2019年全国统一高考数学（文科）（新课标ⅲ）
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2019年全国统一高考数学（文科）（新课标ⅲ）,2019,全国,统一,高考,数学,文科,新课
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2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设集合A=0，2，4，6，8，10，B=4，8，则AB=（）A4，8B0，2，6C0，2，6，10D0，2，4，6，8，102（5分）若z=4+3i，则=（）A1B1C+iDi3（5分）已知向量=（，），=（，），则ABC=（）A30B45C60D1204（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15，B点表示四月的平均最低气温约为5，下面叙述不正确的是（）A各月的平均最低气温都在0以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于20的月份有5个5（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）ABCD6（5分）若tan=，则cos2=（）ABCD7（5分）已知a=，b=，c=，则（）AbacBabcCbcaDcab8（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A3B4C5D69（5分）在ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）ABCD10（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A18+36B54+18C90D8111（5分）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A4BC6D12（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（ab0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）ABCD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y5的最小值为 14（5分）函数y=sinxcosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移 个单位长度得到15（5分）已知直线l：xy+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点则|CD|= 16（5分）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ex1x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是 三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）已知各项都为正数的数列an满足a1=1，an2（2an+11）an2an+1=0（1）求a2，a3；（2）求an的通项公式18（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图注：年份代码17分别对应年份20082014（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，2.646参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=19（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点（）证明MN平面PAB；（）求四面体NBCM的体积20（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点（）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；（）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程21（12分）设函数f（x）=lnxx+1（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x（1，+）时，1x；（3）设c1，证明当x（0，1）时，1+（c1）xcx请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点（1）若PFB=2PCD，求PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OGCD选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（+）=2（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2xa|+a（1）当a=2时，求不等式f（x）6的解集；（2）设函数g（x）=|2x1|，当xR时，f（x）+g（x）3，求a的取值范围2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设集合A=0，2，4，6，8，10，B=4，8，则AB=（）A4，8B0，2，6C0，2，6，10D0，2，4，6，8，10【考点】1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合【分析】根据全集A求出B的补集即可【解答】解：集合A=0，2，4，6，8，10，B=4，8，则AB=0，2，6，10故选：C【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题2（5分）若z=4+3i，则=（）A1B1C+iDi【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可【解答】解：z=4+3i，则=i故选：D【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力3（5分）已知向量=（，），=（，），则ABC=（）A30B45C60D120【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cosABC的值，根据ABC的范围便可得出ABC的值【解答】解：，；又0ABC180；ABC=30故选：A【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角4（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15，B点表示四月的平均最低气温约为5，下面叙述不正确的是（）A各月的平均最低气温都在0以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于20的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可【解答】解：A由雷达图知各月的平均最低气温都在0以上，正确B七月的平均温差大约在10左右，一月的平均温差在5左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10，正确D平均最高气温高于20的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键5（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）ABCD【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4B：试验法；5I：概率与统计【分析】列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种其中只有一个是小敏的密码前两位由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是故选：C【点评】本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题6（5分）若tan=，则cos2=（）ABCD【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan的值代入计算即可求出值【解答】解：tan=，cos2=2cos21=1=1=故选：D【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键7（5分）已知a=，b=，c=，则（）AbacBabcCbcaDcab【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】b=，c=，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案【解答】解：a=，b=，c=，综上可得：bac，故选：A【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档8（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A3B4C5D6【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s16，退出循环，输出n的值为4【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s16，退出循环，输出n的值为4故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题9（5分）在ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）ABCD【考点】HT：三角形中的几何计算；HU：解三角形菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；58：解三角形【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA【解答】解：在ABC中，B=，BC边上的高等于BC，AB=BC，由余弦定理得：AC=BC，故BCBC=ABACsinA=BCBCsinA，sinA=，故选：D【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键10（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A18+36B54+18C90D81【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：36=18，侧面的面积为：（33+3）2=18+18，故棱柱的表面积为：182+18+18=54+18故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键11（5分）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A4BC6D【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何【分析】根据已知可得直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案【解答】解：ABBC，AB=6，BC=8，AC=10故三角形ABC的内切圆半径r=2，又由AA1=3，故直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键12（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（ab0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）ABCD【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值【解答】解：由题意可设F（c，0），A（a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=c，可得M（c，k（ac），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e=另解：由AMFAEO，可得=，由BOHBFM，可得=，即有=即a=3c，可得e=故选：A【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y5的最小值为10【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即A（1，1）化目标函数z=2x+3y5为由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2（1）+3（1）5=10故答案为：10【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14（5分）函数y=sinxcosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】39：运动思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质【分析】令f（x）=2sinx，则f（x）=2in（x），依题意可得2sin（x）=2sin（x），由=2k（kZ），可得答案【解答】解：y=sinxcosx=2sin（x），令f（x）=2sinx，则f（x）=2in（x）（0），依题意可得2sin（x）=2sin（x），故=2k（kZ），即=2k+（kZ），当k=0时，正数min=，故答案为：【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（x+）（A0，0）的图象，得到=2k（kZ）是关键，属于中档题15（5分）已知直线l：xy+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点则|CD|=4【考点】J8：直线与圆相交的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d=3，|AB|=2=2，直线l：xy+6=0直线l的倾斜角为30，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，|CD|=4故答案为：4【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础16（5分）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ex1x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y=2x【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；53：导数的综合应用【分析】由已知函数的奇偶性结合x0时的解析式求出x0时的解析式，求出导函数，得到f（1），然后代入直线方程的点斜式得答案【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ex1x，设x0，则x0，f（x）=f（x）=ex1+x，则f（x）=ex1+1，f（1）=e0+1=2曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y2=2（x1）即y=2x故答案为：y=2x【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）已知各项都为正数的数列an满足a1=1，an2（2an+11）an2an+1=0（1）求a2，a3；（2）求an的通项公式【考点】8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n=1可得a12（2a21）a12a2=0，将a1=1代入可得a2的值，进而令n=2可得a22（2a31）a22a3=0，将a2=代入计算可得a3的值，即可得答案；（2）根据题意，将an2（2an+11）an2an+1=0变形可得（an2an+1）（an+an+1）=0，进而分析可得an=2an+1或an=an+1，结合数列各项为正可得an=2an+1，结合等比数列的性质可得an是首项为a1=1，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，an2（2an+11）an2an+1=0，当n=1时，有a12（2a21）a12a2=0，而a1=1，则有1（2a21）2a2=0，解可得a2=，当n=2时，有a22（2a31）a22a3=0，又由a2=，解可得a3=，故a2=，a3=；（2）根据题意，an2（2an+11）an2an+1=0，变形可得（an2an+1）（an+1）=0，即有an=2an+1或an=1，又由数列an各项都为正数，则有an=2an+1，故数列an是首项为a1=1，公比为的等比数列，则an=1（）n1=（）n1，故an=（）n1【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到an与an+1的关系18（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图注：年份代码17分别对应年份20082014（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，2.646参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=【考点】BK：线性回归方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：r=0.993，0.9930.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）=0.103，=1.3310.10340.92，y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.109+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心19（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点（）证明MN平面PAB；（）求四面体NBCM的体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行菁优网版权所有【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】（）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN平面PAB（）取AC中点F，连结NF，NF是PAC的中位线，推导出NF面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体NBCM的体积【解答】证明：（）取BC中点E，连结EN，EM，N为PC的中点，NE是PBC的中位线NEPB，又ADBC，BEAD，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，BE=BC=AM=2，四边形ABEM是平行四边形，EMAB，平面NEM平面PAB，MN平面NEM，MN平面PAB解：（）取AC中点F，连结NF，NF是PAC的中位线，NFPA，NF=2，又PA面ABCD，NF面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，AMCG，四边形AGCM是平行四边形，AC=MG=3，又ME=3，EC=CG=2，MEG的高h=，SBCM=2，四面体NBCM的体积VNBCM=【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点（）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；（）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明PRA=PQF，即可证明ARFQ；（）利用PQF的面积是ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程【解答】（）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及APBQ，得AFP+BFQ=90，PFQ=90，R是PQ的中点，RF=RP=RQ，PARFAR，PAR=FAR，PRA=FRA，BQF+BFQ=180QBF=PAF=2PAR，FQB=PAR，PRA=PQF，ARFQ（）设A（x1，y1），B（x2，y2）， F（，0），准线为 x=， SPQF=|PQ|=|y1y2|，设直线AB与x轴交点为N，SABF=|FN|y1y2|，PQF的面积是ABF的面积的两倍，2|FN|=1，xN=1，即N（1，0）设AB中点为M（x，y），由得=2（x1x2），又=，=，即y2=x1AB中点轨迹方程为y2=x1【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题21（12分）设函数f（x）=lnxx+1（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x（1，+）时，1x；（3）设c1，证明当x（0，1）时，1+（c1）xcx【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【专题】35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得即证lnxx1xlnx运用（1）的单调性可得lnxx1，设F（x）=xlnxx+1，x1，求出单调性，即可得到x1xlnx成立；（3）设G（x）=1+（c1）xcx，求G（x）的二次导数，判断G（x）的单调性，进而证明原不等式【解答】解：（1）函数f（x）=lnxx+1的导数为f（x）=1，由f（x）0，可得0x1；由f（x）0，可得x1即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+）；（2）证明：当x（1，+）时，1x，即为lnxx1xlnx由（1）可得f（x）=lnxx+1在（1，+）递减，可得f（x）f（1）=0，即有lnxx1；设F（x）=xlnxx+1，x1，F（x）=1+lnx1=lnx，当x1时，F（x）0，可得F（x）递增，即有F（x）F（1）=0，即有xlnxx1，则原不等式成立；（3）证明：设G（x）=1+（c1）xcx，则需要证明：当x（0，1）时，G（x）0（c1）；G（x）=c1cxlnc，G（x）=（lnc）2cx0，G（x）在（0，1）单调递减，而G（0）=c1lnc，G（1）=c1clnc，由（1）中f（x）的单调性，可得G（0）=c1lnc0，由（2）可得G（1）=c1clnc=c（1lnc）10，t（0，1），使得G（t）=0，即x（0，t）时，G（x）0，x（t，1）时，G（x）0；即G（x）在（0，t）递增，在（t，1）递减；又因为：G（0）=G（1）=0，x（0，1）时G（x）0成立，不等式得证；即c1，当x（0，1）时，1+（c1）xcx【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点（1）若PFB=2PCD，求PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OGCD【考点】NC：与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明【分析】（1）连接PA，PB，BC，设PEB=1，PCB=2，ABC=3，PBA=4，PAB=5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证【解答】（1）解：连接PB，BC，设PEB=1，PCB=2，ABC=3，PBA=4，PAB=5，由O中的中点为P，可得4=5，在EBC中，1=2+3，又D=3+4，2=5，即有2=4，则D=1，则四点E，C，D，F共圆，可得EFD+PCD=180，由PFB=EFD=2PCD，即有3PCD=180，可得PCD=60；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OGCD【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（+）=2（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程菁优网版权所有【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=cos，y=sin，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线x+y4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标另外：设P（cos，sin），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2+sin2=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为sin（+）=2，即有（sin+cos）=2，由x=cos，y=sin，可得x+y4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y4=0；（2）由题意可得当直线x+y4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线x+y4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t23=0，由直线与椭圆相切，可得=36t216（3t23）=0，解得t=2，显然t=2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|=，此时4x212x+9=0，解得x=，即为P（，）另解：设P（cos，sin），由P到直线的距离为d=，当sin（+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取=，即有P（，）【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2xa|+a（1）当a=2时，求不等式f（x）6的解集；（2）设函数g（x）=|2x1|，当xR时，f（x）+g（x）3，求a的取值范围【考点】R5：绝对值不等式的解法菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x2|+26，由此能求出不等式f（x）6的解集（2）由f（x）+g（x）=|2x1|+|2xa|+a3，得|x|+|x|，由此能求出a的取值范围【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x2|+2，f（x）6，|2x2|+26，|2x2|4，|x1|2，2x12，解得1x3，不等式f（x）6的解集为x|1x3（2）g（x）=|2x1|，f（x）+g（x）=|2x1|+|2xa|+a3，2|x|+2|x|+a3，|x|+|x|，当a3时，成立，当a3时，|x|+|x|a1|0，（a1）2（3a）2，解得2a3，a的取值范围是2，+）【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用第17页（共17页）2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合A=1，2，3，4，B=2，4，6，8，则AB中元素的个数为（）A1B2C3D42（5分）复平面内表示复数z=i（2+i）的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4（5分）已知sincos=，则sin2=（）ABCD5（5分）设x，y满足约束条件则z=xy的取值范围是（）A3，0B3，2C0，2D0，36（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x）的最大值为（）AB1CD7（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）ABCD8（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A5B4C3D29（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）ABCD10（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC11（5分）已知椭圆C：=1（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切，则C的离心率为（）ABCD12（5分）已知函数f（x）=x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零点，则a=（）ABCD1二、填空题13（5分）已知向量=（2，3），=（3，m），且，则m= 14（5分）双曲线（a0）的一条渐近线方程为y=x，则a= 15（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60，b=，c=3，则A= 16（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x）1的x的取值范围是 三、解答题17（12分）设数列an满足a1+3a2+（2n1）an=2n（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和18（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率19（12分）如图四面体ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（1）证明：ACBD；（2）已知ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比20（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现ACBC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值21（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，证明f（x）2选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：（cos+sin）=0，M为l3与C的交点，求M的极径选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+1|x2|（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合A=1，2，3，4，B=2，4，6，8，则AB中元素的个数为（）A1B2C3D4【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合【分析】利用交集定义先求出AB，由此能求出AB中元素的个数【解答】解：集合A=1，2，3，4，B=2，4，6，8，AB=2，4，AB中元素的个数为2故选：B【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2（5分）复平面内表示复数z=i（2+i）的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义菁优网版权所有【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：z=i（2+i）=2i1对应的点（1，2）位于第三象限故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线菁优网版权所有【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：A【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题4（5分）已知sincos=，则sin2=（）ABCD【考点】GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出【解答】解：sincos=，（sincos）2=12sincos=1sin2=，sin2=，故选：A【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题5（5分）设x，y满足约束条件则z=xy的取值范围是（）A3，0B3，2C0，2D0，3【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=xy，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，由解得A（0，3），由解得B（2，0），目标函数的最大值为：2，最小值为：3，目标函数的取值范围：3，2故选：B【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键6（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x）的最大值为（）AB1CD【考点】HW：三角函数的最值菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x）=sin（x+）+cos（x+）=sin（x+）+sin（x+）=sin（x+）故选：A【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力7（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）ABCD【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，当x0+，f（x）0，排除A、C，当x=时，y=1+，排除B故选：D【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法8（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A5B4C3D2【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，要使输出S的值小于91，应满足“tN”，则进入循环体，从而S=100，M=10，t=2，要使输出S的值小于91，应接着满足“tN”，则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，要使输出S的值小于91，应不满足“tN”，跳出循环体，此时N的最小值为2，故选：D【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题9（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）ABCD【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r=，由此能求出该圆柱的体积【解答】解：圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径r=，该圆柱的体积：V=Sh=故选：B【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题10（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角【分析】法一：连B1C，推导出BC1B1C，A1B1BC1，从而BC1平面A1ECB1，由此得到A1EBC1法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【解答】解：法一：连B1C，由题意得BC1B1C，A1B1平面B1BCC1，且BC1平面B1BCC1，A1B1BC1，A1B1B1C=B1，BC1平面A1ECB1，A1E平面A1ECB1，A1EBC1故选：C法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），=（2，1，2），=（0，2，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=（2，2，0），=2，=2，=0，=6，A1EBC1故选：C【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用11（5分）已知椭圆C：=1（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切，则C的离心率为（）ABCD【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切，原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2椭圆C的离心率e=故选：A【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）已知函数f（x）=x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零点，则a=（）ABCD1【考点】52：函数零点的判定定理菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1（x1）2的图象与y=a（ex1+）的图象只有一个交点求a的值分a=0、a0、a0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论【解答】解：因为f（x）=x22x+a（ex1+ex+1）=1+（x1）2+a（ex1+）=0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1（x1）2=a（ex1+）有唯一解，等价于函数y=1（x1）2的图象与y=a（ex1+）的图象只有一个交点当a=0时，f（x）=x22x1，此时有两个零点，矛盾；当a0时，由于y=1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且y=a（ex1+）在（，1）上递增、在（1，+）上递减，所以函数y=1（x1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex1+）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a01，此时函数y=1（x1）2的图象与y=a（ex1+）的图象有两个交点，矛盾；当a0时，由于y=1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且y=a（ex1+）在（，1）上递减、在（1，+）上递增，所以函数y=1（x1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex1+）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件；综上所述，a=，故选：C【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题二、填空题13（5分）已知向量=（2，3），=（3，m），且，则m=2【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解【解答】解：向量=（2，3），=（3，m），且，=6+3m=0，解得m=2故答案为：2【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用14（5分）双曲线（a0）的一条渐近线方程为y=x，则a=5【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a即可【解答】解：双曲线（a0）的一条渐近线方程为y=x，可得，解得a=5故答案为：5【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力15（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60，b=，c=3，则A=75【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可【解答】解：根据正弦定理可得=，C=60，b=，c=3，sinB=，bc，B=45，A=180BC=1804560=75，故答案为：75【点评】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题16（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x）1的x的取值范围是（，+）【考点】3T：函数的值菁优网版权所有【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可【解答】解：若x0，则x，则f（x）+f（x）1等价为x+1+x+11，即2x，则x，此时x0，当x0时，f（x）=2x1，x，当x0即x时，满足f（x）+f（x）1恒成立，当0x，即x0时，f（x）=x+1=x+，此时f（x）+f（x）1恒成立，综上x，故答案为：（，+）【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键三、解答题17（12分）设数列an满足a1+3a2+（2n1）an=2n（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】（1）利用数列递推关系即可得出（2）=利用裂项求和方法即可得出【解答】解：（1）数列an满足a1+3a2+（2n1）an=2nn2时，a1+3a2+（2n3）an1=2（n1）（2n1）an=2an=当n=1时，a1=2，上式也成立an=（2）=数列的前n项和=+=1=【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率（2）当温度大于等于25C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在20，25）C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20C时，需求量为200，求出Y=100元，从而当温度大于等于20时，Y0，由此能估计估计Y大于零的概率【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p=（2）当温度大于等于25C时，需求量为500，Y=4502=900元，当温度在20，25）C时，需求量为300，Y=3002（450300）2=300元，当温度低于20C时，需求量为200，Y=400（450200）2=100元，当温度大于等于20时，Y0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20C的天数有：90（2+16）=72，估计Y大于零的概率P=【点评】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题19（12分）如图四面体ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（1）证明：ACBD；（2）已知ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离【分析】（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DOAC，BOAC，从而AC平面BDO，由此能证明ACBD（2）法一：连结OE，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，SDCE=SBCE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO=，推导出BODO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AEEC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比【解答】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，ABC是正三角形，AD=CD，DOAC，BOAC，DOBO=O，AC平面BDO，BD平面BDO，ACBD解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC平面OBD，OE平面OBD，OEAC，设AD=CD=，则OC=OA=1，EC=EA，AECE，AC=2，EC2+EA2=AC2，EC=EA=CD，E是线段AC垂直平分线上的点，EC=EA=CD=，由余弦定理得：cosCBD=，即，解得BE=1或BE=2，BEBD=2，BE=1，BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，BE=ED，SDCE=SBCE，四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO=，BO2+DO2=BD2，BODO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），D（0，0，1），B（0，0），A（1，0，0），设E（a，b，c），（01），则（a，b，c1）=（0，1），解得E（0，1），=（1，），=（1，），AEEC，=1+32+（1）2=0，由0，1，解得，DE=BE，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，DE=BE，SDCE=SBCE，四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1【点评】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题20（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现ACBC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】34：方程思想；43：待定系数法；5B：直线与圆【分析】（1）设曲线y=x2+mx2与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），运用韦达定理，再假设ACBC，运用直线的斜率之积为1，即可判断是否存在这样的情况；（2）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E24F0），由题意可得D=m，F=2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值【解答】解：（1）曲线y=x2+mx2与x轴交于A、B两点，可设A（x1，0），B（x2，0），由韦达定理可得x1x2=2，若ACBC，则kACkBC=1，即有=1，即为x1x2=1这与x1x2=2矛盾，故不出现ACBC的情况；（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E
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