狭义相对论几个公式公式推导

精品文档 1欢迎下载 狭义相对论几个公式公式推导 福建省永春县东关中心小学 陈金江 运动物体的长度缩率公式和不同点上的时刻公式推导 爱因斯坦曾假设 在真空中 光的传播速度相对任何参照系 都一样 不论发光体的运动速度如何 也不论光接受体的运动速度 如何 光波相对它们的传播速度都是一样的 否则 我们观察到 遥远的恒星 特别是双星 将会发生十分混乱的现象 根据这个假设 可以推导出 运动方向上长度的缩率和另参照 系看我参照系同时事件的情况的规律 设在 S 系中看到两条等长线段 AB 和 A B 它们分别在 S 参照 系和 S 参照系 S 和 S 相对运动速度为 v 光秒 秒 并且在 S 参 照系看来 AB A B a 光秒 如图所示 V 光秒 秒 A 0 秒 B 0 秒 Q 图 1 V 光秒 秒 AB Q P 设 A 和 A 相遇时 A 和 A 会发出闪光 或 B 和 B 相遇时 B 和 B 也会发出闪光 S 系 S 系 A t 秒 B 0 秒 S 系 S 系 A B Q P 精品文档 2欢迎下载 A 0 秒 B t秒 2 2 1 c v 我们在 S 系看来 由于 AB A B 所以 A 和 A 与 B 和 B 是同 时相遇的 所以它们同时发出闪光 光波将在 AB 中点 Q 相遇 在 S 系中光波也必在相应点 Q 相遇 因为光波对 S 系的传播速度 和 S 运动无关 由于 Q 点不在 A B 的中间 所以在 S 系看来 两次闪光不 是同时的 因为 B 发出的光波走的距离 B Q 比 A 发出的光波走 的距离 A Q 多 因而是 B 先闪光 A 后闪光 也就是 B 和 B 先相遇 A 和 A 后相遇 A 和 B 的时刻在 S 系看来是不同时 的 而是 B 早 A 迟 在 S 系中 由于 A A 和 B B 不同时相遇 所以 S 系看 到的两条段 AB 和 A B 也不相等 因为 B B 先相遇 所以必是 A B AB 情况如图 2 所示 A 秒 B 0 秒 V 光秒 秒 t 秒后 S 系 S 系 A 0 秒 B 0 秒 V 光秒 秒 A t 秒 B t 秒 P 精品文档 3欢迎下载 发出闪光时 A A 的时刻数 B B 的时刻数与在 S 系中看 到的是一样的 光波相遇点 Q 在 AB 中的位置比例 Q 在 A B 中 的位置比例和在 S 系中看到的一样 所以并不矛盾 综上所述 在 S 系看来是同时的事件 相等的线段 而在 S 系中看来却是不同时 不相等的 那它们有什么规律呢 在 S 系看来 AB 的长度为 a 光秒 而在 S 系看来则缩短了 小于 a 光秒 同样 在 S 系看来 A B 也是 a 光秒 其实也是缩小 了的 在 S 系中看到的 A B 实际长度要大于 a 光秒 它们的缩率 是相等的 设为 n 由图 1 得 在 S 系中 从 AB 发光到光波相遇 两系已相对运 动了光秒 也就是 AB 与 A B 的中点错开的距离 P Q 见 c av 2c av 2 图 1 由于 S 系系已把这距离缩短了 在 S 系看来应是 P Q 所以在 S 系看来 B 发出的光波比 A 发出的光波多走了 cn av 2 光秒 cn av 假设 S 系中看到 B B 相遇发出闪光后 再经过 t 秒 A A 才相遇发出闪光 则在 S 系看到的 A 的时刻数应比 B 的 时刻数多 t 秒 因此 S 系认为 B 发出的光波比 A 发出的 光波 V 光秒 秒 S 系 S 系 Q Q 图 2 P 精品文档 4欢迎下载 多 ct 光秒 联系上面可列出方程 ct 1 cn av 由于运动方向上长度缩短 所以在 S 系中看到的 AB A B a 光秒 而在 S 系中则看到 AB na 光秒 A B 光秒 n a 由图 2 可得 an vt 2 n a 联立 1 2 可得方程组 ct 1 cn av an vt 2 n a 化成 av c nt 3 2 a an vnt 4 2 得 3 4 v n21 2 c v 得到长度缩率公式 代入 1 得到不同点上的时刻公式 和运动方向相反 越往 后时刻数越多 n 2 2 1 c v t 2 2 2 1 c v c v a 精品文档 5欢迎下载 运动物体上时间缩率公式公式推导 由运动上长度缩率公式可推导出时间缩率公式 设 S 系中有 一点 P S 系中有线段 AB S S 系的相对速度是 v 光秒 秒 当 P 遇 A 时 P 和 A 时间的时刻数都是 0 秒 如图 1 所示 在 S 系中 看到经过 t 秒后 P 从 A 运动到 B AB vt 光秒 A 和 B 的时刻数都是 t 秒 P 的时刻数是 t 秒 如图 2 所示 在 S 系看到这一过程又是如何 S 系中看到 P 是不动的 A B 在向右运动 由于运动方向上的线段长度缩短 所以在 S 系 中看到 AB vt光秒 P 在 0 秒时刻时和 A 相遇 A 的时刻数 2 2 1 c v 也是 0 秒 如图 3 所示 经过 t 秒后 P 和 B 相遇 P 的时刻数是 t 秒 B 的时刻数是 t 秒 如图 4 所示 S 系 P 0 秒 V 光秒 秒 A 0 秒 S 系 B 0 秒 图 1 P t 秒 V 光秒 秒 S 系 S 系 A t 秒 B t 秒 图 2 精品文档 6欢迎下载 t t v AB v c v 1vt 2 2 2 2 1 c v 在 S 系中 从 P 与 A 相遇到 P 与 B 相遇 经过了 t 秒钟 而看 到 S 系中的 P 在 0 秒时刻与 A 相遇 与 B 相遇时 P 上的时刻是 t 秒 即 t秒 比 t 秒钟缩小 所以时间的缩率也是 2 2 1 c v 2 2 1 c v 即运动物体上的时间缩率公式是 P 0 秒 A 0 秒 B 秒 图 3 S 系 P t 秒 V 光秒 秒 A 秒 S 系 B t 秒 图 4 t t 2 2 1 c v 精品文档 7欢迎下载 相对论速度合成公式的推导 由于在高速 与光速相比 运动时 运动物体上的长度与时间 发生了变化 因而不同参照系中速度的合成也不是简单的 v1 v2就 可以的 设有三个个惯性坐标系 S1 S2 S3 我们在 S2观察 S1向右运 动 S3向左运动 速度分别是 v1 v2 某个时刻 三个系的 A B C 三重合于一点 这三点的时刻数都为 0 秒 t 秒后 情形 如图 1 所示 t 秒后 此时 tA t 2 2 1 1 c v S1 系 V1 S2 系 S3 系 V2 A 0 秒 B 0 秒 C 0 秒 S1 系 V1 S2 系 S3 系 V2 A tA秒 B t 秒 C 秒 D t秒 E tE秒 图 1 精品文档 8欢迎下载 tE t 2 2 2 1 c v 2 2 2 2 2 21 1 c v c v tvv 这个过程 如果我们在 S3系观察 将会看到图 2 情形 tE秒后 开始时 A B C 重合于一点 时刻数都为 0 秒 C 点不动 B 点以 V2的速度向右运动 A 点以更快的 V合速度向右运动 tE秒后 A 点运动到 S3系的 E 点处 此时 E 点处的时刻数为 tE秒 而 A 点的时刻数为 tA秒 只有这样 才能和要 S2系中看到 的情形相一致 根据 tA tE和 V合的关系 可列出方程 S1 系 V 合 S2 系 S3 系 V2 A 0 秒 B 0 秒 C 0 秒 S1 系 V合 S2 系 S3 系 V2 A tA秒 B 秒 C tE秒 D t秒 E tE秒 图 2 精品文档 9欢迎下载 2 2 1 c v合 E A t t 2 2 2 2 2 21 2 2 2 2 2 1 1 1 1 c v c v tvv c v c v t 2 2 1 c v合 2 2 221 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 11 c vvv c v c v c v 2 2 1 c v合 21 2 2 2 2 2 1 2 vvc vcvc 两边平方得到 1 2 2 c v合 2 2 2 1 2 21 4 2 2 2 1 2 2 2 2 1 4 2 vvcvvc vvcvvc 2 2 c v合 2 2 2 1 2 21 4 2 2 2 2 1 2 21 2 2 vvcvvc cvvcvv v合 2 4