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第二章张量分析 2 1标量的张量值函数的导数 自变量是标量 函数是张量 如T T t 则 设T S是有意义的 2 1标量的张量值函数的导数 是标量 a是矢量 直接根据导数的定义证明上述公式 例如 此外 在直角坐标系中 且 例题 设为二阶正交张量 证明是一个反对称张量 证 即 1 2 比较 1 和 2 满足反对称张量定义 证毕 2 2梯度 2 2 1标量场的梯度 2 2 1标量场的梯度 2 2 1标量场的梯度 2 2 2矢量场的梯度 2 2 2矢量场的梯度 矩阵形式 2 2 2矢量场的梯度 2 2 2矢量场的梯度 2 2 2矢量场的梯度 2 2 3张量场的梯度 2 2 3张量场的梯度 2 3散度 2 3 1矢量场的散度 2 3散度 2 3 1矢量场的散度 2 3散度 2 2 2张量场的散度 2 3散度 2 2 2张量场的散度 2 4旋度 2 4 1矢量场的旋度 2 4旋度 2 4 1矢量场的旋度 2 4旋度 2 4 1矢量场的旋度 2 4旋度 2 4 1矢量场的旋度 2 4旋度 2 4 2张量场的旋度 2 4旋度 2 4 2张量场的旋度 2 5双重微分算子 2 6张量函数的导数 2 6 1张量函数 自变量是张量 而函数值是标量 矢量和张量的函数 如 一般而言 这些分量函数的形式在不同坐标系中是不同的 如果它们对所有的正交基都是相同的 则称为各向同性张量函数 2 6张量函数的导数 2 6 2张量函数的梯度 2 6张量函数的导数 2 6 2张量函数的梯度 注意 2 6张量函数的导数 2 6 2张量函数的梯度 例如 2 6张量函数的导数 2 6 2张量函数的梯度 2 6张量函数的导数 2 6 2张量函数的梯度 1 7 4张量的并积 设分别为m和n阶张量 它们的并积为 则 可见 其结果张量是m n阶的 1 7 5张量的点积 矢量a b的点积 换指标 1 7 5张量的点积 张量T S 设为二阶 的点积 矩阵形式 设均为二阶张量 用基张量表示点积 并证明 作业 一般地 任意个二阶张量依次点积 结果仍为二阶张量 即 张量的双重点积 若A为三阶张量 B为二阶张量 则 结果为一阶张量 张量的双重点积 若S T均为二阶张量 则 结果为零阶张量 1 7 6张量的叉积 两个矢量a b的叉积 三个矢量a b c的叉积 已知 则 三个矢量a b c的叉积 即 试验证 作业 三个矢量的混合积 即 几何意义 以为边的棱柱体积 有向 换指标 两个任意张量的叉积 1 7 7二阶张量的迹 矢量a b并矢ab的迹定义为 任意二阶张量T的迹 T的主对角线之和 例 在直角坐标系下 各向同性牛顿流体的本构方程为 应力张量静水压力粘性系数变
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