三角函数知识点归纳

1 三角函数三角函数 一 任意角 弧度制及任意角的三角函数一 任意角 弧度制及任意角的三角函数 1 1 任意角 任意角 1 角的概念的推广 按旋转方向不同分为正角 负角 零角 正角 按逆时针方向旋转形成的角 任意角负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 不作任何旋转形成的角 按终边位置不同分为象限角和轴线角 角的顶点与原点重合 角的始边与轴的非负半轴重合 终边落在第几象限 则称为第几象限角 x 第一象限角的集合为 36036090 kkk 第二象限角的集合为 36090360180 kkk 第三象限角的集合为 360180360270 kkk 第四象限角的集合为 360270360360 kkk 终边在轴上的角的集合为x 180 kk 终边在轴上的角的集合为y 18090 kk 终边在坐标轴上的角的集合为 90 kk 2 终边与角 相同的角可写成 k 360 k Z 终边与角相同的角的集合为 360 kk 3 弧度制 1 弧度的角 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 弧度与角度的换算 360 2 弧度 180 弧度 半径为 的圆的圆心角所对弧的长为 则角的弧度数的绝对值是r l l r 若扇形的圆心角为 半径为 弧长为 周长为 面积为 则 为弧度制rlCSlr 2Crl 2 11 22 Slrr 2 2 任意角的三角函数定义 任意角的三角函数定义 设 是一个任意角 角 的终边上任意一点 P x y 它与原点的距离为 那么角 的正弦 余弦 22 r rxy 正切分别是 sin cos tan 三角函数值在各象限的符号规律概括为 一全正 二正弦 三 三角函数值在各象限的符号规律概括为 一全正 二正弦 三 y r x r y x 正切 四余弦 正切 四余弦 3 3 特殊角的三角函数值 特殊角的三角函数值 2 角度 函数 030456090120135150180270360 角 a 的弧度0 6 4 3 22 33 45 6 3 22 sina01 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 20 10 cosa1 3 2 2 2 1 20 1 2 2 2 3 2 101 tana0 3 3 1 3 3 1 3 3 00 二 同角三角函数的基本关系与诱导公式二 同角三角函数的基本关系与诱导公式 A A 基础梳理 1 1 同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 1 平方关系 sin2 cos2 1 在利用同角三角函数的平方关系时 若开方 要特别注意判断符号 2 商数关系 tan 3 倒数关系 sin cos 1cottan 2 2 诱导公式 诱导公式 公式一 sin 2k sin cos 2k cos 其中 k Z tan 2tan k 公式二 sin sin cos cos tan tan 公式三 sin sin cos cos tantan 公式四 sin sin cos cos tantan 公式五 sin cos cos sin 2 2 公式六 sin cos cos sin 2 2 诱导公式可概括为k 的各三角函数值的化简公式 口诀 奇变偶不变 符号看象限 口诀 奇变偶不变 符号看象限 其中的奇 偶是指的奇 2 2 数倍和偶数倍 变与不变是指函数名称的变化 若是奇数倍 则函数名称要变 正弦变余弦 余弦变正弦 若是偶数 倍 则函数名称不变 符号看象限是指 把 看成锐角时 根据k 在哪个象限判断原三角函数值的符号 最后 2 作为结果符号 B B 方法与要点 一个口诀 1 诱导公式的记忆口诀为 奇变偶不变 符号看象限 2 四种方法 在求值与化简时 常用方法有 1 弦切互化法 主要利用公式 tan 化成正 余弦 sin cos 2 和积转换法 利用 sin cos 2 1 2sin cos 的关系进行变形 转化 三个式子知一可求二 cossin cossin cossin 3 3 巧用 1 的变换 1 sin2 cos2 sin tan 2 4 4 齐次式化切法 已知 则k tan nmk bak nm ba nm ba tan tan cossin cossin 三 三角函数的图像与性质三 三角函数的图像与性质 学习目标 学习目标 1 会求三角函数的定义域 值域 2 会求三角函数的周期 定义法 公式法 图像法 如与的周期是 xysin xycos 3 会判断三角函数奇偶性 4 会求三角函数单调区间 5 知道三角函数图像的对称中心 对称轴 6 知道 的简单性质sin yAx cos yAx tan yAx 一 一 知识要点梳理知识要点梳理 1 正弦函数和余弦函数的图象 正弦函数和余弦函数的图象 正弦函数和余弦函数图象的作图方法 五点法 先取横坐标分别sinyx cosyx 为 0 的五点 再用光滑的曲线把这五点连接起来 就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象 3 2 22 1 1 y sinx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x 1 1 y cosx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x 2 2 正弦函数 正弦函数 余弦函数 余弦函数的性质的性质 sin yx xR cos yx xR 1 1 定义域 定义域 都是 R 2 2 值域 值域 都是 1 1 对 当时 取最大值 1 当时 取最小值 1 sinyx 2 2 xkkZ y 3 2 2 xkkZ y 对 当时 取最大值 1 当时 取最小值 1 cosyx 2xkkZ y 2xkkZ y 3 3 周期性周期性 的最小正周期都是 2 sinyx cosyx 4 4 奇偶性与对称性奇偶性与对称性 正弦函数是奇函数 对称中心是 对称轴是直线 sin yx xR 0kkZ 2 xkkZ 余弦函数是偶函数 对称中心是 对称轴是直线 正 余 弦cos yx xR 0 2 kkZ xkkZ 型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线 对称中心为图象与轴的交点 xx 5 5 单调性单调性 4 上单调递增 在单调递减 sin2 2 22 yxkkkZ 在 3 2 2 22 kkkZ 在上单调递增 在上单调递减 特别提醒特别提醒 别忘了 cosyx 2 2kkkZ 2 2kkkZ kZ 3 3 正切函数 正切函数的图象和性质的图象和性质 tanyx 1 定义域 2 x xkkZ 2 值域是 R 无最大值也无最小值 3 奇偶性与对称性 是奇函数 对称中心是 特别提醒特别提醒 正 余 切型函数的对称中心有两类 一 0 2 k kZ 类是图象与轴的交点 另一类是渐近线与轴的交点 但无对称轴 这是与正弦 余弦函数的不同之处 xx 4 单调性 正切函数在开区间内都是增函数 但要注意在整个定义域上不具有单调性要注意在整个定义域上不具有单调性 22 kkkZ 4 正弦 余弦 正切函数的图像和性质 正弦 余弦 正切函数的图像和性质 sinyx cosyx tanyx 图象 定义域RR 2 x xkk 值域 1 1 1 1 R 最值 当时 2 2 xk k 当 max 1y 2 2 xk 时 k min 1y 当时 2xkk 当 max 1y 2xk 时 k min 1y 既无最大值也无最小值 周期性2 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在2 2 22 kk 上是增函数 在 k 3 2 2 22 kk 上是减函数 k 在上是 2 2kkk 增函数 在 2 2kk 上是减函数 k 在 22 kk 上是增函数 k 函 数 性 质 5 对称性 对称中心 0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 0 2 kk 对称轴 xkk 对称中心 0 2 k k 无对称轴 5 5 研究函数 研究函数性质的方法 类比于研究性质的方法 类比于研究的性质的性质 只需将中的看sin yAx sinyx sin yAx x 成中的 sinyx x 函数函数 y Asin x A 0 0 的性质 的性质 1 定义域 R 2 值域 A A 3 周期性 2 T 和的最小正周期都是 sin f xAx cos f xAx 2 T 的最小正周期都是 tan f xAx T 4 单调性 函数 y Asin x A 0 0 的 单调增区间可由 2k x 2k k z 解得 2 2 单调减区间可由 2k x 2k k z 解得 2 3 2 在求求的单调区间时 要特别注意的单调区间时 要特别注意 A A 和和的符号 通过诱导公式先将的符号 通过诱导公式先将化正 化正 sin yAx 如如函数的递减区间是 2 3 ysin x 答 解析 解析 y 所以求 所以求 y 的递减区间即是求的递减区间即是求 的递增区间 由的递增区间 由得得 所以 y 的递减区间是 四 函数四 函数的图像和三角函数模型的简单应用的图像和三角函数模型的简单应用 sinyAx 一 知识要点 1 1 几个物理量几个物理量 振幅 周期 频率 相位 初相 A 2 1 2 f x 2 2 函数函数表达式的确定表达式的确定 A 由最值确定 由周期确定 由图象上的特殊点确定 sin yAx 函数 当时 取得最小值为 当时 取得最大值为 则 sinyx A 1 xx min y 2 xx max y maxmin 1 2 yyA maxmin 1 2 yy 2112 2 xxxx 6 y sinx y sinx XXXx xx 横坐标 伸 缩 倍 1 左 右 平移 纵坐标 伸 缩 A 倍 sinyx sinyx xAysin y sinx 左 右 平移 纵坐标 伸 缩 A 倍 横坐标 伸 缩 倍 1 左 右 平移 xAy sin xAysin 横坐标 伸 缩 倍 横坐标 伸 缩 倍 1 sinyAx 纵坐标 伸 缩 A 倍 横坐标 伸 缩 倍 1 xysin xAy sin xysin sinyAx 纵坐标 伸 缩 A 倍 左 右 平移 左 右 平移 纵坐标 伸 缩 A 倍 3 3 函数 函数图象的画法图象的画法 五点法 设 令 0 求出相应的值 sin yAx Xx X 3 2 22 x 计算得出五点的坐标 描点后得出图象 图象变换法 这是作函数简图常用方法 4 4 函数 y sinx 的图象经变换可得到的图象 sinyAx 0 5 5 函数 函数的图象与的图象与图象间的关系图象间的关系 函数的图象向左 0 或向右sin yAxb sinyx sinyx 0 平移个单位得的图象 函数图象的纵坐标不变 横坐标变为原来的 sinyx sinyx 1 得到函数的图象 函数图象的横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到函数 sinyx sinyx 的图象 函数图象向上 或向下 平移个单位 得到sin yAx sin yAx 0b 0b b 的图象 sinyAxb 要特别注意特别注意 若由得到的图象 则向左或向右平移应平移个单位 sinyx sinyx 如如要得到函数 y sin 2x 的图象 只需将函数 y sin2x 的图象 3 A 向左平移 个单位 B 向右平移 个单位 3 3 C 向左平移 个单位 D 向右平移 个单位 6 6 6 6 函数 y Acos x 和 y Atan x 的性质和图象的变换与 y Asin x 类似 三角恒等变换三角恒等变换 1 两角和与差的正弦 余弦和正切公式 coscoscossinsin coscoscossinsin sinsincoscossin sinsincoscossin tantan tan 1 tantan tantantan1 tantan 7 tantan tan 1tantan tantantan1tantan 如 答案 oooo 40tan20tan340tan20tan3 2 二倍角的正弦 余弦和正切公式 sin22sincos 222 cos sincossin2cossin2sin1 如 cos2 cos2 coscos的值等于 答案 5 12 12 5 12 12 5 4 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin 升幂公式 22 1 cos22cos 1 cos22sin 降幂公式 2 1 cos2 cos 2 2 1 cos2 sin 2 2 2tan tan2 1tan 3 二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数 其中 22 sincossinabab tan b a 4 三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换 灵活运用三角公式 掌握运算化简的方法 常用的方法技巧如下 1 角的变换 在三角化简 求值 证明中 表达式中往往出现较多的异角 可根据角与角之间的和差 倍半 互 补 互余的关系 寻找条件与结论中角的关系 运用角的变换 使问题获解 对角的变形如 是的二倍 是的二倍 是的二倍 是的二倍 2 4 2 2 2 4 问 1545306045 ooooo 12 sin 12 cos 等等 4 24 4 4 2 如 1 答案 21 tan tan tan 5444 则 3 22 2 若 cos cos 且 2 则 cos2 cos2 4 5 4 5 2 3 2 答案 1 7 25 3 已知 则 答案 sincos2 1 tan 1 cos23 tan2 1 8 2 函数名称变