2013-2019年高考-理数真题（全国卷）
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2013-2019年高考-理数真题（全国卷）,2013,2019,年高,理数真题,全国卷
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关注公众号： 麦田笔墨 获取更多干货第 1页（共 9页）2013 年全国统一高考数学试卷（理科年全国统一高考数学试卷（理科） （大纲版）（大纲版）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求的的.1 （5 分）设集合 A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，则 M 中元素的个数为（）A3B4C5D62 （5 分）=（）A8B8C8iD8i3 （5 分）已知向量 =（+1，1） ， =（+2，2） ，若（ + ）（ ） ，则=（）A4B3C2D14 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为（1，0） ，则函数 f（2x+1）的定义域为（）A （1，1）BC （1，0）D5 （5 分）函数 f（x）=log2（1+） （x0）的反函数 f1（x）=（）ABC2x1（xR）D2x1（x0）6 （5 分）已知数列an满足 3an+1+an=0，a2=，则an的前 10 项和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）7 （5 分） （1+x）3（1+y）4的展开式中 x2y2的系数是（）A5B8C12D188 （5 分） 椭圆 C：的左、 右顶点分别为 A1、 A2， 点 P 在 C 上且直线 PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1斜率的取值范围是（）ABCD9 （5 分）若函数 f（x）=x2+ax+是增函数，则 a 的取值范围是（）A1，0B1，+）C0，3D3，+）10（5 分） 已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， AA1=2AB， 则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于 （）ABCD11 （5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（2，2） ，过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若，则 k=（）ABCD212 （5 分）已知函数 f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）Ay=f（x）的图象关于（，0）中心对称BCDf（x）既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13 （5 分）已知是第三象限角，sin=，则 cot=14 （5 分）6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种 （用数字作答）15 （5 分）记不等式组所表示的平面区域为 D若直线 y=a（x+1）与 D 有公共点，则 a 的取值范围是16 （ 5 分 ） 已 知 圆 O 和 圆 K 是 球 O 的 大 圆 和 小 圆 ， 其 公 共 弦 长 等 于 球 O 的 半 径 ，则球 O 的表面积等于三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （10 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn已知 S3=a22，且 S1，S2，S4成等比数列，求an的通项式18 （12 分）设ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为 a，b，c，满足（a+b+c） （ab+c）=ac（）求 B（）若 sinAsinC=，求 C关注公众号： 麦田笔墨 获取更多干货第 2页（共 9页）19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABC=BAD=90，BC=2AD，PAB 与PAD 都是等边三角形（）证明：PBCD；（）求二面角 APDC 的大小20 （12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第 1 局甲当裁判（）求第 4 局甲当裁判的概率；（）X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望21 （12 分）已知双曲线 C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3，直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为（I）求 a，b；（II）设过 F2的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A、B 两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列22 （12 分）已知函数（I）若 x0 时，f（x）0，求的最小值；（II）设数列an的通项 an=1+关注公众号： 麦田笔墨 获取更多干货第 3页（共 9页）2013 年全国统一高考数学试卷（理科年全国统一高考数学试卷（理科） （大纲版）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求的的.1 【考点】集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值菁优网版 权所有【分析】利用已知条件，直接求出 a+b，利用集合元素互异求出 M 中元素的个数即可【解答】解：因为集合 A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，所以 a+b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以 M 中元素只有：5，6，7，8共 4 个故选：故选：B【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力2【考点】复数的运算菁优网版 权所有【分析】复数分子、分母同乘8，利用 1 的立方虚根的性质（） ，化简即可【解答】解：故选：故选：A【点评】复数代数形式的运算，是基础题3 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版 权所有【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：，=（2+3，3） ，=0，（2+3）3=0，解得=3故选：故选：B【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键4 【考点】函数的定义域及其求法菁优网版权所有【分析】原函数的定义域，即为 2x+1 的范围，解不等式组即可得解【解答】解：原函数的定义域为（1，0） ，12x+10，解得1x则函数 f（2x+1）的定义域为故选：故选：B【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题5 【考点】反函数菁优网版权所有【分析】把 y 看作常数，求出 x：x=，x，y 互换，得到 y=log2（1+）的反函数注意反函数的定义域【解答】解：设 y=log2（1+） ，把 y 看作常数，求出 x：1+=2y，x=，其中 y0，x，y 互换，得到 y=log2（1+）的反函数：y=，故选：故选：A【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化6 【考点】等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【分析】由已知可知，数列an是以为公比的等比数列，结合已知可求 a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：3an+1+an=0关注公众号： 麦田笔墨 获取更多干货第 4页（共 9页）数列an是以为公比的等比数列a1=4由等比数列的求和公式可得，S10=3（1310）故选：故选：C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7 【考点】二项式定理菁优网版 权所有【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令 x 的指数为 2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式 y2的系数，即可得到结果【解答】解： （x+1）3的展开式的通项为 Tr+1=C3rxr令 r=2 得到展开式中 x2的系数是 C32=3，（1+y）4的展开式的通项为 Tr+1=C4ryr令 r=2 得到展开式中 y2的系数是 C42=6，（1+x）3（1+y）4的展开式中 x2y2的系数是：36=18，故选：故选：D【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的8 【考点】直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合菁优网版 权所有【分析】由椭圆 C：可知其左顶点 A1（2，0） ，右顶点 A2（2，0） 设 P（x0，y0） （x02） ，代入椭圆方程可得利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出【解答】解：由椭圆 C：可知其左顶点 A1（2，0） ，右顶点 A2（2，0） 设 P（x0，y0） （x02） ，则，得=，=，=，解得故选：故选：B【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键9 【考点】利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【分析】由函数在（，+）上是增函数，可得0 在（，+）上恒成立，进而可转化为 a2x 在（，+）上恒成立，构造函数求出2x 在（，+）上的最值，可得 a 的取值范围【解答】解：在（，+）上是增函数，故0 在（，+）上恒成立，即 a2x 在（，+）上恒成立，令 h（x）=2x，则 h（x）=2，当 x（，+）时，h（x）0，则 h（x）为减函数h（x）h（）=3a3故选：故选：D【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档关注公众号： 麦田笔墨 获取更多干货第 5页（共 9页）10 【考点】直线与平面所成的角菁优网版 权所有【分析】设 AB=1，则 AA1=2，分别以的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设 =（x，y，z）为平面 BDC1的一个法向量，CD 与平面 BDC1所成角为，则 sin=|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可【解答】解：设 AB=1，则 AA1=2，分别以的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则 D（0，0，2） ，C1（1，0，0） ，B（1，1，2） ，C（1，0，2） ，=（1，1，0） ，=（1，0，2） ，=（1，0，0） ，设 =（x，y，z）为平面 BDC1的一个法向量，则，即，取 =（2，2，1） ，设 CD 与平面 BDC1所成角为，则 sin=|=，故选：故选：A【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键11 【考点】平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质菁优网版 权所有【分析】 斜率 k 存在， 设直线 AB 为 y=k （x2） ， 代入抛物线方程， 利用= （x1+2， y12） （x2+2，y22）=0，即可求出 k 的值【解答】解：由抛物线 C：y2=8x 得焦点（2，0） ，由题意可知：斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x2） ，代入抛物线方程，得到 k2x2（4k2+8）x+4k2=0，0，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） x1+x2=4+，x1x2=4y1+y2=，y1y2=16，又=0，=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=0k=2故选：故选：D【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题12 【考点】三角函数的周期性；三角函数的最值菁优网版权所有【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对 A、B 两项加以验证，可得它们都正确根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得 f（x）=2sinx（1sin2x） ，再换元： 令 t=sinx， 得到关于 t 的三次函数， 利用导数研究此函数的单调性可得 f （x） 的最大值为，故 C 不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得 D 项正确由此可得本题的答案【解答】解：对于 A，因为 f（+x）=cos（+x）sin（2+2x）=cosxsin2x，f（x）=cos（x）sin（22x）=cosxsin2x，所以 f（+x）+f（x）=0，可得 y=f（x）的图象关于（，0）中心对称，故 A 正确；对于 B，因为 f（+x）=cos（+x）sin（+2x）=sinx（sin2x）=sinxsin2x，f（x）=cos（x）sin（2x）=sinxsin2x，所以 f（+x）=f（x） ，可得 y=f（x）的图象关于直线 x=对称，故 B 正确；对于 C，化简得 f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1sin2x） ，令 t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1t2） ，1t1，g（t）=2t（1t2）的导数 g（t）=26t2=2（1+t） （1t）当 t（1，）时或 t（，1）时 g（t）0，函数 g（t）为减函数；关注公众号： 麦田笔墨 获取更多干货第 6页（共 9页）当 t（，）时 g（t）0，函数 g（t）为增函数因此函数 g（t）的最大值为 t=1 时或 t=时的函数值，结合 g（1）=0g（）=，可得 g（t）的最大值为由此可得 f（x）的最大值为而不是，故 C 不正确；对于 D，因为 f（x）=cos（x）sin（2x）=cosxsin2x=f（x） ，所以 f（x）是奇函数因为 f（2+x）=cos（2+x）sin（4+2x）=cosxsin2x=f（x） ，所以 2为函数的一个周期，得 f（x）为周期函数可得 f（x）既是奇函数，又是周期函数，得 D 正确综上所述，只有 C 项不正确故选：故选：C【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.132【考点】同角三角函数间的基本关系菁优网版 权所有【分析】根据是第三象限的角，得到 cos小于 0，然后由 sin的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 cos的值，进而求出 cot的值【解答】解：由是第三象限的角，得到 cos0，又 sin=，所以 cos=则 cot=2故答案为：2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题学生做题时注意的范围14480【考点】排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【分析】排列好甲、乙两人外的 4 人，然后把甲、乙两人插入 4 个人的 5 个空位中即可【解答】解：6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的 4 人，有中方法，然后把甲、乙两人插入 4 个人的 5 个空位，有种方法，所以共有：=480故答案为：480【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题15，4【考点】简单线性规划菁优网版权所有【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入 y=a（x+1）中，求出 y=a（x+1）对应的 a 的端点值即可【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为 y=a（x+1）过定点（1，0） 所以当 y=a（x+1）过点 B（0，4）时，得到 a=4，当 y=a（x+1）过点 A（1，1）时，对应 a=又因为直线 y=a（x+1）与平面区域 D 有公共点所以a4故答案为：，4关注公众号： 麦田笔墨 获取更多干货第 7页（共 9页）【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解1616【考点】球的体积和表面积菁优网版 权所有【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论【解答】解：如图所示，设球 O 的半径为 r，AB 是公共弦，OCK 是面面角根据题意得 OC=，CK=在OCK 中，OC2=OK2+CK2，即r2=4球 O 的表面积等于 4r2=16故答案为 16【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 【解答】解：设数列的公差为 d由得，3a2=0 或 a2=3由题意可得，若 a2=0，则可得 d2=2d2即 d=0 不符合题意若 a2=3，则可得（6d）2=（3d） （12+2d）解可得 d=0 或 d=2an=3 或 an=2n1【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题18 【解答】解： （I）（a+b+c） （ab+c）=（a+c）2b2=ac，a2+c2b2=ac，cosB=，又 B 为三角形的内角，则 B=120；（II）由（I）得：A+C=60，sinAsinC=，cos（A+C）=，cos （AC） =cosAcosC+sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC=cos （A+C） +2sinAsinC=+2=，AC=30或 AC=30，则 C=15或 C=45【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键19 【解答】解： （I）取 BC 的中点 E，连接 DE，可得四边形 ABED 是正方形过点 P 作 PO平面 ABCD，垂足为 O，连接 OA、OB、OD、OEPAB 与PAD 都是等边三角形，PA=PB=PD，可得 OA=OB=OD因此，O 是正方形 ABED 的对角线的交点，可得 OEOBPO平面 ABCD，得直线 OB 是直线 PB 在内的射影，OEPB关注公众号： 麦田笔墨 获取更多干货第 8页（共 9页）BCD 中，E、O 分别为 BC、BD 的中点，OECD，可得 PBCD；（II）由（I）知 CDPO，CDPBPO、PB 是平面 PBD 内的相交直线，CD平面 PBDPD平面 PBD，CDPD取 PD 的中点 F，PC 的中点 G，连接 FG，则 FG 为PCD 有中位线，FGCD，可得 FGPD连接 AF，由PAD 是等边三角形可得 AFPD，AFG 为二面角 APDC 的平面角连接 AG、EG，则 EGPBPBOE，EGOE，设 AB=2，则 AE=2，EG=PB=1，故 AG=3在AFG 中，FG=CD=，AF=，AG=3cosAFG=，得AFG=arccos，即二面角 APDC 的平面角大小是arccos【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题20 【解答】解： （I）令 A1表示第 2 局结果为甲获胜A2表示第 3 局甲参加比赛时，结果为甲负A表示第 4 局甲当裁判则 A=A1A2，P（A）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=；（）X 的所有可能值为 0，1，2令 A3表示第 3 局乙和丙比赛时，结果为乙胜B1表示第 1 局结果为乙获胜， B2表示第 2 局乙和甲比赛时， 结果为乙胜， B3表示第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负，则 P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（）=P（X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=P（X=1）=1P（X=0）P（X=2）=从而 EX=0+1+2=【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力21 【解答】解： （I）由题设知=3，即=9，故 b2=8a2所以 C 的方程为 8x2y2=8a2将 y=2 代入上式，并求得 x=，由题设知，2=，解得 a2=1所以 a=1，b=2（II）由（I）知，F1（3，0） ，F2（3，0） ，C 的方程为 8x2y2=8由题意，可设 l 的方程为 y=k（x3） ，|k|2代入并化简得（k28）x26k2x+9k2+8=0设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x11，x21，x1+x2=，于是|AF1|=（3x1+1） ，|BF1|=3x2+1，|AF1|=|BF1|得（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=由于|AF2|=13x1，|BF2|=3x21，故|AB|=|AF2|BF2|=23（x1+x2）=4，|AF2|BF2|=3（x1+x2）9x1x21=16因而|AF2|BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解关注公众号： 麦田笔墨 获取更多干货第 9页（共 9页）答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴22 【解答】解： （I）由已知，f（0）=0，f（x）=，f（0）=0欲使 x0 时，f（x）0 恒成立，则 f（x）在（0，+）上必为减函数，即在（0，+）上 f（x）0 恒成立，当0 时，f（x）0 在（0，+）上恒成立，为增函数，故不合题意，若 0时，由 f（x）0 解得 x，则当 0x，f（x）0，所以当 0x时，f（x）0，此时不合题意，若，则当 x0 时，f（x）0 恒成立，此时 f（x）在（0，+）上必为减函数，所以当 x0 时，f（x）0恒成立，综上，符合题意的的取值范围是，即的最小值为（ II）令=，由（I）知，当 x0 时，f（x）0，即取 x=，则于是 a2nan+=+=ln2nlnn=ln2所以【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 1页（共 12页）2013 年全国统一高考数学试卷（理科年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标（新课标）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的求的.1 （5 分）已知集合 A=x|x22x0，B=x|x，则（）AAB=BAB=RCBADAB2 （5 分）若复数 z 满足（34i）z=|4+3i|，则 z 的虚部为（）A4BC4D3 （5 分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A简单的随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样D系统抽样4 （5 分）已知双曲线 C：（a0，b0）的离心率为，则 C 的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=xDy=5 （5 分）执行程序框图，如果输入的 t1，3，则输出的 s 属于（）A3，4B5，2C4，3D2，56 （5 分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）ABCD7 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则 m=（）A3B4C5D68 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16+8B8+8C16+16D8+169 （5 分）设 m 为正整数， （x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为 a， （x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a=7b，则 m=（）A5B6C7D810 （5 分）已知椭圆 E：的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、B两点若 AB 的中点坐标为（1，1） ，则 E 的方程为（）ABCD关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 2页（共 12页）11 （5 分）已知函数 f（x）=，若|f（x）|ax，则 a 的取值范围是（）A （，0B （，1C2，1D2，012（5 分） 设AnBnCn的三边长分别为 an， bn， cn， AnBnCn的面积为 Sn， n=1， 2， 3若 b1c1， b1+c1=2a1，an+1=an，则（）ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 60， =t +（1t） 若 =0，则 t=14 （5 分）若数列an的前 n 项和为 Sn=an+，则数列an的通项公式是 an=15 （5 分）设当 x=时，函数 f（x）=sinx2cosx 取得最大值，则 cos=16 （5 分） 若函数 f （x） = （1x2） （x2+ax+b） 的图象关于直线 x=2 对称， 则 f （x） 的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）如图，在ABC 中，ABC=90，AB=，BC=1，P 为ABC 内一点，BPC=90（1）若 PB=，求 PA；（2）若APB=150，求 tanPBA18 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明 ABA1C；（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值19 （12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 3页（共 12页）（）求这批产品通过检验的概率；（）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望20 （12 分）已知圆 M： （x+1）2+y2=1，圆 N： （x1）2+y2=9，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C（）求 C 的方程；（） l 是与圆 P， 圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A， B 两点， 当圆 P 的半径最长时， 求|AB|21 （12 分）已知函数 f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d） ，若曲线 y=f（x）和曲线 y=g（x）都过点 P（0，2） ，且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2（）求 a，b，c，d 的值；（）若 x2 时，f（x）kg（x） ，求 k 的取值范围四四、请考生在第请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答题中任选一道作答，并用并用 2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分题进行评分.22 （10 分） （选修 41：几何证明选讲）如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE交圆于 D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为 1，BC=，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径23已知曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为=2sin（1）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求 C1与 C2交点的极坐标（0，02） 关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 4页（共 12页）24已知函数 f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（）设 a1，且当 x，时，f（x）g（x） ，求 a 的取值范围关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 5页（共 12页）2013 年全国统一高考数学试卷（理科年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的求的.1 【考点】并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用菁优网版 权所有【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合 A，再根据的定义求出 AB 和 AB【解答】解：集合 A=x|x22x0=x|x2 或 x0，AB=x|2x或x0，AB=R，故选：故选：B【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题2 【考点】复数的运算菁优网版 权所有【分析】由题意可得 z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得 z 的虚部【解答】解：复数 z 满足（34i）z=|4+3i|，z=+i，故 z 的虚部等于，故选：故选：D【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题3 【考点】分层抽样方法菁优网版 权所有【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理故选：故选：C【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题4 【考点】双曲线的性质菁优网版权所有【分析】由离心率和 abc 的关系可得 b2=4a2，而渐近线方程为 y=x，代入可得答案【解答】解：由双曲线 C：（a0，b0） ，则离心率 e=，即 4b2=a2，故渐近线方程为 y=x=x，故选：故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题5 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图菁优网版权所有【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为 t1 我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式【解答】解：由判断框中的条件为 t1，可得：函数分为两段，即 t1 与 t1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即 t1 时，函数的解析式为：s=4tt2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的 t1，3，画出此分段函数在 t1，3时的图象，则输出的 s 属于3，4故选：故选：A关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 6页（共 12页）【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；根据判断框中的条件，设置分类标准；根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式6 【考点】球的体积和表面积菁优网版 权所有【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆 M，可得圆心 M 为正方体上底面正方形的中心设球的半径为 R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R2）cm，而圆 M 的半径为 4，由球的截面圆性质建立关于 R 的方程并解出 R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆 M，则圆心 M 为正方体上底面正方形的中心如图设球的半径为 R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R2）cm，而圆 M 的半径为 4，由球的截面圆性质，得 R2=（R2）2+42，解出 R=5，根据球的体积公式，该球的体积 V=故选：故选：A【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题7 【考点】等差数列的性质；85：等差数列的前 n 项和菁优网版权所有【分析】由 an与 Sn的关系可求得 am+1与 am，进而得到公差 d，由前 n 项和公式及 Sm=0 可求得 a1，再由通项公式及 am=2 可得 m 值【解答】解：am=SmSm1=2，am+1=Sm+1Sm=3，所以公差 d=am+1am=1，Sm=0，m10，m1，因此 m 不能为 0，得 a1=2，所以 am=2+（m1）1=2，解得 m=5，另解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，即有数列成等差数列，则，成等差数列，可得 2=+，即有 0=+，解得 m=5又一解：由等差数列的求和公式可得（m1） （a1+am1）=2，m（a1+am）=0，（m+1） （a1+am+1）=3，可得 a1=am，2am+am+1+am+1=+=0，解得 m=5故选：故选：C关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 7页（共 12页）【点评】本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式及通项 an与 Sn的关系，考查学生的计算能力8 【考点】由三视图求面积、体积菁优网版 权所有【分析】 三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据， 得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为 2，母线长为 4长方体的体积=422=16，半个圆柱的体积=224=8所以这个几何体的体积是 16+8；故选：故选：A【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9 【考点】二项式定理菁优网版 权所有【分析】根据二项式系数的性质求得 a 和 b，再利用组合数的计算公式，解方程 13a=7b 求得 m 的值【解答】解：m 为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为 a，以及二项式系数的性质可得 a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b，可得 b=再由 13a=7b，可得 13=7，即 13=7，即 13=7，即 13（m+1）=7（2m+1） ，解得 m=6，故选：故选：B【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题10 【考点】椭圆的标准方程菁优网版权所有【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得 x1+x2=2，y1+y2=2，利用斜率计算公式可得=于是得到，化为 a2=2b2，再利用 c=3=，即可解得 a2，b2进而得到椭圆的方程【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，代入椭圆方程得，相减得，x1+x2=2，y1+y2=2，=，化为 a2=2b2，又 c=3=，解得 a2=18，b2=9椭圆 E 的方程为故选：故选：D【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键11 【考点】其他不等式的解法菁优网版权所有关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 8页（共 12页）【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数 y=|f（x）|的图象，和函数 y=ax的图象，由导数求切线斜率可得 l 的斜率，进而数形结合可得 a 的范围【解答】解：由题意可作出函数 y=|f（x）|的图象，和函数 y=ax 的图象，由图象可知：函数 y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意，直线 l 为曲线的切线，且此时函数 y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为 y=x22x，求其导数可得 y=2x2，因为 x0，故 y2，故直线 l 的斜率为2，故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于2 与 0 之间即可，即 a2，0故选：故选：D【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题12 【考点】数列的函数特性；8H：数列递推式菁优网版 权所有【分析】由 an+1=an可知AnBnCn的边 BnCn为定值 a1，由 bn+1+cn+12a1=及 b1+c1=2a1得 bn+cn=2a1， 则在AnBnCn中边长 BnCn=a1为定值， 另两边 AnCn、 AnBn的长度之和 bn+cn=2a1为定值，由 此 可 知 顶 点 An在 以 Bn、 Cn为 焦 点 的 椭 圆 上 ， 根 据 bn+1 cn+1=， 得 bncn=，可知 n+时 bncn，据此可判断AnBnCn的边 BnCn的高 hn随着 n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案【解答】解：b1=2a1c1且 b1c1，2a1c1c1，a1c1，b1a1=2a1c1a1=a1c10，b1a1c1，又 b1c1a1，2a1c1c1a1，2c1a1，由题意，+an，bn+1+cn+12an=（bn+cn2an） ，bn+cn2an=0，bn+cn=2an=2a1，bn+cn=2a1，由此可知顶点 An在以 Bn、Cn为焦点的椭圆上，又由题意，bn+1cn+1=，=a1bn，bn+1a1=，bna1=，cn=2a1bn=，=单调递增（可证当 n=1 时0）故选：故选：B【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.132【考点】平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【分析】由于 =0，对式子 =t +（1t） 两边与 作数量积可得=0，经过化简即可得出【解答】解：，=0，tcos60+1t=0，1=0，解得 t=2故答案为 2【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键14 （2）n1【考点】等比数列的通项公式菁优网版权所有【分析】把 n=1 代入已知式子可得数列的首项，由 n2 时，an=SnSn1，可得数列为等比数列，且公关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 9页（共 12页）比为2，代入等比数列的通项公式分段可得答案【解答】解：当 n=1 时，a1=S1=，解得 a1=1当 n2 时，an=SnSn1=（）（）=，整理可得，即=2，故数列an从第二项开始是以2 为首项，2 为公比的等比数列，故当 n2 时，an=（2）n1，经验证当 n=1 时，上式也适合，故答案为： （2）n1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题15【考点】两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域菁优网版 权所有【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由 x=时，函数 f（x）取得最大值，得到 sin2cos=，与 sin2+cos2=1 联立即可求出 cos的值【解答】解：f（x）=sinx2cosx=（sinxcosx）=sin（x） （其中 cos=，sin=） ，x=时，函数 f（x）取得最大值，sin（）=1，即 sin2cos=，又 sin2+cos2=1，联立得（2cos+）2+cos2=1，解得 cos=故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键1616【考点】函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版 权所有【分析】由题意得 f（1）=f（3）=0 且 f（1）=f（5）=0，由此求出 a=8 且 b=15，由此可得 f（x）=x48x314x2+8x+15利用导数研究 f（x）的单调性，可得 f（x）在区间（，2） 、（2，2+）上是增函数，在区间（2，2） 、 （2+，+）上是减函数，结合 f（2）=f（2+）=16，即可得到 f（x）的最大值【解答】解：函数 f（x）=（1x2） （x2+ax+b）的图象关于直线 x=2 对称，f（1）=f（3）=0 且 f（1）=f（5）=0，即1（3）2（3）2+a（3）+b=0 且1（5）2（5）2+a（5）+b=0，解之得，因此，f（x）=（1x2） （x2+8x+15）=x48x314x2+8x+15，求导数，得 f（x）=4x324x228x+8，令 f（x）=0，得 x1=2，x2=2，x3=2+，当 x（，2）时，f（x）0；当 x（2，2）时，f（x）0；当 x（2，2+）时，f（x）0； 当 x（2+，+）时，f（x）0f（x）在区间（，2） 、 （2，2+）上是增函数，在区间（2，2） 、 （2+，+）上是减函数又f（2）=f（2+）=16，f（x）的最大值为 16故答案为：16【点评】本题给出多项式函数的图象关于 x=2 对称，求函数的最大值着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 【解答】解： （I）在 RtPBC 中，=，PBC=60，PBA=30在PBA 中，由余弦定理得 PA2=PB2+AB22PBABcos30=PA=（II）设PBA=，在 RtPBC 中，PB=BCcos（90）=sin在PBA 中，由正弦定理得，即，关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 10页（共 12页）化为【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键18 【解答】解： （）取 AB 的中点 O，连接 OC，OA1，A1B，因为 CA=CB，所以 OCAB，由于 AB=AA1，BAA1=60，所以AA1B 为等边三角形，所以 OA1AB，又因为 OCOA1=O，所以 AB平面 OA1C，又 A1C平面 OA1C，故 ABA1C；（）由（）知 OCAB，OA1AB，又平面 ABC平面 AA1B1B，交线为 AB，所以 OC平面 AA1B1B，故 OA，OA1，OC 两两垂直以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴的正向，|为单位长，建立如图所示的坐标系，可得 A（1，0，0） ，A1（0，0） ，C（0，0，） ，B（1，0，0） ，则=（1，0，） ，=（1，0） ，=（0，） ，设 =（x，y，z）为平面 BB1C1C 的法向量，则，即，可取 y=1，可得 =（，1，1） ，故 cos ，=，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为：【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题19 【解答】解： （）设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1，第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2，第二次取出的 4 件产品全是优质品为事件 B1，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2，这批产品通过检验为事件 A，依题意有 A=（A1B1）（A2B2） ，且 A1B1与 A2B2互斥，所以 P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）=（）X 可能的取值为 400，500，800，并且 P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1=，故 X 的分布列如下：X400500800P故 EX=400+500+800=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题20 【解答】解： （I）由圆 M： （x+1）2+y2=1，可知圆心 M（1，0） ；圆 N： （x1）2+y2=9，圆心 N（1，0） ，半径 3设动圆的半径为 R，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，|PM|+|PN|=R+1+（3R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，a=2，c=1，b2=a2c2=3曲线 C 的方程为（x2） （II）设曲线 C 上任意一点 P（x，y） ，由于|PM|PN|
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