高三数学基础汇编

20172017 高三数学理科数学核心知识点高三数学理科数学核心知识点 集合集合 1 1 集合含义与表示集合含义与表示 1 集合中元素的性质 确定性 互异性 无序性 2 元素与集合的关系 属于 不属于 3 表示方法 列举法 描述法 区别数集与点集 图示法 区间法 4 常用数集 实数 有理数 整数 自然数 正整数 或 RQZN N N 2 2 两集合之间的关系两集合之间的关系 1 包含 真包含 相等 子集与真子集 2 结论 1 含有个元素集合的子集个数为 真子集 非空真子集n n 212 n 22 n 2 是任何集合的子集 任何非空集合的真子集 3 3 集合间基本运算 重点 集合间基本运算 重点 1 交集 公共部分 2 并集 并在一起 3 补集 集合相对于全集的补集 剩下的部分 ACUAU 主要涉及数字与数字 数字与范围 范围与范围 集合问题能化简的要先化至最简 涉及范围问题的常借助数轴表示 要注意端点值的取舍 需要加强训练的相关知识点 1 解一元一次不等式 2 解一元二次方程 用求根公式法 注意变式 3 解一元二次不等式 注意变式 如 9 2 x 021 xx 4 解绝对值不等式 仅限于含一个绝对值 如 或 2 x3 1 x 理科数学核心知识点理科数学核心知识点 函数函数 1 1 求定义域求定义域 x y 1 00 x xxf 0 x 定义域是否 关于原点对称 是 否非奇非偶函数 既是奇函数 又是偶函数 偶函数 奇函数 xfxf xfxf xfxf xfxf 且 特别是出现的频率很高 xxf a log 0 xxxfln 注 由几个初等函数组合的复杂函数求各定义域的交集 2 2 求函数值求函数值 特别是分段函数 3 3 基本性质基本性质 1 1 单调性 单调性 熟记初等函数单调性 图像法 复合函数法 同增异减 导数法 2 2 奇偶性 奇偶性 注 偶函数的图像关于轴对称 在对称区间上单调性相反 奇函数的图像关于原点y 对称 在对称区间上单调性相同 若在处有定义 则 0 x 00 f 3 3 周期性 周期性 设函数 如果存在非零常数 使得 有 Dxxfy TDx DTx 则函数为周期函数 为函数的一个周期 若在所有的周期中存在 xfTxf xfT 一个最小的正数 则这个最小的正数叫做最小正周期 注 周期函数可任意加减周期的整数倍 即 ZnTnxfxf 若或或或 xfTxf TxfTxf xf Txf 1 xf Txf 1 则函数的周期为 xfT2 4 4 对称性 对称性 若或 则关于直线对称 xafxaf xafxf 2 xfax 4 4 图像变换 平移 对称 翻折 图像变换 平移 对称 翻折 伸缩 伸缩 主要是平移 即 左 右 上 下 5 5 基本初等函数基本初等函数 定义 图像 性质 1 幂函数 常用的是 xy R 1 xy 2 1 xy xy 2 xy 3 xy 2 指数运算性质 nmnm aaa nm n m a a a mn n m aa mmm baab p p a a 1 n m n m aa 3 指数函数 其中且 其主要性质可观察图像得到 x ay 0 a1 a 4 对数定义 叫做以为底的对数 10log0 aaNnNNa a n 且aN 注 注 负数和零没有对数 0 N01log a 1log a a NN 10 loglg 718 2 loglneNN e Na N a log NaN a log 5 对数运算性质 NMNM aaa logloglog NM N M aaa logloglog 换底公式 特别地 MnM a n a loglog a b b c c a log log log a b b a log 1 log 6 对数函数 其中且 其主要性质可观察图像得到 xy a log 0 a1 a 6 6 函数的零点函数的零点 1 定义 对于函数 我们把使的实数叫做函数的零点 xfy 0 xfx xfy 2 方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点 0 xf xfy x xfy 3 零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线 并且有 xfy ba 那么函数在区间内有零点 0 bfaf xfy ba 理科数学核心知识点理科数学核心知识点 导数及其引用导数及其引用 一 求导数一 求导数 1 1 导数公式导数公式 1 若 为常数 则 2 若 则 cxf c x f n xxf x f 3 若 则 4 若 则 xxfsin x f xxfcos x f 5 若 则 特别地 若 则 x axf aaxf x ln x exf x f 6 若 则 特别地 若 则 xxf a log ax xf ln 1 xxfln x f 2 2 四则运算法则四则运算法则 设为两个函数 则 1 vu vu 2 3 vu vu 4 其中为常数 5 ucc v u 3 3 复合函数的求导复合函数的求导 由外到内 层层求导 中间是乘号 二 导数的几何意义二 导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义 就是曲线在点处的 xfy 0 x xfy 00 xfxP 切线的斜率 即 0 xfk 三 导数应用三 导数应用 1 求函数 曲线 求函数 曲线 在某一点在某一点处的切线方程处的切线方程 xfy 00 y x 1 求导数 或 x f y 2 求斜率 或 0 xfk 0 xx yk 3 求方程 点斜式 最后化为直线一般式或斜截式即可 00 xxkyy 2 求单调区间 极值和最值求单调区间 极值和最值 1 若 则单调递增 对应区间称为增区间 0 x f xf 若 则单调递减 对应区间称为减区间 0 x f xf 反之 若单调递增 则 若单调递减 则 xf 0 x f xf 0 x f 2 左增右减有极大值 左减右增有极小值 3 闭区间上的连续函数必有最值 先求极值 再求端点值 然后比较得最值 注 注 单调区间不合并 用 和 字连接或用 隔开 有极值则导数为零 但导数为零不一定有极值 如函数在处导数为零 3 xy 0 x 但无极值 即 导数为零 是 有极值 的必要不充分条件 极值是函数的局部性质 可有多个 最值是函数的整体性质 具有唯一性 例 已知函数的极值 注意明确解题步骤 44 3 1 3 xxxf 解 定义域为 R x 4 2 xxf 令 即 得 0 x f04 2 x2 1 x2 2 x 当时 单调递增 2 x 0 x f xf 当时 单调递减 22 x 0 x f xf 当时 单调递增 2 x 0 x f xf 故的单调递增区间为 单调递减区间为 xf 2 2 2 2 注 注 若是求该函数的单调区间 则到此为止 列表如下 所以 当时 有极大值为 当时 有极小值为 2 x xf 3 28 2 x xf 3 4 注 注 若求该函数在区间上的最大值和最小值 则求出端点值 3 0 40 f 与极值比较得 13 f 3 28 max xf 3 4 min xf 3 3 求定积分求定积分 也可以利用几何意义 牛顿 莱布尼茨公式 其中 aFbFxFxdxf b a b a xFxf 理科数学核心知识点理科数学核心知识点 三角函数三角函数 一 基础知识一 基础知识 x 2 2 2 2 2 2 x f 0 0 xf极大值 3 28 极小值 3 4 角度角度 0 0 30 30 45 45 60 60 90 90 120 120 135 135 150 150 180 180 弧度弧度06 4 3 2 3 2 4 3 6 5 sin02 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 0 1 特殊角三角函数值 理解表格的形成过程 注 注 1 互补的两角值相等 与值互为相反数 sincostan 2 周期可任意加减 其中 周期为 周期为 sincos 360 2 tan 180 3 是奇函数 负号可提前 是偶函数 负号可直接去掉sintancos 即 xxsinsin xxtantan xxcoscos 4 象限角 三角函数值正负号 一正二正弦 三切四余弦 2 同角三角函数的基本关系 可表示具体角度或式子 1 2 cos sin tan 1cossin 22 3 诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 2 三角恒等变换三角恒等变换 1 和 差角公式 sincoscossinsin sinsincoscoscos tantan1 tantan tan 2 二倍角公式 和角公式的特例 1 2 cossin22sin 2 tan1 tan2 2tan 3 1cos2sin21sincos2cos 2222 有 降幂倍角 功能 戏称为 杀人公 2 2cos1 sin2 2 2cos1 cos2 式 3 辅助角公式 可逆用和差角公式进行转化 sincossin 22 baba 22 cos ba a 22 sin ba b 常用变形 以相加为例 cos 1 1 2 3 2 2 2 1 0 0 2 1 2 2 2 3 1 1 tan 0 0 3 3 1 1 3 不存在不存在 3 1 1 3 3 0 0 证明正弦定理辅助图形 cossin cos3sin cossin3 三 解三角形三 解三角形 1 1 正弦定理 正弦定理 为 外接圆半径 R C c B b A a 2 sinsinsin RABC 推论 1 边化角 2 角化边 CRc BRb ARa sin2 sin2 sin2 R c C R b B R a A 2 sin 2 sin 2 sin 3 面积公式BacAbcCabSsin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 附 1 常用公式 1 平方差公式 22 bababa 2 完全平方公式 abbaba2 222 3 CBA sinsin CBA coscos CBA tantan 4 大边对大角 两边之和大于第三边 CBA 四 三角函数图像与性质四 三角函数图像与性质 1 利用 五点法 画出与的图像 xysin xycos 2 2 余弦定理余弦定理 ab cba C ac bca B bc acb A 2 cos 2 cos 2 cos 222 222 222 推论推论 Cabbac Baccab Abccba cos2 cos2 cos2 222 222 222 2 2 图像与性质 图像与性质 略去正切函数 xytan xysin xycos 定义域RR 图像如上图所示 注意观察最值 增减性和对称性 值域 11 对称性 对称轴 Zkkx 2 对称中心 Zkk 0 对称轴 Zkkx 对称中心 Zkk 0 2 周期性 2 T 单调性 单调增区间 Zkkk 2 2 2 2 单调减区间 Zkkk 2 2 3 2 2 单调增区间 Zkkk 22 单调减区间 Zkkk 22 奇偶性奇函数 图像关于原点对称 偶函数 图像关于轴对称 y 3 函数 与 的图像与性质 xAysin xAycos0 A0 1 2 图像可利用 五点法 或由或的图像平移得到 xysin xycos 振 幅最小正周期相 位初 相定义域值 域 A 2 T x R AA 函数 性质 3 求函数解析式时 由最值或振幅确定 可由周期确定 可由特殊点确定 A 4 求单调性 最值 对称轴和对称中心时 可将看作整体 利用或 xxysin 的相关性质得到 xycos 5 图像变换 伸缩变换 与的伸缩方式不同 和平移变换 左 右 上 下 xy 如 如何由函数的图像变换为函数的图像 xysin 3 3 2sin2 xy 理科数学核心知识点理科数学核心知识点 平面向量平面向量 1 1 定义定义 既有大小又有方向的量 2 2 表示表示 1 有向线段 如图 1 2 坐标表示 如图 2 3 3 模长模长 表示向量的大小或长度 向量的模长为 yx a 22 yx a 4 4 特殊向量特殊向量 1 单位向量 模长为 1 的向量 常用表示 即 e1 e 2 平行 共线 向量 方向相同或相反的向量 记作 ba 5 5 运算运算 设向量 则 11 y x a 22 y x b 1 加法 2121 yy xx ba 2 减法 2121 yy xx ba 3 数乘 11 ym xmm a R m 4 数量积 称为与的数量积 记作 即 cos baabba cos baba 为与的夹角 如图 3 0 baab 2 1 2 1 yx a 2 2 2 2 yx b 可参考 特殊角三角函数值 求夹角 cos ba ba 特别地 ba baba baba 1cos 01cos baba 2 0cos0 0 0 2121 1221 高频考点 yyxx yxyx ba ba 重要结论 222 aaaa 理科数学核心知识点理科数学核心知识点 数列数列 1 重要知识点重要知识点 1 1 定义定义 按照一定次序排列的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的项 数列是一种特殊的函数 2 通项公式 通项公式 如果数列的第项与项数之间的关系可以用一个式子来表示 n an n an 则这个公式称为通项公式 其中或 可省略 注意区别项和项 Nn Nn 3 数列 数列的前的前