高三二轮复习专题：平面向量(老师)文科

专题平面向量平面向量 考点整合 1 向量的概念 1 零向量模的大小为 0 方向是任意的 它与任意非零向量都共线 记为 0 2 长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量 a 的单位向量为 a a 3 方向相同或相反的向量叫共线向量 平行向量 4 如果直线 l 的斜率为 k 则 a 1 k 是直线 l 的一个方向向量 5 向量的投影 b cos a b 叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影 2 向量的运算 1 向量的加法 减法 数乘向量是向量运算的基础 应熟练掌握其运算规律 2 平面向量的数量积的结果是实数 而不是向量 要注意运算数量积与实数运算律的 差异 平面向量的数量积不满足结合律与消去律 a b 运算结果不仅与 a b 的长度有 关而且与 a 与 b 的夹角有关 即 a b a b cos a b 3 两非零向量平行 垂直的充要条件 若 a x1 y1 b x2 y2 则 a b a b x1y2 x2y1 0 a b a b 0 x1x2 y1y2 0 可利用它处理几何中的两线平行 垂直问题 但二者不能混淆 真题感悟 1 2013 福建 在四边形 ABCD 中 1 2 4 2 则该四边形的面积为 AC BD A B 2 C 5 D 10 55 答案 C 解析 因为 0 AC BD AC BD 四边形 ABCD 的面积 S 2 5 1 2 AC BD 1 255 2 2013 湖北 已知点 A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 4 则向量在方向上的 AB CD 投影为 A B 3 2 2 3 15 2 C D 3 2 2 3 15 2 答案 A 3 2013 北京 向量 a b c 在正方形网格中的位置如图所示 若 c a b R 则 答案 4 解析 以向量 a 和 b 的交点为原点建立直角坐标系 则 a 1 1 b 6 2 c 1 3 根据 c a b 1 3 1 1 6 2 有 6 1 2 3 解之得 2 且 故 4 1 2 4 2013 天津 在平行四边形 ABCD 中 AD 1 BAD 60 E 为 CD 的中点 若 AC 1 则 AB 的长为 BE 答案 1 2 解析 在平行四边形 ABCD 中 取 AB 的中点 F 则 BE FD 又 BE FD AD 1 2AB AC AD AB AC BE AD AB AD 1 2AB 2 2 AD 1 2AD AB AD AB 1 2AB 2 cos 60 2 AD 1 2 AD AB 1 2 AB 1 2 1 1 2 1 2 AB 1 2 AB 0 又 0 1 2 AB AB AB AB 1 2 5 2012 江苏 如图 在矩形 ABCD 中 AB BC 2 点 E 为 BC 的中点 点 F 在边 2 CD 上 若 则 的值是 AB AF 2 AE BF 答案 2 解析 方法一 坐标法 以 A 为坐标原点 AB AD 所在直线为 x 轴 y 轴建立平面直角坐标系 则 A 0 0 B 0 E 1 F x 2 22 故 0 x 2 1 AB 2 AF AE 2 x 2 BF 2 0 x 2 x AB AF 22 又 x 1 AB AF 2 1 2 BF 2 1 1 2 2 2 AE BF 2222 方法二 用 表示 是关键 AB BC AE BF 设 x 则 x 1 DF AB CF AB AB AF AB AD DF x x 2 2x AB AD AB AB 又 2x AB AF 22 x 2 2 BF BC CF BC 2 2 1 AB AE BF AB BE BC 2 2 1 AB AB 1 2BC BC 2 2 1 AB 2 2 2 2 1 AB 1 2BC 2 4 2 2 1 1 22 题型与方法 题型一 向量的概念及线性运算 例 1 1 已知向量 a cos 2 b sin 1 且 a b 则 tan等于 4 A 3 B C 3 D 1 3 1 3 2 已知 1 0 点 C 在 AOB 内 且 AOC 30 设 m OA OB 3 OA OB OC n m n R 则 OA OB m n 审题破题 1 直接根据向量共线的坐标表示求 tan 再用差角公式求 tan 2 4 寻找点 C 满足的条件 答案 1 C 2 3 解析 1 a b cos 2sin tan tan 3 1 2 4 1 2 1 1 1 2 2 方法一 1 0 OA OB 3 OA OB 不妨假设点 C 在 AB 上 且 AOC 30 以 O 为原点 OA 所在直线为 x 轴 OB 所在直线为 y 轴 建立直角坐标系 则 A 点坐 标为 1 0 B 点坐标为 0 C 点坐标为 m n m n R 所 3 3 4 3 4 OC OA OB 以存在 m n 使假设成立 此时 3 3 4 1 4 m n 方法二 由条件 1 0 可建立以 O 为原点 OA 所在直线为 OA OB 3 OA OB x 轴 OB 所在直线为 y 轴的直角坐标系 则 1 0 0 OA OB 3 由 m n 得 m n OC OA OB OC 3 又因为 AOC 30 点 C 在 AOB 内 可得 tan 30 即 3 3n m 1 3 n m 1 3 m n 反思归纳 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的 定理 平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性 表示 这个定理的一个极为重要的导出结果是 如果 a b 不共线 那么 1a 2b 1a 2b 的充要条件是 1 1且 2 2 共线向量定理有一个直接的导出结 论 即如果 x y 则 A B C 三点共线的充要条件是 x y 1 OA OB OC 变式训练 1 如图所示 在 ABC 中 点 O 是 BC 的中点 过点 O 的直线分别交直线 AB AC 于不同的两点 M N 若 m n m n 0 则 的最小值为 AB AM AC AN 1 m 4 n A 2 B 4 C D 9 9 2 答案 C 解析 MO AO AM AB AC 2 1 mAB 1 2 1 m AB 1 2AC 同理 M O N 三点共线 NO 1 2 1 n AC 1 2AB 故 1 2 1 m AB 1 2AC 1 2 1 n AC 1 2AB 即 0 由于 不共线 根据平面向量基本定理 1 2 1 m 2 AB 1 2 2 n AC AB AC 1 2 1 m 0 且 0 消掉 即得 m n 2 2 1 2 2 n 故 m n 1 m 4 n 1 2 1 m 4 n 5 4 1 2 5 n m 4m n 1 2 9 2 题型二 平面向量的数量积 例 2 1 已知向量 a 和 b 的夹角为 120 a 1 b 3 则 5a b 2 2012 上海 在矩形 ABCD 中 边 AB AD 的长分别为 2 1 若 M N 分别是边 BC CD 上的点 且满足 则 的取值范围是 BM BC CN CD AM AN 审题破题 1 利用公式 a 2 a a 直接计算 2 利用基向量法 把 都用 AM AN AB 表示 再求数量积 AD 答案 1 7 2 1 4 解析 1 5a b 2 5a b 2 25a2 10a b b2 25 12 10 1 3 32 49 1 2 所以 5a b 7 2 如图所示 设 BM BC CN CD 0 1 则 BM BC CN CD DN CN CD 1 CD AM AN AB BM AD DN 1 AB BC AD CD 1 AB CD BC AD 4 1 4 3 当 0 时 取得最大值 4 AM AN 当 1 时 取得最小值 1 AM AN 1 4 AM AN 反思归纳 向量的数量积计算有三种方法 1 利用向量数量积的定义 计算两个向量 的模及夹角 2 根据向量数量积的几何意义 明确向量投影的含义 3 建立坐标系写 出向量坐标 利用向量的坐标进行运算 变式训练 2 1 2012 天津 在 ABC 中 A 90 AB 1 AC 2 设点 P Q 满足 AP 1 R 若 2 则 AB AQ AC BQ CP 答案 2 3 解析 由题意知 1 BQ AQ AB AC AB 且 0 CP AP AC AB AC AB AC 故 1 2 2 BQ CP AC AB 4 1 3 4 2 即 2 3 2 2013 山东 已知向量与的夹角为 120 且 3 2 若 AB AC AB AC A 且 则实数 的值为 P AB AC AP BC 答案 7 12 解析 由 知 0 即 AP BC AP BC AP BC AB AC AC AB 1 A 2 2 1 3 2 9 4 0 解得 AB AC B AC 1 2 7 12 题型三 平面向量与三角函数的综合 例 3 已知向量 a cos sin b cos x sin x c sin x 2sin cos x 2cos 其中 0 x 1 若 求函数 f x b c 的最小值及相应 x 的值 4 2 若 a 与 b 的夹角为 且 a c 求 tan 2 的值 3 审题破题 求解本题的关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件 将其转化为三 角函数中的有关问题 1 应用向量的数量积公式可得 f x 的三角函数式 然后利用换 元法将三角函数式转化为二次函数式 由此可解得函数的最小值及对应的 x 值 注意 利用换元法令 t sin x cos x 时 要确定 t 的取值范围 2 由夹角公式及 a c 可得关 于角 的三角函数等式 通过三角恒等变换可得结果 解 1 b cos x sin x c sin x 2sin cos x 2cos 4 f x b c cos xsin x 2cos xsin sin xcos x 2sin x cos 2sin xcos x sin x cos x 2 令 t sin x cos x 则 2sin xcos x t2 1 4 x 且 1 t 2 则 y t2 t 1 2 1 t 2 t 2 2 3 22 当 t 时 ymin 此时 sin x cos x 2 2 3 2 2 2 即sin x 2 x 4 2 2 4 x x x 2 4 5 4 4 7 6 11 12 函数 f x 的最小值为 相应 x 的值为 3 2 11 12 2 a 与 b 的夹角为 3 cos cos cos x sin sin x cos x 3 a b a b 0 x 0 x x 3 a c cos sin x 2sin sin cos x 2cos 0 sin x 2sin 2 0 即 sin 2sin 2 0 2 3 sin 2 cos 2 0 tan 2 5 2 3 2 3 5 反思归纳 在平面向量与三角函数的综合问题中 一方面用平面向量的语言表述三角 函数中的问题 如利用向量平行 垂直的条件表述三角函数式之间的关系 利用向量 模表述三角函数之间的关系等 另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问 题 在解决此类问题的过程中 只要根据题目的具体要求 在向量和三角函数之间建 立起联系 就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题 变式训练 3 2013 辽宁 设向量 a sin x sin x b cos x sin x x 3 0 2 1 若 a b 求 x 的值 2 设函数 f x a b 求 f x 的最大值 解 1 由 a 2 sin x 2 sin2x 4sin2x 3 b 2 cos2x sin2x 1 及 a b 得 4sin2 x 1 又 x 从而 sin x 所以 x 0 2 1 2 6 2 f x a b sin x cos x sin2x 3 sin 2x cos 2x 3 2 1 2 1 2 sin 2x 6 1 2 当 x 时 sin取最大值 1 3 0 2 2x 6 所以 f x 的最大值为 3 2 小题冲关 1 ABC 的外接圆的圆心为 O 半径为 2 0 且 则向量在 OA AB AC OA AB CA 上的投影的长度为 CB A B 3 C D 3 33 答案 A 解析 由 0 OA AB AC 得 AB AC AO 又 O 为 ABC 外接圆的圆心 OB OC 四边形 ABOC 为菱形 AO BC 由 2 知 AOC 为等边三角形 OA AB 故在上的投影的长度为 2cos CA CB CF 63 2 如图 ABC 中 C 90 且 AC BC 3 点 M 满足 2 则 BM MA CM CB A 2 B 3 C 4 D 6 答案 B 解析 2 2 2 3 CM CB CB BM CB CB CB 2 3BA CB 2 3CB CA CB 1 3CB 3 2013 浙江 设 ABC P0是边 AB 上一定点 满足 P0B AB 且对于边 AB 上任一点 1 4 P 恒有 则 PB PC P0B P0C A ABC 90 B BAC 90 C AB AC D AC BC 答案 D 解析 设 BC 中点为 M 则 2 2 2 2 PB PC PB PC 2 PB PC 2 PM 1 4CB 同理 2 2 P0B P0C P0M 1 4CB 恒成立 PB PC P0B P0C 恒成立 PM P0M 即 P0M AB 取 AB 的中点 N 又 P0B AB 1 4 则 CN AB AC BC 故选 D 4 已知向量 a b 夹角为 45 且 a 1 2a b 则 b 10 答案 3 2 解析 a b 的夹角为 45 a 1 a b a b cos 45 b 2 2 2a b 2 4 4 b b 2 10 b 3 2 22 5 2013 课标全国 已知两个单位向量 a b 的夹角为 60 c ta 1