控制理论第4章

22 57 第1页 第四章频率响应分析法 22 57 第2页 22 57 第3页 频域分析法 22 57 第4页 线性定常系统对谐波 正弦 输入信号的稳态响应 系统在不同频率的正弦信号输入时 其稳态输出随频率而变化 由0变到 的特性 当不断改变输入正弦的频率时 该幅值比和相位差的变化情况称为系统的频率特性 频率响应 频率特性 22 57 第5页 频率特性的求法 1 利用在已知系统的微分方程或传递函数的情况下 当输入为正弦函数时 求其稳态解 再求G jw 2 利用将传递函数中的s换为jw来求取 3 实验法 是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法 如果在不知道系统的传递函数或数学模型时 只有采用实验法 22 57 第6页 例 解一 求一阶系统的频率特性及在正弦信号xi t Xsinwt作用下的频率响应 其稳态响应为 22 57 第7页 解二 其稳态响应为 22 57 第8页 也称奈氏图或幅相频率特性图 是当w从零变化至无穷大时 表示在极坐标上的频率特性的幅值与相位角的关系图 因此 极坐标图是在复平面内用不同频率的矢量之端点轨迹来表示系统的频率特性 相位角以从正实轴开始 逆时针为正 顺时针为负 易知 向量G j 的长度等于A G j 由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G j 方向的角度等于 G j 1 极坐标图 22 57 第9页 2 典型环节的极坐标图 1 比例环节 22 57 第10页 2 积分环节 22 57 第11页 3 微分环节 22 57 第12页 4 惯性环节 22 57 第13页 5 一阶微分环节 22 57 第14页 传递函数 频率特性 6 振荡环节 22 57 第15页 当 较大时 曲线的幅值随 的增大单调减小 当 较小时 曲线的幅值随 的增大而增大 出现一个最大值 然后逐渐减小至0 这个最大的幅值称为谐振峰值Mr 其图形规律 22 57 第16页 7 二阶微分环节 22 57 第17页 8 延迟环节 22 57 第18页 补充必要的特征点 如与坐标轴的交点 根据A 的变化趋势 画出Nyquist图的大致形状 3 系统奈氏图的一般画法 22 57 第19页 0型系统 v 0 22 57 第20页 I型系统 v 1 22 57 第21页 II型系统 v 2 22 57 第22页 开环含有v个积分环节系统 Nyquist曲线起自幅角为 v90 的无穷远处 n m时 Nyquist曲线起自实轴上的某一有限远点 且止于实轴上的某一有限远点 不含一阶或二阶微分环节的系统 相角滞后量单调增加 含有一阶或二阶微分环节的系统 由于相角非单调变化 yquist曲线可能出现凹凸 n m时 Nyquist曲线终点幅值为0 而相角为 n m 90 22 57 第23页 1 对数坐标图 对数频率特性曲线包括对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线 两条曲线的纵坐标均按线性分度 横坐标是角速率 采用半对数分度 为了在一张图上同时能展示出频率特性的低频和高频部分 即在较宽的频率范围内研究系统的频率特性 22 57 第24页 幅频特性的乘除运算转变为加减运算 对系统作近似分析时 只需画出对数幅频特性曲线的渐进线 大大简化了图形的绘制 用实验方法 将测得系统 或环节 频率响应得数据画在半对数坐标纸上 根据所作出的曲线 估计被测系统的传递函数 对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围 两个系统或环节的频率特性互为倒数时 其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称 相频特性曲线关于零度线对称 优点 22 57 第25页 2 各种典型环节的伯德图 1 比例环节 当改变传递函数的K时 会导致传递函数的对数幅频曲线升高或降低一个相应的常值 但不影响相位角 22 57 第26页 2 积分环节 积分环节的对数幅频图为一条直线 此直线的斜率为 20dB dec 对数相频图为等于 90o的一条直线 22 57 第27页 3 理想微分环节 22 57 第28页 4 惯性环节 低频段可近似为0dB的水平线 称为低频渐近线 高频段可近似为斜率为 20dB dec的直线 称为高频渐近线 低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点 1 T 称为转折频率 22 57 第29页 5 振荡环节 22 57 第30页 高频段 n 对数幅频特性 低频段 22 57 第31页 易知 22 57 第32页 6 延迟环节 22 57 第33页 1 将开环传递函数表示为典型环节的串联 即将常数项都化为12 确定各环节的转折频率 并由小到大标示在对数频率轴上3 分别画出各环节的对数幅频 相频曲线4 进行叠加 3 绘制系统伯德图的一般步骤 22 57 第34页 试绘制以下传递函数的对数幅频曲线 例 22 57 第35页 最低频段的斜率取决于积分环节的数目v 斜率为 20vdB dec 最低频段的对数幅频特性可近似为 当 1rad s时 L 20lgK 即最低频段的对数幅频特性或其延长线在 1rad s时的数值等于20lgK 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示 则对数幅频特性为一系列折线 折线的转折点为各环节的转折频率 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点 其斜率相应发生变化 斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定 对惯性环节 斜率下降20dB dec 振荡环节 下降40dB dec 一阶微分环节 上升20dB dec 二阶微分环节 上升40dB dec Bode图特点 22 57 第36页 一般步骤 确定对数幅频特性的渐近线 根据低频段渐近线的斜率 确定系统包含的积分 或微分 环节的个数 根据低频段渐近线或其延长线在 1rad s的分贝值 确定系统增益 注意到系统低频段渐近线可近似为 若系统含有积分环节 则该渐近线或其延长线与0dB线 频率轴 的交点为 若系统不含积分环节 低频渐近线为20lgKdB的水平线 K值可由该水平渐近线获得 根据渐近线转折频率处斜率的变化 确定对应的环节 获得系统的频率特性函数或传递函数 4 根据伯德图求取系统的传递函数 22 57 第37页 已知最小相位系统的近似对数幅频特性曲线如图所示 求系统的传递函数 例 22 57 第38页 在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数 称为最小相位传递函数 具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统 1 最小相位系统 2 非最小相位系统 在右半s平面内有极点和 或 零点的传递函数 称为非最小相位传递函数 具有非最小相位传递函数的系统 称为非最小相位系统 22 57 第39页 例 其波德图为 22 57 第40页 由图可知 三个系统具有相同的幅频特性 但相频特性不同 最小相位系统的相位变化范围最小 其相位角为 n m 90o 而非最小相位系统存在着过大的相位滞后 这不仅影响系统的稳定性 也影响系统的快速性 结论 22 57 第41页 22 57 第42页 频率接近于零时 系统输出幅值与输入幅值之比 零频幅值M 0 谐振频率 r及谐振峰值Mr 若当w 0的幅值为M 0 1时 M的最大值Mr称作谐振峰值 在谐振峰值处的频率wr称为谐振频率 二阶系统的谐振频率及谐振频率 22 57 第43页 截止频率及带宽 当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下3分贝时 对应的频率称为截止频率 即M 衰减到0 707M0时对应的频率 闭环系统的幅值不低于 3分贝时 对应的频率范围称为系统的带宽 带宽表示了这样一个频率 从此频率开始 增益将从其低频时的幅值开始下降 22 57 第44页 1 一阶系统 一阶系统的性能 2 欠阻尼二阶系统 22 57 第45页 与的关系 22 57 第46页 对输入信号的再现能力 大的带宽相应于小的上升时间 即相应于快速特性 粗略地说