2015年高考文科数学真题答案全国卷1

本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 1 页 总 10 页 2015 年高考文科数学试卷全国卷年高考文科数学试卷全国卷 1 解析版 解析版 参考答案参考答案 1 D 解析 试题分析 由条件知 当 n 2 时 3n 2 8 当 n 4 时 3n 2 14 故 A B 8 14 故选 D 考点 集合运算 2 A 解析 试题分析 ABOBOA 3 1 BC ACAB 7 4 故选 A 考点 向量运算 3 C 解析 试题分析 1 1zii z 2 12 12 2 iii i ii 故选 C 考点 复数运算 4 C 解析 试题分析 从 1 2 3 4 51 2 3 4 5中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法 其中的勾 股数只有 3 4 5 故 3 个数构成一组勾股数的取法只有 1 种 故所求概率为 1 10 故选 C 考点 古典概型 5 B 解析 试题分析 抛物线 2 8C yx 的焦点为 2 0 准线方程为2x 椭圆 E 的右焦点 为 2 0 椭圆 E 的焦点在 x 轴上 设方程为 22 22 1 0 xy ab ab c 2 1 2 c e a 4a 222 12bac 椭圆 E 方程为 22 1 1612 xy 将2x 代入椭圆 E 的方程解得 A 2 3 B 2 3 AB 6 故选 B 考点 抛物线性质 椭圆标准方程与性质 6 B 解析 试题分析 设圆锥底面半径为 r 则 1 2 38 4 r 所以 16 3 r 所以米堆的体积为 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 2 页 总 10 页 2 1116 3 5 433 320 9 故堆放的米约为 320 9 1 62 22 故选 B 考点 圆锥的性质与圆锥的体积公式 7 B 解析 试题分析 公差1d 84 4SS 11 11 88 74 44 3 22 aa 解得 1 a 1 2 101 119 99 22 aad 故选 B 考点 等差数列通项公式及前 n 项和公式 8 D 解析 试题分析 由五点作图知 1 42 53 42 解得 4 所以 cos 4 f xx 令22 4 kxkkZ 解得 1 2 4 k x 3 2 4 k kZ 故单调减区间为 1 2 4 k 3 2 4 k kZ 故选 D 考点 三角函数图像与性质 9 C 解析 试题分析 执行第 1 次 t 0 01 S 1 n 0 m 1 2 0 5 S S m 0 5 2 m m 0 25 n 1 S 0 5 t 0 01 是 循环 执行第 2 次 S S m 0 25 2 m m 0 125 n 2 S 0 25 t 0 01 是 循环 执行第 3 次 S S m 0 125 2 m m 0 0625 n 3 S 0 125 t 0 01 是 循环 执行第 4 次 S S m 0 0625 2 m m 0 03125 n 4 S 0 0625 t 0 01 是 循环 执行第 5 次 S S m 0 03125 2 m m 0 015625 n 5 S 0 03125 t 0 01 是 循环 执行第 6 次 S S m 0 015625 2 m m 0 0078125 n 6 S 0 015625 t 0 01 是 循环 执行第 7 次 S S m 0 0078125 2 m m 0 00390625 n 7 S 0 0078125 t 0 01 否 输出 n 7 故选 C 考点 程序框图 10 A 解析 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 3 页 总 10 页 试题分析 3f a 当1a 时 1 223 a f a 则 1 21 a 此等式显 然不成立 当1a 时 2 log 1 3a 解得7a 6 fa 1 f 1 1 7 22 4 故选 A 考点 分段函数求值 指数函数与对数函数图像与性质 11 B 解析 试题分析 由正视图和俯视图知 该几何体是半球与半个圆柱的组合体 圆柱的半径与球 的半径都为 r 圆柱的高为 2r 其表面积为 22 1 4222 2 rrrrrr 22 54rr 16 20 解得 r 2 故选 B 考点 简单几何体的三视图 球的表面积公式 圆柱的测面积公式 12 C 解析 试题分析 设 x y是函数 yf x 的图像上任意一点 它关于直线yx 对称为 yx 由已知知 yx 在函数2x ay 的图像上 2 y a x 解得 2 log yxa 即 2 log f xxa 22 2 4 log 2log 41ffaa 解得2a 故选 C 考点 函数对称 对数的定义与运算 13 6 解析 试题分析 11 2 2 nn aaa 数列 n a是首项为 2 公比为 2 的等比数列 2 1 2 126 1 2 n n S 264 n n 6 考点 等比数列定义与前 n 项和公式 14 1 解析 试题分析 2 31fxax 1 31fa 即切线斜率31ka 又 1 2fa 切点为 1 2a 切线过 2 7 27 31 12 a a 解得 a 1 考点 利用导数的几何意义求函数的切线 常见函数的导数 15 4 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 4 页 总 10 页 解析 试题分析 作出可行域如图中阴影部分所示 作出直线 0 l 30 xy 平移直线 0 l 当 直线l z 3x y 过点 A 时 z 取最大值 由 2 0 21 0 xy xy 解得 A 1 1 z 3x y 的最大 值为 4 考点 简单线性规划解法 16 12 6 解析 试题分析 设双曲线的左焦点为 1 F 由双曲线定义知 1 2 PFaPF APF 的周长为 PA PF AF PA 1 2 aPF AF PA 1 PF AF 2a 由于2 aAF 是定值 要使 APF 的周长最小 则 PA 1 PF最小 即 P A 1 F共线 0 6 6A 1 F 3 0 直线 1 AF的方程为1 36 6 xy 即3 2 6 y x 代入 2 2 1 8 y x 整理得 2 6 6960yy 解得2 6y 或8 6y 舍 所以 P 点的纵 坐标为2 6 11 APFAFFPFF SSS 11 6 6 66 2 6 22 12 6 考点 双曲线的定义 直线与双曲线的位置关系 最值问题 17 1 4 1 解析 试题分析 先由正弦定理将 2 sin2sinsinBAC 化为变得关系 结合条件ab 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 5 页 总 10 页 用其中一边把另外两边表示出来 再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值 由 知 2 2bac 根据勾股定理和即可求出 c 从而求出ABC 的面积 试题解析 由题设及正弦定理可得 2 2bac 又ab 可得2bc 2ac 由余弦定理可得 222 1 cos 24 acb B ac 由 1 知 2 2bac 因为B 90 由勾股定理得 222 acb 故 22 2acac 得2ca 所以DABC 的面积为 1 考点 正弦定理 余弦定理 运算求解能力 18 见解析 3 2 5 解析 试题分析 由四边形 ABCD 为菱形知 AC BD 由 BE 平面 ABCD 知 AC BE 由线面 垂直判定定理知 AC 平面 BED 由面面垂直的判定定理知平面AEC 平面BED 设 AB x 通过解直角三角形将 AG GC GB GD 用 x 表示出来 在RtDAEC 中 用 x 表示 EG 在RtDEBG 中 用 x 表示 EB 根据条件三棱锥EACD 的体积为 6 3 求出 x 即可求 出三棱锥EACD 的侧面积 试题解析 因为四边形 ABCD 为菱形 所以 AC BD 因为 BE 平面 ABCD 所以 AC BE 故 AC 平面 BED 又 AC 平面 AEC 所以平面 AEC 平面 BED 设 AB x 在菱形 ABCD 中 由 ABC 120 可得 AG GC 3 2 x GB GD 2 x 因为 AE EC 所以在RtDAEC 中 可得 EG 3 2 x 由 BE 平面 ABCD 知DEBG 为直角三角形 可得 BE 2 2 x 由已知得 三棱锥 E ACD 的体积 3 1166 32243 E ACD VAC GD BEx 故x 2 从而可得 AE EC ED 6 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 6 页 总 10 页 所以DEAC 的面积为 3 DEAD 的面积与DECD 的面积均为5 故三棱锥 E ACD 的侧面积为3 2 5 考点 线面垂直的判定与性质 面面垂直的判定 三棱锥的体积与表面积的计算 逻辑推 理能力 运算求解能力 19 ycdx 适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型 100 668yx 46 24 解析 试题分析 由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数 令 wx 先求出建立y关于w的线性回归方程 即可y关于x的回归方程 利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值 再根据年利率 z 与 x y 的关系为 z 0 2y x 即可年利润 z 的预报值 根据 的结果知 年利润 z 的预报值 列出 关于x的方程 利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用 试题解析 由散点图可以判断 ycdx 适合作为年销售y关于年宣传费用 x的回归方程类型 令wx 先建立y关于w的线性回归方程 由于 8 1 8 2 1 ii i i i ww yy d ww 108 8 68 16 cydw 563 68 6 8 100 6 y关于w的线性回归方程为 100 668yw y关于x的回归方程为 100 668yx 由 知 当x 49 时 年销售量y的预报值 100 668 49y 576 6 576 6 0 24966 32z 根据 的结果知 年利润 z 的预报值 0 2 100 668 13 620 12zxxxx 当x 13 6 6 8 2 即46 24x 时 z 取得最大值 故宣传费用为 46 24 千元时 年利润的预报值最大 12 分 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 7 页 总 10 页 考点 非线性拟合 线性回归方程求法 利用回归方程进行预报预测 应用意识 20 47 47 33 2 解析 试题分析 设出直线 l 的方程 利用圆心到直线的距离小于半径列出关于 k 的不等 式 即可求出 k 的取值范围 设 1122 M x yN xy 将直线 l 方程代入圆的方程 化为关于 x 的一元二次方程 利用韦达定理将 1212 x xy y用 k 表示出来 利用平面向量数量 积的坐标公式及12OM ON 列出关于 k 方程 解出 k 即可求出 MN 试题解析 由题设 可知直线 l 的方程为1ykx 因为 l 与 C 交于两点 所以 2 23 1 1 1 k k 解得 4747 33 k 时 fx 存在唯一零点 见解析 解析 试题分析 先求出导函数 分0a 与0a 考虑 fx 的单调性及性质 即可判断 出零点个数 由 可设 fx 在 0 的唯一零点为 0 x 根据 fx 的正负 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 8 页 总 10 页 即可判定函数的图像与性质 求出函数的最小值 即可证明其最小值不小于 2 2lna a a 即证明了所证不等式 试题解析 f x的定义域为 0 2 20 x a fxex x 当0a 时 0fx fx 没有零点 当0a 时 因为 2x e单调递增 a x 单调递增 所以 fx 在 0 单调递增 又 0fa 当 b 满足0 4 a b 且 1 4 b 时 b 0f 时 fx 存在唯一零点 由 可设 fx 在 0 的唯一零点为 0 x 当 0 0 xx 时 0fx 故 f x在 0 0 x 单调递减 在 0 x 单调递增 所以当 0 xx 时 f x取得最小值 最小值为 0 f x 由于 0 2 0 2 0 x a e x 所以 00 0 22 2ln2ln 2 a f xaxaaa xaa 故当0a 时 2 2lnf xaa a 考点 常见函数导数及导数运算法则 函数的零点 利用导数研究函数图像与性质 利用 导数证明不等式 运算求解能力 22 见解析 60 解析 试题分析 由圆的切线性质及圆周角定理知 AE BC AC AB 由直角三角形中线 性质知 DE DC OE OB 利用等量代换可证 DEC OEB 90 即 OED 90 所以 DE 是 圆 O 的切线 设 CE 1 由得 AB 设 AE 由勾股定理得3OACE 2 3x 由直角三角形射影定理可得 列出关于的方程 解出 2 12BEx 2 AECE BE Ax 即可求出 ACB 的大小 x 试题解析 连结 AE 由已知得 AE BC AC AB 在 Rt AEC 中 由已知得 DE DC DEC DCE 连结 OE OBE OEB ACB ABC 90 DEC OEB 90 OED 90 DE 是圆 O 的切线 设 CE 1 AE 由已知得 AB x2 3 2 12BEx 由射影定理可得 2 AECE BE A 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 9 页 总 10 页 解得 ACB 60 22 12xx x3 考点 圆的切线判定与性质 圆周角定理 直角三角形射影定理 23 cos2 2 2 cos4 sin40 1 2 解析 试题分析 用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 1 C 2 C的极坐标方程 将将 4 代入 2 2 cos4 sin40 即可求出 MN 利用三角形面积公 式即可求出 2 C MNA的面积 试题解析 因为cos sinxy