 1 x 2 250 C 100 1 x 2 250 D 100 1 x 2 2 数字问题 多位数问题在设时 通常设某数位上的数字 若一两位数 十位数字是 a 个位数字是 b 该两 位数可表示为 10a b 不能写成 ab 的形式 例 有一个两位数 两个数字的和为 9 数字的积等于这个两位数的 求这个两位数 7 2 类题练习 有一个两位数 两个数字的和为 8 数字的积等于这个两位数个位数字与十位数字交换后所得的两位数的 用一元二次方程解决实际问题编讲 向老师 求这个两位数 7 3 3 与面积有关的几何问题 熟练运用相关的面积公式列方程 注意有时为了利于计算 需要对图形进行变熟练运用相关的面积公式列方程 注意有时为了利于计算 需要对图形进行变 换或割补等方法 换或割补等方法 例 3 在宽 20m 长为 32m 的矩形耕地上修三条同样宽的耕作道路 使耕地面积为 道路宽应为多 2 504m 少 类题练习 在一块长 10 米 宽 8 米的矩形草坪中央 划出面积为 48 平方米的矩形草地栽花 使原来矩形四周剩下的 草坪的宽度相同 求这个宽度 4 行程问题 行程问题一般是已知路程求速度 或时间 行程问题一般是已知路程求速度 或时间 通常在时间 或速度 上找相等的关系列方程 通常在时间 或速度 上找相等的关系列方程 例 4 如图 某特种兵部队原计划从 A 地向距离 150 千米的 B 地的恐怖分子攻击 但为了迷惑恐怖分子 部队先向恐怖分子的另一个据点 C 地前进 当恐怖分子得到信息向 C 地增援后 部队到达 D 地后转向 B 地 进发 一举攻下 B 地 部队比原计划多走了 90 千米 且速度每小时比原计划增加 10 千米 最后比原计划 晚 1 小时到达 B 地 求部队的实际行进速度 地形原因 行进速度不大于 50 千米 小时 类题练习 某船在相距 24 千米的上 下游的两个码头之间往返一次共需 3 小时 20 分钟 已知水流速度为 3 千米 小时 求船的静水速 5 营销问题 总利润总利润 销售总额销售总额 总成本总成本 其他费用其他费用 总利润总利润 销售单价 销售单价 进货单价 进货单价 销售数量销售数量 其他费其他费 A D C B 用一元二次方程解决实际问题编讲 向老师 用用 注意 销售量的表达式 例 6 国美电器城电视机专卖柜台平均每天售出电视机 50 台 每台赢利 400 元 经市场调查发现 若每台 电视机降价 10 元 每天可多卖出 5 台 店长计划在元旦当天降价酬宾 且达到 30000 元利润 问每台电视 机应降价多少元 若你是店长 会采用哪种降价方案 类题练习 1 某商店将进货价元的商品按元售出 每天可销售件 在经营中发现该商品每件的售价提高810200 元 其销量就减少件 问该商品每件售价定为多少元 才能使每天利润为元 5 010640 2 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品 据市场分析 若每千克 50 元销售 一个月能售出 500kg 销售单价每涨 1 元 月销售量就减少 10kg 针对这种水产品情况 请解答以下问题 1 当销售单价定为每千克 55 元时 计算销售量和月销售利润 2 设销售单价为每千克 x 元 月销售利润为 y 元 求 y 与 x 的关系式 3 商品想在月销售成本不超过 10000 元的情况下 使得月销售利润达到 8000 元 销售单价应为多少 6 球赛问题 1 若是单循环赛 则 x 个队 每个队需赛 x 1 场 共赛 1 2 x x 1 场 若每两 队之间赛 2 场 则共赛 x x 1 场 例 7 要组织一场篮球联赛 每两队之间都赛 2 场 计划安排 90 场比赛 应邀请多少个球队参加比赛 类题练习 1 元旦期间 一个小组有若干人 新年互送贺卡一张 已知全组共送贺卡 132 张 则这个小组共有多少 人 2 某种植物的主干长出若干数目的支干 每个支干又长出同样数目的小分支 主干 支干和小分支的总数是 91 每个支干长出多少小分支 其他杂题 其他杂题 例 8 如图 一艘轮船以 20 海里 时的速度由西向东航行 途中接到台风警报 台风中心正以 40 海里 时的 速度由南向北移动 距台风中心海里的圆形区域 包括边界 都属于台风区 当轮船到 A 处时 测20 10 D C B A y x 用一元二次方程解决实际问题编讲 向老师 b B A C Q D P a B A C Q P 得台风中心移到位于 A 点正南方向的 B 点处 且 AB 100 海里 若这艘轮船自 A 点处按原速度继续航行 在途中会不会遇上台风 若会 试求轮船最初遇到台风的时间 若不会 请说明理由 例 9 如图 a b 所示 在 ABC 中 B 90 AB 6cm BC 8cm 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm s 的速度运动 点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm s 的速度运动 1 如果 P Q 分别从 A B 同时出发 经过几秒钟 使 S PBQ 8cm2 2 如果 P Q 分别从 A B 同时出发 并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进 Q 到 C 后又继续在 CA 边上前进 经过几秒钟 使 PCQ 的面积等于 12 6cm2 友情提示 过点 Q 作 DQ CB 垂足为 D 则 DQCQ ABAC 经典练习经典练习 一 选择题一 选择题 1 一个两位数 个位上的数字比十位上的数字小 4 且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小 4 设 个位数字为 x 则列方程为 A B 4 4 10 4 22 xxxx4 4 10 4 22 xxxx C D 4 4 10 4 22 xxxx4 4 10 4 22 xxxx 2 小王的便利店今年 1 月份的利润是 1000 元 3 月份的利润为 1210 元 则该店这两个月的利润平均增长 率为 A 9 B 10 C 11 D 12 3 从一块正方形铁皮上截去宽的一个长方形 余下的面积是 则原来正方形的面积为 cm2 2 48cm A B C D 2 56cm 2 64cm 2 81cm 2 100cm 4 某厂的总产值 2002 年比 2001 年上升了 10 2003 年比 2002 年上升 10 但 2004 年和 2005 年连续两年 平均每年比上一年降低 10 则 2005 年总产值比 2001 年的总产值 A 降低了 1 99 B 上升了 2 C 降低了 2 D 上升了 1 99 用一元二次方程解决实际问题编讲 向老师 5 甲 乙两地相距 48 千米 小王和小张驾车同时从甲地出发向乙地行驶 小王比小张早 12 分钟到达 已 知小王的车速每小时比小张的车速快 3 千米 设小王的车速为 x 千米 小时 则列方程为 A B 12 3 4848 xx 12 48 3 48 xx C D 5 1 3 4848 xx5 148 3 48 xx 二 填空题二 填空题 1 两个数的和等于 5 平方和等于 13 则这个两位数为 2 某车间计划在一定时间内生产 360 件产品 实际每天比原计划多生产 6 件 提前 3 天完成 则实际生产 天数为 3 某乡今年人均上缴农业税 25 元 若计划两年后人均上缴农业税为 16 元 则这两年农业税平均每年降低 的百分率为 4 矩形面积为 140 平方米 长比宽多 4 米 则矩形的长和宽分别为 5 用长 24cm 的铁丝围成一个斜边为 10cm 的直角三角形 则该三角形另两条直角边分别为 三 解答题三 解答题 1 两个连续奇数的乘积为 323 求这两个奇数 2 A B 两地相距 72 千米 甲 乙两车同时从 A 地出发向 B 地行驶 甲车比乙车早到 24 分钟 已知甲车比 乙车每小时多走 15 千米 求两车车速 3 步步高电子科技有限公司深圳分部新开发了一批电子产品 540 件 需要进一步改进后投放市场 公司内 部甲 乙两个生产部门都想接着项任务 已知甲部门单独完成的时间比乙部门单独完成多用 1 天 而乙部 门每天比甲部门多做 6 件 问甲乙两部门每天各能完成多少件 4 茂业百货 豹王 牌新款服装平均每天可售出 10 件 每件赢利 300 元 经市场调查后发现 若每件降 价 50 元 则平均每天可多售出 4 件 若想平均每天该服装的赢利达到 3600 元 若你是店长 则决定每件 用一元二次方程解决实际问题编讲 向老师 服装应降价多少元 并说明理由 5 印刷一张矩形的纸张广告如图所示 阴影部分为宣传内容 面积为 上下空白各 1cm 两边空白 2 32cm 各 0 5cm 问当四周空白面积为时 用来印刷张张广告的纸张的长和宽各是多少 2 18cm 6 小张将 2000 元人民币按一年定期存入银行 到期后支取了 1000 元购物后再将 2000 元存入帐户 银行将 小张上一年应得的利息全部按一年定期存入小张帐户 且存款利率不变 到期后本金和利息共 3126 25 元 求该种存款的年利率 7 一容器装满了含盐量为 20 的盐水 50 升 第一次倒出若干升 用水加满 第二次又倒出同样多 再用水加 满 此时容