金融工程学(期货)第九单元：股票价格行为

股票价格的行为模型 引言 随机过程 解释 离散时间随机过程连续时间随机过程离散变量随机过程连续变量随机过程随机微积分 解释 例1 一个醉汉在路上行走 以概率p前进一步 以概率1 p后退一步 假定步长相同 以记他在路上的位置 则就是直线上的随机游动 例2 英国植物学家布朗注意到飘浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动 若记为粒子在平面坐标上的位置 则它是平面上的布朗运动 马尔科夫过程 将来与现在有关 与过去无关 市场弱有效 今天的价格是所有历史信息的反映 马尔科夫 Markov 性质 维纳过程 wienerprocess 马尔科夫过程的特例 也称布朗运动记z为维纳过程 z是在 t时间内z的变化 则性质1 其中 是标准正态分布中抽取的一个随机值性质2 对任何不同时间间隔 t z相互独立 维纳过程 对连续时间随机过程 当 t趋于零时 过程的极限就是维纳过程 性质1也就是如下形式其中 是标准正态分布 考虑在一段相对长的时间T中z值的增加 表示为z T z 0 将它看作是在N个长度为的小时间间隔中z的变化的和 其中是从标准正态分布的随机抽样值 的均值 0的方差 T 一般维纳过程其中 a和b是常数 a是漂移项 b是方差项 如何理解漂移项和方差项 Ito过程其中 漂移a x t 和方差b x t 是x和时间t的函数 如何理解漂移项和方差项 股票的收益率与股票的价格无关股票的收益率的不确定性与价格无关 股票价格的行为过程无红利支付 股票价格的波动率 股票的预期收益率 上证指数月线图 考虑一种无红利支付的股票 波动率为每年30 预期收益率为每年15 连续复利 即 设时间间隔为1星期 0 0192年 股票价格的初始值为100 即 前述模型也称几何布朗运动 其离散形式为 模型回顾 蒙特卡罗模拟假设股票的预期收益率为每年14 收益率的标准差为每年20 0 14 0 20 设考虑股票价格在长度 t 0 01 年或3 65天 的时间的变化 于是即均值为0 0014 标准差为0 02的正态分布 给定初期股票价格 初始值 比如 20 00 产生标准正态随机变量的一个样本v1 计算 S S v2 0 0014 0 02v1计算下一期股票价格重复上述过程 可以得到股票价格的模拟值注意样本v2的相互独立性 股票价格过程的两个参数 和 以年为计量单位 与股票收益的风险和利率水平有关衍生证券的价值与股票收益率 的大小无关股票价格波动率 对衍生证券的价值影响大作为近似 波动率可以被解释为一年内股票价格变化的标准差在一段较长的时间T后股票价格比例变化的标准差并不是 参数 任何衍生证券的价格都是标的证券和时间的函数Ito引理 如果对随机过程x 有 Ito定理 称为Ito过程 其中z为维纳过程 Ito定理如果x服从Ito过程 G是x和t的函数 则有 即G也是Ito过程 无红利支付股票的远期合约假设无风险利率为常数 对于所有到期日等于r定义F为远期价格 于是 Ito引理在远期合约中的应用 假设S是如下几何布朗运动 用代入 即得 定义由于 Ito引理应用于股票价格对数变化 可得 于是 过程G是一般维纳过程 漂移率和方差分别为 G在t和T之间的变化是正态分布 均值和方差分别为 于是 有 正态分布 马尔科夫过程维纳过程一般维纳过程Ito过程几何布朗运动 模拟随机过程Ito引理 推导 小结 一些注释 1 股价行为方程 A 在很短时间内 均值 t 方差 2 tB 在较长时间T内 均值 T方差 2T 2 股价对数的行为方程 A 在很短时间内 均值 2 t 方差 2 t B 在较长时间T内 均值 2 T 即 方差 2T 例子 假设股票初始价格 40 期望收益 16 波动率 20 1 试求6个月末的股价对数分布 2 在未来6个月内股价范围 答案 1 lnST N 3 759 0 141 2 32 55 ST 56 56 对数正太分布变量性质 若ST满足对数正太分布 且dlns 0 5 dt dz则该变量的期望和方差分别是 E ST S