工科数学分析-4(4)换元积分法

1,与它们对应的是本节和,基本积分法,复合函数微分法和乘积的微分.,在积分运算中,(两种).,微分运算中有两个重要法则:,下节的换元积分法和分部积分法,第四章 不定积分,2,第四节 换元积分法,第一换元积分法,第二换元积分法,小结 思考题 作业,integration by substitution,第四章 不定积分,3,解决方法,将积分变量换成,令,?,因为,一、第一换元积分法,4,定理,第一类换元公式,（凑微分法）,证,可导,则有换元公式,设,具有原函数,注 “凑微分”的主要思想是:将所给出的积分凑成积分表里已有的形式,合理选择 是凑微分的关键.,5,注意:,1. 运算程序:,代回,6,2. 设,则,可微时,有,积分形式的不变性,3. 求,多练,多想,多总结,7,例1 求,例2 求,先凑微分,再配系数.,总结一,8,例3 求,9,总结二:常见的凑微分类型有,10,11,例4 求,总结三,12,例5 求,总结四,13,例6 求,14,总结五,(1) 当m,n中有一个为奇数时,如,则,=,(2) 当m,n都是偶数时,利用倍角公式.,15,=,=,16,例7 求,总结六,对于三角函数的积分,用恒等变换.,17,例8 求,例9 求,18,练习,19,20,解,令,对此类题,一般可用下列各种解法,法一,思考题1,21,法二,令,则,此方法中应注意,的涵义,它是函数,22,求,解,思考题2,原式=,23,二、第二换元积分法,有根式,解决方法,消去根式,困难,即,则,回代,24,对积分,作变换,有公式,第二类换元公式,第二换元积分法,不易计算时,可作适当变换,化为不定积分,积分后再将,若积分,计算,代入.,25,定理2 (第二类换元积分法),是严格单调可导的函数,且,有原函数G(t),则,=,=,26,注意:,1. 作换元 时,要求指明t的范围,使其严格单调,可导,且导数不为零.,最后在反函数存在的区间内代回.,27,2. 第二类换元法主要处理含根号的积分.,(1) 三角变换,解决含有,的积分.,(2) 根式变换,去根号,化为有理函数的积分.,28,例10 求,解,令,回代,1. 三角变换,29,例 11 求,解,令,回代,30,通过变换,利用相应的三角变换,相仿地,可算出,还可得到重要公式,31,以上几例所使用的均为,三角代换的目的,当被积函数中含有,令,令,令,双曲代换,回代时,一定要借助,辅助三角形.,三角代换.,是化掉根式.,一般规律:,双曲函数的恒等式,32,例12,（三角代换很繁琐）,令,解,回代,33,三角代换(或双曲代换),需根据被积函数的情况来定.,积分中为了化掉根式是否一定采用,并不是绝对的,34,2. 根式变换,去根号,化为有理函数,例13 求,为各根指数的最小公倍数）,当被积函数含有两种或两种以上,的根式,时，,可采用令,（其中,35,3. 被积函数含有,例14 求,=,36,例15 求,解法一:,三角变换,解法二:,根式变换,解法三:,倒变换,解法四:,37,例16,令,解,法一,回代,倒代换,可用来消去分母中的变量.,一些情况下(如被积函数是分式,分母的方幂,较高时),38,法二,回代,还有别的方法吗？,39,法三,40,如:,倒代换,对如下形式,都适用.,41,例 17 求,解,令,（分母的阶较高）,42,回代,43,基本积分表(2),44,希望自己添加!,45,练习,解,46,下列各题求积方法有何不同?,思考题,47,定理1,则有,定积分换元公式,假设函数,函数,满足条件:,(1),(2),具有连续导数,且其值域,三、定积分的换元法,48,证,故有,则,由于,N-L公式,N-L公式,则,所以存在原函数,原函数,49,与不定积分的换元法类似,有,=,(1) 换元一定要换限,上限对应上限,下限对应下限(不一定 ).,(2) 求出,的原函数后,不用将,代回,直接代入新的积分限即可.,50,(3) 换元公式也可反过来用.,=,满足定理条件,(4) 作的变换一定要满足定理的条件:,有连续的导数,51,例18 计算,例19 计算,52,例20,解,在用“凑”微分的方法时,不明显地写出,下限就不要变.,定积分的上、,新的变量 t ,53,或,作换元时,一定要满足定理的条件:,有连续导数,例21,=,从而,?,54,几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子.,换元积分,例22,由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换.,通常,还可以证明一些定积分等式,(2) 当 为偶函数时,(3) 当 为奇函数时,55,注意:,上面的结论可用于简化对称区间上连续奇,偶函数的定积分.,这是定积分计算的一种技巧.,例23 计算,例24 计算,56,证,(1),三角函数的定积分公式,例25,由此计算,设,证毕.,化被积函数相同,57,设,证,由此计算,58,另证:,要证,化为对称区间上的奇函数的积分.,59,说明:,尽管,但由于它没有,初等原函数,故此积分无法直接用N-L公式求得.,60,周期函数的定积分公式,这个公式就是说：,周期函数在任何长为一周期的,区间上的定积分都相等.,(留给同学证),61,推论,设,是以T为周期的连续函数，,则对任意的自然数n，有,62,例26,解,法一,63,法二,即,64,例27 计算,65,两类换元积分法,凑微分,三角代换、倒代换、根式代换,熟记基本积分表(2),四、小结,第一换元积分法:,第二换元积分法:,66,定积分的换元公式,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,三角函数的定积分公式,周期函数的定积分公式,67,解,思考题,求积分,68,作业,习题4.4 (203页),(A)2.