5.3 刚体定轴转动定律

1 5 3刚体定轴转动定律 2 力臂 刚体绕Oz轴旋转 力作用在刚体上点P 且在转动平面内 为由点O到力的作用点P的径矢 对转轴Z的力矩 补充的内容 对转轴的力矩 3 2 合力矩等于各分力矩的矢量和 其中对转轴的力矩为零 故对转轴的力矩 讨论 注意 合力矩与合力的矩是不同的概念 不要混淆 4 3 刚体内 作用力和反作用力的力矩互相抵消 O 在计算力对轴的矩时 可用正负号来表示力矩的方向 力矩的计算 计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的办法 将每一小段的力视为恒力 再按照恒力矩的计算方法进行计算 最后求和 5 例 一匀质细杆 长为l质量为m 在摩擦系数为 的水平桌面上转动 求 摩擦力的力矩M阻 解 细杆的质量密度 质元质量 质元受阻力矩 细杆受的阻力矩 杆上各质元均受摩擦力作用 但各质元受的摩擦阻力矩不同 靠近轴的质元受阻力矩小 远离轴的质元受阻力矩大 6 例 如图一圆盘面密度为 半径为R 与桌面的摩擦系数为 求 圆盘绕过圆心且和盘面垂直的轴转动时 圆盘所受的摩擦力矩 O 解 取一小环为面元 r dr 若圆盘以 0的初角速度转动 圆盘转多少圈静止 问题 7 一 刚体定轴转动的角动量 刚体上任一质元在垂直于z轴的平面内作圆周运动 刚体对固定轴的角动量为 对z轴的角动量沿z轴正向 大小为 刚体对z轴的转动惯量 所有质元的动量矩之和 8 刚体对z轴的角动量为 即 刚体绕定轴转动时 对转轴的角动量 等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积 强调 对于刚体的定轴转动 我们用角动量来描述 而不用动量来描述 刚体对z轴的转动惯量 9 对确定的刚体 给定的转轴 转动惯量是一常数 刚体对固定轴的转动惯量 等于各质元质量与其到转轴的垂直距离的平方的乘积之和 物理意义 是刚体转动惯性的量度 刚体的转动惯量的大小 1 与刚体的总质量 形状 大小有关 2 与质量对轴的分布有关 3 与轴的位置有关 二 刚体定轴转动的转动惯量 MomentofInertia 质量不连续分布 质量连续分布 定义式 10 质量离散分布刚体的转动惯量 转动惯性的计算方法 质量线密度 质量面密度 质量体密度 11 若连接两小球 视为质点 的轻细硬杆的质量可以忽略 则 12 通过o点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为JO 1 正三角形的各顶点处有一质点m 用质量不计的细杆连接 系统对通过质心C且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为 3 ml2 2ml2 ml2 3m r2 2ml2 例 质量离散分布刚体 J miri2 ml2 13 例 半径为R质量为M的圆环 绕垂直于圆环平面的质心轴转动 求 转动惯量J 解 分割质量元dm 各质量元到轴的距离相等 绕圆环质心轴的转动惯量 相当于质量为m的质点对轴的转动惯量 与质量在环上的分布无关 14 解 设圆盘面密度为 在盘上取半径为 宽为的圆环 圆环质量 所以 圆环对轴的转动惯量 转动惯量与质量对轴的分布有关 例 一质量为 半径为的均匀圆盘 求 通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量 O m dm 圆盘的转动惯量为 15 解 设棒的线密度为 取一距离转轴OO 为处的质量元 例 一质量为 长为的均匀细长棒 求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 如转轴过端点垂直于棒 转动惯量与轴的位置有关 16 转动惯量的计算方法 1 直接由定义求 2 复杂形状的刚体 可以先求出简单形体的 再相加 3 平行轴定理 转动惯量的大小取决于刚体的质量 形状 大小 质量分布及转轴的位置 17 质量为的刚体 如果对其质心轴的转动惯量为 则对任一与该轴平行 相距为的转轴的转动惯量为 圆盘对P轴的转动惯量为 平行轴定理 18 例 长为l 质量为m的匀质细杆 绕细杆一端轴转动 利用平行轴定理 求 转动惯量 解 绕细杆质心的转动惯量为 绕杆的一端转动惯量为 刚体绕质心轴的转动惯量最小 19 例 如图所示 求 刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量 棒长为L 圆半径为R 20 例 半经为R 质量为m的均匀圆环 求 对于沿直径转轴的转动惯量 解 圆环的质量密度为 在环上取质量元dm dm距转轴为r 21 根据对称性有 由垂直轴定理 另解 对过环心并与环垂直的转轴的转动惯量 22 例 一长为a 宽为b的匀质矩形薄平板 质量为m 求 1 对通过平板中心并与长边平行的轴的转动惯量 2 对与平板一条长边重合的轴的转动惯量 解 垂直向上为y轴 板的质量面密度为 在板上取长为a 宽为dy的小面元 23 或由平行轴定理 转轴与长边重合 24 牛顿第二定律指出 力使质点产生加速度 事实表明 要改变一个物体的转动状态 使之产生角加速度 光有力的作用是不够的 必须有力矩的作用 比如 门绕轴的转动 对刚体动力学规律的研究可以比照质点的方式进行 只要把线量换成相应的角量就行了 刚体定轴转动中的角加速度是怎样产生的呢 力矩 反映力的大小 方向 作用点对物体转动的影响 三 刚体定轴转动定律 TheoremofRotation 25 转动定律的推导 取刚体内任一质元 mi 它所受合外力为 内力为 只考虑合外力与内力均在转动平面内的情形 对 mi用牛顿第二定律 法向力作用线通过转轴 力矩为零 两边乘以ri 求和 切线方向 26 用M表示合外力矩 有 转动定律 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 与刚体的转动惯量成反比 说明 2 M J 是对同一轴而言的 3 具有瞬时性 是力矩的瞬时效应 1 是矢量式 在定轴转动中力矩只有两个方向 4 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当 合外力矩 内力矩的和 为零 27 转动定律的应用题目类型 1 已知 转动惯量和力矩 求 角加速度 2 已知 转动惯量和角加速度 求 力矩 3 已知 力矩和角加速度 求 转动惯量 解题步骤 1 确定研究对象 采用隔离法 2 分析受力情况 画出受力图 找出力矩 3 选取适当的参考系与坐标系 使运算简化 4 列运动方程 5 解方程 进行必要的讨论 28 1 力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的 2 可先设定转轴的正方向 以便确定已知力矩或角加速度 角速度的正负 3 系统中既有转动物体又有平动物体时 则 对转动物体按转动定律列方程 对平动物体按牛顿定律列方程 应用转动定律解题时 应该注意以下几点 29 例 滑轮半径为r 设绳与滑轮间无相对滑动 求 1 当m2与桌面间的摩擦系数为 时 物体的加速度a及张力T1与T2各为多少 2 若桌面光滑 再求以上各量 解 力和力矩分析 按隔离法 建坐标 对质点用牛顿定律 对刚体用转动定律 限制性条件 30 解得 31 例 一长为质量为匀质细杆竖直放置 其下端与一固定铰链O相接 并可绕其转动 由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态 当其受到微小扰动时 细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动 试计算 细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度 解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用 由转动定律得 32 式中 得 由角加速度的定义 33 例 物体m1 m2 定滑轮 R m 轮轴无摩擦 绳子质量忽略 不伸长 不打滑 求 重物的加速度及绳中张力 解 转动 平动 线 角 34 35 如果考虑轴上摩擦力矩 Mf不为0 时 转动式为 36 若不计轴上摩擦 不计滑轮质量 Mf 0 m 0 有 37 例 一轻绳绕在半径r 20cm的飞轮边缘 在绳端施以F 98N的拉力 飞轮的转动惯量J 0 5kg m2 飞轮与转轴间的摩擦不计 求 1 飞轮的角加速度 2 如以重量P 98N的物体挂在绳端 试计算飞轮的角加速度 解 1 两者区别 38 2 例 一轻绳绕在半径r 20cm的飞轮边缘 在绳端施以F 98N的拉力 飞轮的转动惯量J 0 5kg m2 飞轮与转轴间的摩擦不计 求 1 飞轮的角加速度 2 如以重量P 98N的物体挂在绳端 试计算飞轮的角加速度 39 例 在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳 各挂质量为m1 m2的物体 如滑轮与轴间的摩擦不计 滑轮的转动惯量为J 求 滑轮的角加速度 及各绳中的张力T1 T2 40 例 在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳 各挂质量为m1 m2的物体 如滑轮与轴间的摩擦不计 滑轮的转动惯量为J 求 滑轮的角加速度 及各绳中的张力T1 T2 解 设m1向下运动 41 联立解得 42 讨论 A 当时 物体运动方向与所设相同 反之则相反 B 当时 即滑轮静止或匀速转动 C 当时 则为定滑轮的情况 43 例 圆