2020届莆田市（第一联盟体）上学期高三联考数学（理）试题（解析版）

2020届福建省莆田市（第一联盟体）上学期高三联考数学（理）试题一、单选题1若复数满足，则（ ）AB3C5D25【答案】C【解析】由复数的除法以及模长公式求解即可.【详解】， 故选：C【点睛】本题主要考查了复数的除法以及模长公式，属于基础题.2设集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】化简结合集合M，N，求出交集即可.【详解】所以故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.3在等比数列中，则（ ）A6B7C8D15【答案】B【解析】由题意结合等比数列的通项公式，得出，即可求出.【详解】设等比数列的公比为，由题意可得：，解得：故选：B【点睛】本题主要考查了求等比数列的基本量，属于基础题.4已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】由三角函数的定义以及诱导公式求出，再由二倍角的余弦公式求解即可.【详解】故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的定义、诱导公式、以及二倍角的余弦公式，属于中档题.5某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为，则图中的值为（ ）A2BC1D【答案】C【解析】画出该三视图对应的直观图，再由棱锥的体积公式得出的值.【详解】该三视图对应的直观图是三棱锥，如下图所示由棱锥的体积公式得：，解得： 故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求体积，属于中档题.6我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数的图像大致是（ ）ABCD【答案】A【解析】由判断函数的奇偶性以及利用导数得出区间的单调性即可判断.【详解】则函数在上为奇函数，故排除B、D.，当时，即所以函数在区间上单调递减，故排除C故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中档题.7在梯形中，若，则的值为（ ）ABCD0【答案】D【解析】由直角三角形的性质得出，由向量的加减法得出，再由向量的数量积公式求解即可.【详解】在中，则故选：D【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式，涉及了向量的三角形法则，属于中档题.8设，则（ ）ABCD【答案】D【解析】利用对数的运算化简，比较的大小，即可得到，的大小关系.【详解】，所以，即故故选：D【点睛】本题主要考查了比较对数的大小以及对数的运算，属于中等题.9关于函数有下述四个结论：的图象关于轴对称；在有3个零点；的最小值为；在区间单调递减.其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD【答案】C【解析】证明函数的奇偶性判断；根据函数，的零点以及单调性判断；根据单调性、周期性以及对称性判断.【详解】，则函数为上的偶函数，故正确；当时，即，则在区间的零点只有一个，所以在有2个零点，故错误；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，故正确；所以在的最小值为：因为函数，所以函数的周期为由对称性以及周期性可知，函数的最小值为：，故错误；故选：C【点睛】本题主要考查了函数的零点个数、正弦型函数的单调性和周期性、在给定区间的正弦型函数的最值，属于较难题.10已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，与双曲线右支交于点，若，则双曲线的渐近线斜率为（ ）ABC）D【答案】A【解析】由直角三角形以及中位线的性质得出，由双曲线的定义得，再由余弦定理以及化简得出，即可得出双曲线的渐近线斜率.【详解】取切点为B，连接BO，作，垂足于A因为，且为的中点，所以在直角三角形中，所以由双曲线的定义得： 由余弦定理可知：化简得：，又所以，即所以故双曲线的渐近线斜率为故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，涉及了直角三角形的性质以及余弦定理，属于中档题.112019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，26这26个自然数通过变换公式：，将明文转换成密文，如，即变换成，即变换成.若按上述规定，若王华收到的密文是，那么原来的明文是（ ）ABCD【答案】C【解析】分别得出、对应的自然数，将、代入公式得出对应的明文，由排除法即可得出答案.【详解】对应的自然数为21，即，则或，解得：(舍)，即对应的明文为，故排除A，D；对应的自然数为23，即，则或，解得：(舍)，即对应的明文为，故排除B；故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数已知函数值求自变量，属于中档题.12函数满足，若恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】由导数公式得出，利用导数证明函数的单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】因为，所以，(为常数)，即由，得，则，所以，令则，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增则，即所以，即函数在区间上单调递增由于在区间恒成立，则 解得，故选：A【点睛】本题主要考查了利用函数单调性解抽象不等式以及利用导数证明函数的单调性，属于较难题.二、填空题13若向量和垂直，则_.【答案】5；【解析】由向量垂直得出，再由向量模长的坐标公式求解即可.【详解】向量和垂直，则，解得：则，故答案为：5【点睛】本题主要考查了已知向量垂直求参数以及模长的求解，属于基础题.14已知满足，则的取值范围是_.【答案】；【解析】利用表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点到点的距离的最值，即可求解的取值范围.【详解】表示点到点的距离，则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1，最大值为所以的最小值为：，最大值为：故的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.15已知直线与抛物线相交于不同的两点为的中点，线段的垂直平分线交轴于点，则的长为_.【答案】；【解析】由直线与抛物线的方程以及韦达定理求得，再由中点坐标公式以及直线的方程得出，再根据线段的垂直平分线的方程得出，利用两点间距离公式即可求解.【详解】设由得， 则，所以，则线段的垂直平分线的方程为即 则故答案为：【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的交点的相关问题以及两点间的距离公式，属于中档题.16正方体的棱长为2，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记平面截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设.（1）下列说法中，正确的编号为_.截面多边形可能为四边形；函数的图象关于对称.（2）当时，三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】 9 【解析】（1）先找到两个与垂直的平面作为辅助平面，从而确定这两个平面之间的截面为六边形，从而判断错误；由正方体的对称性判断；由等体积法判断；(2)找出该三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式计算即可.【详解】（1）连接，以点D为坐标原点，分别以为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，所以，面，即面同理可证：面所以面面，如下图所示，夹在面和面之间并且与这两个平面平行的截面为六边形故截面只能为三角形和六边形，故错误；由正方体的对称性，可得函数的图像关于对称，故正确；取的中点分别为，连接，如下图所示，即此时对应的周长为 ，即，故正确；（2）当时，此时点P在线段的中点，连接交于点H则，则 所以 ，同理可证：面，所以面取PH的中点为O， ，则三棱锥的外接球的球心为O，半径为，则三棱锥的外接球的表面积为 故答案为：(1)；(2)【点睛】本题主要考查了判断正方体截面的形状、棱锥的体积公式、棱锥的外接球的表面积，属于难题.三、解答题17在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求；（2）设，点在上，且，若的面积为，求的长.【答案】（1）（2）【解析】(1)由正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简即可求解；(2)由题意得出的面积，由三角形面积公式得出，再由余弦定理求出的长.【详解】解析（1）又，且，（2），且，即.【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角形的面积公式以及余弦定理，属于中档题.18在正项数列中，已知且.（1）证明：数列是等差数列；（2）设的前项和为，证明：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】(1)由题设条件证明数列是等差数列，并得出数列的通项公式，进而得出，再由等差数列的定义证明即可；(2)由等差数列的前项和公式得出，再由裂项求和法证明不等式.【详解】（1），数列是公差为2的等差数列.，数列是等差数列.（2）由（1）可得，.【点睛】本题主要考查了判断等差数列以及裂项求和的运用，属于中档题.19如图：已知正方形的边长为，沿着对角线将折起，使到达的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）若是的中点，点在线段上，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】(1)利用线面垂直的判定定理证明平面，得出为平面的平面角，由勾股定理证明，即可证明平面平面；(2) 建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】解：（1）取的中点，连接且为的中点，；同理，.，平面平面，则有为平面的平面角，又在中，则有，平面平面.（2）由（1）可知，平面，则有，又，则以为原点，所在直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系. 则有，是的中点，M，又设，则，则点的坐标为，.设平面的一个法向量为，则有，取，直线与平面所成角的正弦值为，解得，故【点睛】本题主要考查了证明面面垂直以及已知线面角求其他等，求线面角可以采用建坐标的方式，利用向量法求解，属于中档题.20已知：椭圆的右焦点为为上顶点，为坐标原点，若的面积为2，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线交椭圆于两点，当为的垂心时，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】(1)由的面积以及离心率求解即可得到方程；(2)根据三角形垂心的性质得出直线的斜率，设出直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得出，再利用点到直线的距离公式得出以为底的高，利用三角形面积公式求解即可.【详解】解（1）依题意可知，则，且，可得：，所以椭圆的方程为：.（2）为的垂心，由（1）知，设直线方程为，联立得，可得，即，且可得，即，.解得或，当时，三点共线（舍去），此时，点到直线的距离.【点睛】本题主要考查了根据的值求椭圆的方程以及利用弦长公式求三角形的面积，涉及了三角形垂心的性质、韦达定理、点到直线的距离公式，属于较难题.21已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记的最小值为，证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)讨论参数的值，利用导数证明单调性即可；(2)由(1)中所得的单调性得出，构造函数，利用导数证明函数的单调性，利用单调性证明不等式即可.【详解】（）的定义域为，又当时，在上单调递减；当时，若，在上单调递减；若，在上单调递增.（2），由（1）知：，令，设，由于恒成立，故可知在上单调递减，又，可知存在使得，时，为增函数；时，为减函数，即当时，取得最大值，又，.【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数证明不等式，属于较难题.22已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.【答案】（1）的极坐标方程为：（2）【解析】(1) 由曲线的参数方程得出其普通方程，利用坐标变换得出的方程，再转化为极坐标方程；(2)利用直线的参数方程的参数的几何意义求解即可.【详解】解：（1）曲线的普通方程为：，将曲线上的点按坐标变换得到，代入得的方程为：.化为极坐标方程为：.（2）点在直角坐标的坐标为，因为直线过点且倾斜角为，设直线的参数方程为（为参数），代入得：.设两点对应的参数分别为，