MATHEMATICA基本数学函数及应用

MATHEMATICA 第一讲 1 数的运算 算例 378 123 N 378 123 6 取小数点后 6 位的近似值 Pi 2 E 1 100 N Pi 100 N I I 2 常用数学函数 Sqrt 平方根 Exp 指数函数 Log 对数函数 Sin 正弦函数 Cos 余弦函数 Tan 正切函数 Cot 余切函数 Sec 正割函数 Csc 余割函数 ArcSin 反正弦函数 ArcCos 反余弦函数 ArcTan 反正切函数 ArcCot 反余切函数 ArcSec 反正割函数 ArcCsc 反余割函数 Sinh 双曲正弦 Cosh 双曲余弦 Tanh 双曲正切 Coth 双曲余切 Sech 双曲正割 Csch 双曲余割 ArcSinh 反双曲正弦 ArcCosh 反双曲余弦 ArcTanh 反双曲正切 算例 Sin N Sqrt 3 50 3 其它函数 阶乘 Mod n m n 取模 m 的结 Quoti ent n m n 除以 m 的商的整数部分 GCD n m LCM n m n 和 m 的最大公约数和最小公约数 Round 距离近似数 x 最近的整数 Floor 不大于 x 的最大整数 算例 100 Quoti ent 10 3 GCD 105 30 Round 1 234 Floor 1 234 4 变量的赋值与替换 算例 f1 x 2 3 x 1 将表达式赋给变量 f1 f1 x 3 求 f1 当 x 3 时的值 f1 3 f1 x x 1 在 f1 中用 x 1 替换 x 得到 f1 x 1 f1 取消变量 f1 的定义 f1 x 3 此时已经得不到所想的结果 f1 3 5 多项式计算 Expand p 多项式展开 Factor p 多项式因式分解 算例 p1 x 3 6x 2 11x 6 p2 x 1 x 2 x 3 Factor p1 Expand p2 MATHEMATICA 第二讲 一元函数的图形 一 命令语句 Plot 表达式 变量 下限 上限 可选项 Plot 表达式 表达式 变量 下限 上限 可选项 二 可选参数项 第一类参数 1 PlotRange y1 y2 指定作图纵座标范围为 y1 y2 默认值为 Atuomatic 或指定 All 执行算例 Plot Tan x x 2Pi 2Pi Plot Tan x x 2Pi 2Pi PlotRange 10 10 Plot Exp x 2 Sin 6x x 2 2 PlotRange 0 5 0 5 Plot Exp x 2 Sin 6x x 2 2 PlotRange All 2 AspectRatio Automatic 按实际比例作图 默认值为 Atuomatic 0 618 1 执行算例 Plot Sqrt 1 x 2 x 1 5 1 5 Plot Sqrt 1 x 2 x 1 5 1 5 AspectRatio Automatic 3 Axes Automatic 画坐标轴自动确定位置 Axes None 不画坐标轴 Axes x0 y0 指定坐标原点在 x0 y0 处 执行算例 Plot Cos x x 2Pi 2Pi Plot Cos x x 2Pi 2Pi Axes None Plot Cos x x 2Pi 2Pi Axes 1 2 4 AxesLabel None 不说明坐标轴的标记 AxesLabel x y 指定横轴为 x 纵轴为 y AxesLabel u v 指定横轴为 u 纵轴为 v 执行算例 Plot Sin x x x 10 10 AxesLabel None Plot Sin x x x 10 10 AxesLabel x y Plot Sin x x x 10 10 AxesLabel 时间 T 电流 I 5 Ticks i j 规定坐标轴上的刻度位置 Ticks t1 t2 t3 执行算例 Plot ArcSin x ArcCos x x 1 1 PlotStyle RGBColor 0 1 1 Thickness 0 01 RGBColor 1 0 1 Dashing 0 05 0 05 第二类 参数 1 DisplayFunction Identity 只生成图形现在不显示 执行算例 Plot Sin Tan x Tan Sin x x 1 2 DisplayFunction Identity Plot Sin Tan x Tan Sin x x 2 2 2 PlotPoints 50 指定计算函数值的取点数为 50 执行算例 Plot Sin Tan x Tan Sin x x 2 2 PlotPoints 50 3 MaxBend 说明曲线的折线在相邻两段之间的最大折角 执行算例 4 PlotDivision 说明取点的限度 执行算例 5 PlotStyle Thickness t 描述线宽 PlotStyle GrayLevel i 描述灰度 PlotStyle RGBColor r g b 描述颜色 PlotStyle Dashing d1 d2 描述虚线的画法 PlotStyle PointSize 0 03 描述点的大小 执行算例 Plot Sin x Sin 2x Sin 3x x 0 2Pi PlotStyle RGBColor 1 0 0 RGBColor 0 1 0 RGBColor 0 0 1 Plot Sin 1 x x 1 1 Plot Sqrt 1 x 2 x 6 6 PlotStyle Dashing 0 02 0 01 Plot Sin Cos Sin x x Pi Pi Plot Tan Sin x Sin Tan x x 2 x 5 5 Plot E x ArcTan x E ArcTan x x 5 5 PlotPoints 100 三 图形的重新显示 组合 存储和输出 Show t 重新显示 Show t1 t2 tn 将几个图形合在一起 执行算例 f1 Plot x x 0 1 2 PlotRange 0 2 f2 Plot 1 x x 0 1 2 PlotRange 0 3 f3 ParametricPlot 2 t t 0 2 Show f1 f2 f3 Display filename 图形 保存图形到文件中存为 Postsceipt 格式 Hardcopy 图形 将图形送去打印 四 二维参数图形 ParametricPlot x t y t t 下限 上限 可选项 执行算例 ParametricPlot Sin t Cos t t 0 2 Pi AspectRatio Automatic ParametricPlot Sin 2 t Cos 3 t t 0 2 Pi AspectRatio Automatic y1 ParametricPlot Cos t 3 Sin t 3 t 0 2 Pi AspectRatio Automatic y2 ParametricPlot Cos t Sin t t 0 2 Pi AspectRatio Automatic Show y1 y2 z1 ParametricPlot t Sin t 1 Cos t t 0 2 Pi AspectRatio Automatic 五五 极坐标图形极坐标图形 执行算例 r t 3Cos t 2 1 2 ParametricPlot r t Cos t r t Sin t t 0 2Pi AspectRatio Automatic r t 2 1 Cos t ParametricPlot r t Cos t r t Sin t t 0 2Pi AspectRatio Automatic r t 2Sin 3t ParametricPlot r t Cos t r t Sin t t 0 2Pi AspectRatio Automatic r t Cos 2 t ParametricPlot r t Cos t r t Sin t t 0 2Pi AspectRatio Automatic r t 0 5 t ParametricPlot r t Cos t r t Sin t t 0 2Pi AspectRatio Automatic r t Exp t 3 ParametricPlot r t Cos t r t Sin t t 0 2Pi AspectRatio Automatic r t Cos 8 t ParametricPlot r t Cos t r t Sin t t 0 2Pi AspectRatio Automatic 介绍 Hue 六六 动画制作动画制作 Graphics Animatio m 调入动画制作软件包 Animate 图形 自变量 下限 上限 参变量 下限 上限 步长 执行算例 1 1 1 5 3 不加阴影的情形 Plot3D x 2 y 2 x 1 1 y 1 1 BoxRatios 1 1 1 5 Shading False 4 不打开照明的情形 Plot3D x 2 y 2 x 1 1 y 1 1 BoxRatios 1 1 1 5 Lighting False 5 不设网格的情形 Plot3D x 2 y 2 x 1 1 y 1 1 BoxRatios 1 1 1 5 Boxed False Axes False Mesh False SurfaceGraphics 6 用参数方式图形更合乎实际情形 ParametricPlot3D 函数表达式 变量 上限 下限 可选项 ParametricPlot3D v Sin u v Cos u v 2 v 0 1 u 0 2Pi BoxRatios 1 1 1 ParametricPlot3D u u 2 t u 1 1 t 0 1 PlotPoints 25 Lighting True ViewPoint 2 1 1 7 视点的选择 Plot3D Cos Sqrt x 2 y 2 x 10 10 y 10 10 PlotPoints 25 Lighting True ViewPoint 1 1 2 Plot3D Cos Sqrt x 2 y 2 x 10 10 y 10 10 PlotPoints 25 Lighting True ViewPoint 0 0 1 Plot3D Cos Sqrt x 2 y 2 x 10 10 y 10 10 PlotPoints 25 Lighting True ViewPoint 0 1 2 ParametricPlot3D u 2 u v v 0 2 u 2 2 BoxRatios 1 1 0 6 ViewPoint 1 3 1 Shading True 8 将多个曲面放在一张图上 Z1 Plot3D x y x 0 1 y 0 1 Z2 ParametricPlot3D u u t u 0 1 t 0 1 PlotPoints 25 Lighting True Z3 ParametricPlot3D 1 u t u 1 1 t 0 1 PlotPoints 25 Lighting True Show Z1 Z2 Z3 BoxRatios 1 1 1 ViewPoint 1 1 1 Shading False 9 动画制作 25 Lighting True ViewPoint Cos 2 Pi t Sin 2 Pi t 1 t 0 1 1 6 波纹面动画演示 注意 此演示需要较大内存 耐心等待 8 8 t 0 1 75 0 25 10 等值线图和密度图 例 1 逢山开路问题 要在一山区修建公路 首先测得一些地点的高程 数据见下表 A 370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 350 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 750 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 950 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 1100 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 1200 1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 1550 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 500 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 350 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 210 1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 150 下面作三维地形图 ListPlot3D A 400 增加一些可选项 ListPlot3D A 400 HiddenSurface False Boxed False 下面作等值线图 ListContourPlot A 400 下面作密度图 ListDensityPlot A 400 例 2 二元函数的等值线图和密度图 Plot3D Sin x 2 y 2 x 0 Pi y 0 Pi ContourPlot Sin x 2 y 2 x 0 Pi y 0 Pi DensityPlot Sin x 2 y 2 x 0 2Pi y 0 2Pi MATHEMATICA 第四讲 方程求解 一 代数方程求解 Solve f x 0 x 一个方程求解 Solve f1 x y 0 f2 x y 0 x y N 给出数值解 执行算例 Solve x 4 x 3 6x 2 1 0 x N 执行算例 Solve x 2y 0 x 2 y 1 x y 方程组求解 执行算例 Solve a x 2 b x c 0 x 请注意 能够求出公式解的情况是很少的 比如五次以上的代数 方程就已经没有公式解了 执行算例 Solve x 5 5x 3 3 0 x N 二 求超越方程的近似解 FindRoot f x 0 x x0 求方程 f x 0 在 x0 附近的根 执行算例 f Sin x Exp 2x Cos x FindRoot f 0 x 0 5 MATHEMATICA 第五讲 微积分运算 一 极限 Limit 函数表达式 x x0 执行算例 Plot Sin x x x 10 10 Limit Sin x x x 0 执行算例 Plot Sqrt x 2 3x x x 0 100 Limit Sqrt x 2 3x x x Infinity N 有的时侯 Mathematica 会求不出极限 Limit 1 1 x x x infinity 如果改写成下面的形式 则可以求出极限值 Limit 1 x 1 x x 0 用下面的方式计算的更快 Exp Limit 1 x Log 1 x x 0 二 微分 D f x x D f x y y D f x x n 执行算例 D x 3 3x 2 5x 1 x D Sin x Exp x y y FindMinimum f x x x0 求函数的极值 执行算例 L x Exp x 2 2 FindMinimum L x x 0 三 不定积分与定积分 Integrate f x x 求不定积分 Integrate f x x a b 求定积分 NIntegrate f x x a b 求数值积分 Simplity f x 将表达式化简 执行算例 Integrate 1 Sqrt 1 x 2 x 执行算例 Integrate 1 Sqrt 1 x 2 x 1 1 执行算例 Integrate x 1 x 2 3x 5 x D x 验证之 Simplify 执行算例 NIntegrate 1 Sqrt 1 x 2 x 1 1 Plot Sin x x x 2Pi 2Pi NIntegrate Sin x x x 0 000001 Pi 四 幂级数展开 Series f x x x0 n 将函数 f x 在 x0 点展开 n 阶 Normal 去掉幂级数的余项尔后可以求值或画图形 执行算例 S Series Sin x x 0 10 S1 Normal S a1 Plot Sin x x 0 2Pi PlotStyle RGBColor 1 0 0 a2 Plot S1 x 0 2Pi PlotStyle RGBColor 0 0 1 Show a1 a2 AspectRatio Automatic MATHEMATICA 第六讲 线性方程组的表达方式和解法 一 向量和矩阵的输入 1 Range n Range n m Range n m h 执行算例 Range 5 Range 1 10 2 2 Table 1 2 n n 0 10 由通项构造表 Table f1 n F2 n n n1 n2 h 执行算例 Table 1 2 n n 0 10 A Table Normal Series Sin x x 0 n n 1 11 2 Sin x 的六个正规化后的幂级数展开式的表 执行算例 Table x x 2 x 1 0 1 0 0 2 Table Expand x i i x 2 i 2 5 Table Mod n 2 n 0 17 Table Sum x i i 0 n n 1 5 Table Random 10 Table Random Real 1 10 10 3 Array 函数 n 由函数表达式构造表 Array 函数 n1 n2 n3 执行算例 Array Exp 5 等价于 Table Exp x x 5 Array Mod 10 10 等价于 Table Mod n m n 0 10 m 0 10 4 NestList f n n0 k 用递推公式建立表元素 Clear n n0 rnt fnt t1 t2 t1 Sqrt 5 1 2 t2 1 Sqrt 5 2 fnt Table t1 n 1 t2 n 1 Sqrt 5 n 0 40 N rnt Table fnt n 1 fnt n n 2 12 5 向量与矩阵的标准输入法 A x1 x2 x3 A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ColumnForm a1 a2 an 把向量用列方式输出 MatrixForm A 用矩阵方式显示 IdentityMatrix n 生成 n 阶单位阵 DiagonalMatrix a11 a22 ann 生成对角阵 执行算例 A1 1 2 3 ColumnForm A1 A2 DiagonalMatrix 1 2 3 4 5 MatrixForm A2 IdentityMatrix 3 DiagonalMatrix 1 2 3 4 5 MatrixForm 二 行列式 Det A 执行算例 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 MatrixForm A Det A 三 矩阵求逆 求特征值 特征向量 Inverse A Eigenvalue A Eigenvector A 执行算例 Clear A A 4 6 0 3 5 0 3 6 1 Eigenvalues A Eigenvectors A 四 恰定方程求解 问题 1 x1 6x2 36x3 104 x1 10 x2 100 x3 160 x1 20 x2 400 x3 370 程序 Clear A1 b A1 1 6 36 1 10 100 1 20 400 b 104 160 370 LinearSolve A1 b 求方程组的解 X Inverse A1 b 用求逆矩阵方法求解 五 欠定方程求解 问题 2 2x1 x2 x3 x4 1 x1 2x2 x3 x4 2 x1 x2 2x3 x4 3 程序 A2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 b2 1 2 3 X x1 x2 x3 x4 Solve A2 X b2 x1 x2 x3 x4 MATHEMATICA 第七讲 函数的插值 一 拉格朗日插值 L List InterpolatingPolynomial L x 执行算例 1 两点线性插值 L 0 0 3 0 2 0 45 I InterpolatingPolynomial L x 执行算例 2 三点抛物插值 L1 0 0 3 0 2 0 45 0 4 0 15 I1 InterpolatingPolynomial L1 x 执行算例 3 多点拉格朗日插值 L2 0 0 3 0 2 0 45 0 3 0 47 0 52 0 50 0 64 0 38 0 7 0 33 1 0 0 24 I2 InterpolatingPolynomial L2 x Plot x 0 25 1 05 执行算例 4 作正弦在 0 P 上五点插值函数图形 g0 Plot Sin x x 0 Pi L Line Table x Sin x x 0 Pi Pi 4 g Graphics L Show g0 g sinAp n Graphics Line Table x Sin x x 0 Pi Pi n 1 sinAp 2 Show g0 二 龙格现像演示 L Table x 1 1 25 x 2 x 1 1 0 2 a InterpolatingPolynomial L x b Plot 1 1 25 x 2 x 1 1 PlotStyle RGBColor 1 0 0 c Plot a x 1 1 Show b c 三 两点三次 Hermite 插值 执行算例 5 Clear x y h0 h1 H0 H1 x1 0 1 y1 1 2 m 1 2 1 2 h0 x 1 2 x x 1 2 h1 x 1 2 x 1 x x 1 2 H0 x x x 1 2 H1 x x 1 x 2 H x y1 1 h0 x y1 2 h1 x m 1 H0 x m 2 H1 x x 0 55 四 N 1 个节点的 2N 1 次 Hermite 插值 执行算例 6 Clear x0 y bb w w1 w2 L h H Hm x0 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 y Table Log x x 0 40 0 80 0 10 m Table 1 x x 0 40 0 80 0 10 bb x InterpolatingPolynomial y x Simplify bb x bb 0 55 w x x x0 1 x x0 2 x x0 3 x x0 4 x x0 5 w1 x D w x x Simplify w1 x w2 x D w x x 2 Simplify w2 x For i 1 i PointSize 0 03 RGBColor 0 0 1 ft1 Fit b2 1 x x gp Plot ft1 x 100 190 PlotStyle RGBColor 1 0 0 Show fp gp 二 抛物线拟合 执行算例 B Table Prime n n 20 t1 ListPlot B PlotStyle RGBColor 0 1 1 PointSize 0 04 f Fit B 1 x x 2 x t2 Plot f x 0 20 Show t1 t2 三 多项式拟合 执行算例 data 0 1 2 1 1 4 2 1 3 3 1 5 4 1 3 5 1 3 6 1 1 t2 ListPlot data PlotStyle PointSize 0 05 RGBColor 1 0 0 fx Fit data 1 x x 2 x 3 x 4 x 5 x t1 Plot fx x 0 6 PlotStyle RGBColor 1 0 1 Show t1 t2 执行算例 b3 1 4 2 6 4 3 8 0 4 8 4 5 9 28 6 9 5 7 9 7 8 9 86 9 10 0 10 10 2 11 10 32 12 10 42 13 10 5 14 10 55 15 10 58 16 10 6 gp ListPlot b3 PlotStyle RGBColor 0 1 0 PointSize 0 04 ft2 Fit b3 Table x i i 0 4 x fp Plot ft2 x 0 17 PlotStyle RGBColor 1 0 0 Show gp fp 四 非线性拟合 指数拟合 执行算例 求一个经验函数 型如 x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 15 3 20 5 27 4 36 5 49 1 65 5 87 8 117 6 程序 b4 1 15 3 2 20 5 3 27 4 4 36 6 5 49 1 6 65 5 7 87 8 8 117 6 gb4 ListPlot b4 PlotStyle RGBColor 0 0 1 PointSize 0 05 y4 Table b4 i 2 i 1 8 ly4 Log y4 fy4 Fit ly4 1 x x s x Exp fy4 ty Plot s x x 1 8 Axes 2 60 AspectRatio 1 PlotStyle RGBColor 1 0 0 PlotRange 10 120 Show ty gb4 Axes 2 60 AxesLabel x y AspectRatio 1 Ticks 1 2 3 4 5 6 7 8 0 30 60 90 120 执行算例 求一个经验函数 型如 y a exp bx 与所给数据拟合 x 0 4 0 5 0 6 0 7 y 1 75 1 34 1 00 0 74 程序 Clear fx fy biao nb ft ft1 t1 fx x x fy y Log y biao 0 4 1 75 0 5 1 34 0 6 1 00 0 7 0 74 nb Table fx biao i 1 fy biao i 2 i 1 4 拟合方程 ft Fit nb 1 x x ft1 Exp ft 拟合曲线 t1 Plot ft1 x 0 1 0 AxesLabel x y PlotStyle RGBColor 1 0 0 t2 ListPlot biao PlotStyle RGBColor 0 0 1 PointSize 0 04 Show t1 t2 PlotRange 0 2 五 用正交多项式作拟合 0 1 区间上的勒让得多项式 定义勒让得函数 n 10 Clear x t s n 10 P0 x 1 P1 x 1 2x n P2 x 1 6 x n 6 x x 1 n n 1 P3 x 1 12 x n 30 x x 1 n n 1 20 x x 1 x 2 n n 1 n 2 P4 x 1 2 x x x 1 140 x x 1 x 2 720 70 x x 1 x 2 x 3 10 9 8 7 P5 x 1 30 x n 210 x x 1 n n 1 560 x x 1 x 2 n n 1 n 2 630 x x 1 x 2 x 3 n n 1 n 2 n 3 252 x x 1 x 2 x 3 x 4 n n 1 n 2 n 3 n 4 输入初始数据 t 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y 0 1 27 2 16 2 86 3 44 3 87 4 15 4 37 4 51 4 60 4 66 做变量替换 x t 5 计算各多项式在节点处的值 A P0 x P1 x P2 x P3 x P4 x P5 x 计算每一行元素平方的和 s Table 0 i 1 6 For k 1 k 6 k s k 0 For i 1 i 11 i s k s k A k i 2 N s 6 计算 Pk xi yi r Table 0 i 1 6 j 1 11 For i 1 i 11 i r 1 i b0 i y i For i 1 i 11 i r 1 i b0 i y i For i 1 i 11 i r 1 i b0 i y i For i 1 i 11 i r 1 i b0 i y i For i 1 i 11 i r 2 i b1 i y i For i 1 i 11 i r 3 i b2 i y i For i 1 i 11 i r 4 i b3 i y i For i 1 i 11 i r 5 i b4 i y i For i 1 i b X 0 命令格式 ConstrainedMax f inequalities x y ConstrainedMin f inequalities x y LinearProgramming c M b 执行算例 1 求解线性规划问题 max f 2x 3y s t x 2y 8 0 x 4 0 y 3 ConstrainedMax 2 x 3 y x 2 y 8 x 4 y 0 解法一 ConstrainedMin x 2y 3z 2x y 1 x z 1 x y z 解法二 c 2 3 M 1 1 1 1 1 0 b 10 2 1 q LinearProgramming c M b 执行算例 3 求解线性规划问题 min f 0 40 x1 0 28x2 0 32x3 0 72x4 0 64x5 0 61x6 s t 0 01x1 0 01x2 0 01x3 0 03x4 0 03x5 0 03x6 850 0 02x1 0 05x4 700 0 02x2 0 05x5 100 0 03x3 0 08x6 900 x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 解 c 0 4 0 28 0 32 0 72 0 64 0 6 A 0 01 0 01 0 01 0 03 0 03 0 03 0 02 0 0 0 05 0 0 0 0 02 0 0 0 05 0 0 0 0 03 0 0 0 08 b 850 700 100 900 LinearProgramming c A b 此命令只给出决策变量 线性约束条件下的非线性规划问题 线性逼近法 FW 法 模型 NLP minf x S t E x AX b X 0 执行算例 4 求解非线性规划问题 用线性逼近法求解非线性规划问题 目标函数 f x1 x2 x1 1 2 x2 2 2 约束条件 0 x1 2 0 x2Part c 1 x2 Part c 2 求 X0 点梯度 0 6 1 5 x1 清除 X1 X2 的值 x2 p u v s u v a ConstrainedMin p x1 x2 x1 2 x20 01 g c d e t d f Part g 1 Part g 2 w FindMinimum t d d 1 0 1 c c d Part w 2 e Print c1 c 得到初始点 c1 将其替换 c 运算后的结果继续代替 C 直到 w 的绝对 值小于 0 01 为止 MATHEMATICA 第九讲 表处理函数 Mathematica 的表处理功能非常强大 这成为 Mathematica 系统的一个显著特点 在符号处理 矩阵运算等方面具有重要作用 在一般的程序设计中亦是必不可少的 1 Table 表达式 循环描述 按循环描述生成具有表达式所描述的性质的表 算例 Table i2 1 i 1 5 2 NestList 函数 f 初值 x 递推次数 n 求值生成一个由 n 1 元素的表 f x f f x f f x 算例 h x x 2 NestList h 2 4 3 Part 表 n 或表 n 取出表的第 n 个元素 算例 Clear a b c d e ww a b c d e ww 3 Part ww 2 4 Take 表 整数 n 取出表的前 n 个元素做成一个表 Drop 表 n 的作用正好与 Take 相反 是取出后表的前 n 个元素剩余的元素作成的一个 表 算例 Clear a b c Take 1 3 5 a b c 4 Drop 1 3 5 a b c 2 5 Count 表 表达式 求表达式在表的第一层出现的次数 算例 Clear a b c d Count a b c a d a a c a 6 Position 表 表达式 找出表达式在表中出现的位置 算例 Position 1 b a a b a 7 Prepend 表 表达式 把表达式放在原表所有元素的前面 Append 表 表达式 表达式放在原表最后 算例 Prepend a b c s f Append a b c d e 8 Insert 表 表达式 整数 n 表达式插入原表第 n 个位置 算例 Insert 1 2 3 4 a 3 9 Join 表 1 表 2 得到一个由这 n 个表的元素顺序连接起来构成的表 Union 表 1 表 2 与 Join 类似 只是在作为结果的表里删除了重复元素 并且 将表的元素按一种内定的次序重新排序 算例 Join a b c a b Union a e f a b e f 10 Reverse 表 求出原表反序的表 算例 Reverse 1 2 3 4 11 Transpose 表 这里的表应多于一层 求出原表第一层和第二层元素交换得的表 如果表为矩阵 即得矩阵的转置 算例 Transpose 1 2 3 4 5 6 12 Deletecases 表 表达式 删除表中与表达式相同的元素 算例 Deletecases 10 8 9 7 10 13 latten 表 n 求出表上面 n 层抹平后得到的表 算例 Flatten a b c d e f g 2 14 Det 矩阵 求矩阵的行列式 Inverse 矩阵 求矩阵的逆 算例 A 1 2 3 4 5 6 7 8 8 Det A Inverse A 15 Intersection 表 1 表 2 将这些表作为集合求交集 算例 Clear a b c d e g Intersection a b c d a b e g b c d 16 Complement 表 1 表 2 表 3 求表 1 表 2 表 3 相对于 表 1 的补集 算例 Clear a b c d e Complement a b c d a c a e 17 Map 函数 表达式 将函数作用到表达式的第一层的每一个元素上 得到由这样作用的结果构成的 表达式 算例 Clear a b c Map 2 Apply ff a b c MATHEMATICA 第十讲 程序设计初步 在这一讲里我们将介绍 Mathematica 的程序设计的初步知识 系统自身定义了几百个函数 这是 MATHEMATICA 之所以功能强大的缘故 很好的利用这些函数可以完 成许多方面的工作 如 Fit Plot 等 这里学习一个很有用的指令 在一个函数前面打 可以得到有关这个函数的说明 例如 Plot 在一个字母前加 系统给出以这个字母开头的所有函数的列表 P Plot 给出关于 Plot 的进一步的信息 函数的复合 利用系统内部函数可以构造出更多更复杂的函数 例 先求出 SIN X 的台劳展开式 再截取它的前九项 Series Sin x x 0 9 Normal Series Sin x x 0 9 二 自定义函数 f x 表达式 如果输入的自变量是表 则用 f x List 表达式 一般地 f x patten 表达式 patten 表示自变量的模式 如 f x Integer 表达式 自变量应为整数 同理 f x y 表达式 定义二元函数 例 f x x 3 x 1 Plot f x x 2 2 Print f 0 f 0 例 定义一个画半径为 r 的圆的函数 myPlot r myPlot r ParametricPlot r Cos t r Sin t t 0 2 Pi AspectRatio Automatic myPlot 1 Map myPlot 1 2 3 4 5 Show 例 4 g x 是以 2 为周期的周期函数 g x 1 x 0 g x 1 0 x g x Which x 2Pi 1 2Pi x Pi 1 Pi x 0 1 0 x Pi 1 Pi x 2Pi 1 t1 Plot g x x 3Pi 3Pi PlotStyle RGBColor 1 0 0 For i 1 iIdentity Show t1 t2 作出的 Fourier 若干项展开和的图形 并作动画演示 三 循环结构 1 While 条件 表达式 称为当循环结构 其中 条件 是一个逻辑表达式 先对条件求值 如得到 True 则求值它的表达式部份 然后重复上述过程 直到条件不满足为止 循环结束 例 求平方小于 100 的最大的整数 Clear x x 0 While x 2eps If f2 f1 b x2 x2 x1 x1 b 0 618 b a f2 f1 f1 f x1 a x1 x1 x2 x2 a 0 618 b a f1 f2 f2 f x2 Print 最优解 x x1 x2 2 最优值 f x f x1 x2 2 2 For 初始表达式 条件 步进表达式 表达式 步进表达式用于对循环控制变量作步进赋值 n 表示将 n 的值增加一个单位 n 2 表示将 n 的值增加两个单位 例